„Satz von Heine-Borel“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 21. Juli 2025, 15:16 Uhr

Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz, nach den Mathematikern Eduard Heine (1821–1881) und Émile Borel (1871–1956) benannt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.^{[A 1]}

Aussage

Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der Kompaktheit in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gleichwertig sind.

Für eine Teilmenge

{\mathcal {M}}

des

\mathbb {R} ^{n}

(der metrische Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

${\mathcal {M}}$ ist beschränkt und abgeschlossen.
Jede offene Überdeckung von ${\mathcal {M}}$ enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ anwenden.

Anmerkung und Gegenbeispiele

Die Voraussetzung, dass der umgebende Raum der $\mathbb {R} ^{n}$ ist, ist wesentlich. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die diskrete Metrik auf einer unendlichen Menge $X$ . Sie ist definiert durch

d(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq y.\end{cases}}

In dieser Metrik ist jede Teilmenge von $X$ abgeschlossen und beschränkt, aber nur die endlichen Teilmengen sind kompakt.

Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen normierten Vektorräume.

Verallgemeinerung

Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche vollständig und totalbeschränkt sind.^[1] Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist, und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.

Literatur

Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3, S. 95 ff.
Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 59 ff.
Bertrand Hauchecorne: La théorème de Borel-Lebesgue. In: Quadrature. Band 97, 2015, S. 9–11 (zbMATH Open).

Weblinks

Heine Borel (Video, das einen Beweis des Satzes von Heine-Borel illustriert.)

Einzelnachweise

↑ Dieudonné, Jean: Grundzüge der modernen Analysis. Band 1. Zweite, berichtigte Auflage. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1975, ISBN 3-528-18290-3, S. 67–68 (Satz 3.16.1)

Anmerkungen

↑ Gemäß der Monographie von Lutz Führer bezeichnet man den Satz auch als Überdeckungssatz von Heine-Borel-Groß. In der französischen Fachliteratur wird dieses Theorem auch als théorème de Borel-Lebesgue bezeichnet.

[2] Dieudonné, Jean: Grundzüge der modernen Analysis. Band 1. Zweite, berichtigte Auflage. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1975, ISBN 3-528-18290-3, S. 67–68 (Satz 3.16.1)

[1] Gemäß der Monographie von Lutz Führer bezeichnet man den Satz auch als Überdeckungssatz von Heine-Borel-Groß. In der französischen Fachliteratur wird dieses Theorem auch als théorème de Borel-Lebesgue bezeichnet.

[A 1]

[1]

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-Der '''Satz von Heine-Borel''', auch '''Überdeckungssatz''' genannt, von den Mathematikern [[Eduard Heine]] und [[Emile Borel]] aufgestellt, ist ein Satz der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] [[Metrischer Raum|metrischer Räume]].
+Der '''Satz von Heine-Borel''', auch ''Überdeckungssatz'', nach den Mathematikern [[Eduard Heine]] (1821–1881) und [[Émile Borel]] (1871–1956) benannt, ist ein Satz der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] [[Metrischer Raum|metrischer Räume]].<ref group="A">Gemäß der Monographie von Lutz Führer bezeichnet man den Satz auch als ''Überdeckungssatz von Heine-Borel-Groß''. In der französischen Fachliteratur wird dieses Theorem auch als  ''théorème de Borel-Lebesgue'' bezeichnet.</ref>
+== Aussage ==
-Er zeigt die [[Äquivalenz]] zweier Definitionen der [[Kompakter Raum|Kompaktheit]].
+Der Satz besagt, dass zwei unterschiedliche Definitionen der [[Kompakter Raum|Kompaktheit]] in endlichdimensionalen reellen [[Vektorraum|Vektorräumen]] [[Gleichwertigkeit|gleichwertig]] sind.
-:Für eine Teilmenge <var>M</var> des '''R'''<sup><var>n</var></sup> (den metrischen Raum aller reellen [[Tupel|n-Tupel]] mit der [[Metrischer Raum|euklidischen Metrik]]) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
+:Für eine Teilmenge <math>\mathcal{M}</math> des <math>\mathbb{R}^{n}</math> (der metrische Raum aller reellen [[Tupel|n-Tupel]] mit der [[Metrischer Raum|euklidischen Metrik]]) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:
-:#<var>M</var> ist [[beschränkt]] und [[abgeschlossen]].
+:# <math>\mathcal{M}</math> ist [[beschränkt]] und [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]].
-:#Jede [[Offene Menge|offene]] [[Kompakter Raum#Definition|Überdeckung]] von <var>M</var> enthält eine endliche Teilüberdeckung.
+:# Jede [[offene Überdeckung]] von <math>\mathcal{M}</math> enthält eine endliche [[Überdeckung (Mathematik)#Teilüberdeckung|Teilüberdeckung]].
-Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen '''R'''  anwenden.
+Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> anwenden.
+== Anmerkung und Gegenbeispiele ==
-Dies gilt auch für andere, aber nicht für alle [[Metrischer Raum|metrischen Räume]]. Ein Gegenbeispiel ist '''R'''<sup><var>&infin;</var></sup>. In diesem metrischen Raum gilt für die abgeschlossene Kugel mit dem Radius 1 '''R'''<sup><var>&infin;</var></sup> Aussage 1, aber nicht Aussage 2.
+Die Voraussetzung, dass der umgebende Raum der <math>\mathbb{R}^{n}</math> ist, ist wesentlich. Im Allgemeinen ist (Überdeckungs-)Kompaktheit nicht äquivalent zu Abgeschlossenheit und Beschränktheit.
+Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die [[diskrete Metrik]] auf einer unendlichen Menge <math>X</math>. Sie ist definiert durch
-'''Siehe auch:''' [[Liste mathematischer Sätze]]
+:<math>d(x,y) := \begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x=y\\1 & \mathrm{f\ddot ur}\ x\ne y . \end{cases}</math>
+In dieser Metrik ist ''jede'' Teilmenge von <math>X</math> abgeschlossen und beschränkt, aber nur die ''endlichen'' Teilmengen sind kompakt.
+Weitere Gegenbeispiele sind alle unendlichdimensionalen [[Normierter Raum|normierten Vektorräume]].
-[[en:Heine-Borel theorem]]
+== Verallgemeinerung ==
-[[Kategorie:Topologie]]
+Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, welche [[Vollständiger Raum|vollständig]] und [[totalbeschränkt]] sind.<ref>[[Jean Dieudonné|Dieudonné, Jean]]: ''Grundzüge der modernen Analysis. Band 1.'' Zweite, berichtigte Auflage. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1975, ISBN 3-528-18290-3, S.&nbsp;67–68 (Satz 3.16.1)</ref> Dies ist deshalb eine Verallgemeinerung, weil eine Teilmenge des <math>\mathbb{R}^{n}</math> genau dann vollständig ist, wenn sie abgeschlossen ist, und weil sie genau dann totalbeschränkt ist, wenn sie beschränkt ist.
+== Literatur ==
+* {{Literatur
+   |Autor=[[Lutz Führer]]
+   |Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
+   |Verlag=Vieweg
+   |Ort=Braunschweig
+   |Datum=1977
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+* {{Literatur
+   |Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
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+* {{Literatur
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+== Weblinks ==
+* [https://www.youtube.com/watch?v=zE5U84g5Yl0 Heine Borel] (Video, das einen Beweis des Satzes von Heine-Borel illustriert.)
+== Einzelnachweise ==
+<references />
+== Anmerkungen ==
+<references group="A" />
+[[Kategorie:Analysis]]
+[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Heine-Borel, Satz von]]