„Anfangsbedingung“ – Versionsunterschied

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Aktuelle Version vom 20. September 2021, 09:47 Uhr

Eine Anfangsbedingung für eine gewöhnliche Differentialgleichung sagt aus, welchen Funktionswert die gesuchte Lösung sowie ggf. ihre Ableitung(en) an einer bestimmten Stelle haben sollen.^[1]

Praktisch jede Differentialgleichung erlaubt an sich unendlich viele Lösungen. Eine Anfangsbedingung trifft unter all diesen Lösungen eine Auswahl. Manchmal erfüllen mehrere, manchmal eine einzige, manchmal gar keine der Lösungen die Anfangsbedingung.

Wer zu einer Differentialgleichung eine Anfangsbedingung hinzufügt, stellt damit ein Anfangswertproblem. Eine besonders spannende Frage lautet dabei, wie eine Anfangsbedingung zu einer gegebenen Differentialgleichung beschaffen sein muss, damit das entstehende Anfangswertproblem genau eine eindeutig bestimmte Lösung zulässt.

Praktische Bedeutung

Wenn die Differentialgleichung eine zeitliche Entwicklung beschreibt, etwa die Bewegung eines Gegenstandes im Raum, so legt die Anfangsbedingung fest, in welchem Zustand die Bewegung beginnt, etwa an welchem Ort sich der Gegenstand anfangs befindet.

Die Frage, welche Art von Anfangsbedingung geeignet ist, um eine eindeutige Lösung auszuzeichnen, bedeutet dann: Was muss ich über die Gegenwart eines Systems wissen, um seine historische Entwicklung vollständig nachrechnen und seine Zukunft komplett vorhersagen zu können?

Eine Anfangsbedingung im mathematischen Sinn muss sich nicht zwangsläufig auf einen zeitlichen oder räumlichen Anfangspunkt beziehen. Was umgangssprachlich eher als „Endbedingung“ oder „Zwischenzustand“ erscheint, wird in der Mathematik ebenfalls „Anfangsbedingung“ genannt.

Für lineare Differentialgleichungen ist das Vorhandensein von Anfangsbedingungen (ungleich Null) gleichbedeutend mit dem Anregen des gleichen Systems mit einem Impuls, wobei aber hier die Anfangsbedingungen Null sind.

Beispiel

Der freie Fall (etwa eines Apfels vom Baum) wird beschrieben durch die Bewegungsgleichung

{\begin{aligned}y''(t)&=-g\\\Rightarrow y'(t)&=-g\cdot t+v_{0}\end{aligned}}

mit der Konstanten $g\approx 9{,}81~\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$ (Erdbeschleunigung).

Die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung besteht zunächst aus allen Funktionen der Form

\Rightarrow y(t)=-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}\cdot t+y_{0}

mit beliebigen Integrationskonstanten $y_{0}$ und $v_{0}$ .

Eine mögliche Anfangsbedingung sagt z. B. aus, dass der Apfel zu Beginn der Bewegung an einem Ast in drei Metern Höhe hängt:

y(0)=y_{0}=3~\mathrm {m}

und sich in Ruhe befindet:

y'(0)=v_{0}=0~\mathrm {m} /\mathrm {s}

.

Diese Anfangsbedingung zeichnet nun in der Lösungsmenge der Differentialgleichung die eine Funktion

\Rightarrow y(t)=3~\mathrm {m} -{\tfrac {1}{2}}gt^{2}

als die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems aus.

Verallgemeinerung

Bei partiellen Differentialgleichungen, wenn also die gesuchte Funktion nicht nur von einer, sondern von mehreren Variablen abhängt, werden oftmals Randbedingungen an Stelle von Anfangsbedingungen verwendet. Manchmal wird dann der Spezialfall einer Randbedingung, deren Definitionsbereich eine Hyperebene im vollen Definitionsbereich der Differentialgleichung bildet, Anfangsbedingung genannt.

Anmerkung

↑ Bei Funktionen der Zeit kann die bestimmte Stelle der Zeitpunkt sein, der als zeitlicher Anfang in den Begriffen Anfangsbedingung und Anfangswert wiederzufinden ist.

Literatur

Hans Heiner Storrer: Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften. Band 2, 1. Auflage, Birkhäuser Verlag, 1995, ISBN 978-37-6435-325-4.
Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler, 2. überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin - Heidelberg, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2.

Weblinks

Differenzialgleichungen mit MATLAB lösen (abgerufen am 20. September 2021)
Abhängigkeit von Anfangsbedingungen (abgerufen am 15. Oktober 2015)
Parabolische Randanfangswertprobleme mit zufälliger Anfangsbedingung (abgerufen am 20. September 2021)

[1] Bei Funktionen der Zeit kann die bestimmte Stelle der Zeitpunkt sein, der als zeitlicher Anfang in den Begriffen Anfangsbedingung und Anfangswert wiederzufinden ist.

[1]

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+Eine '''Anfangsbedingung''' für eine [[gewöhnliche Differentialgleichung]] sagt aus, welchen [[Funktionswert]] die gesuchte [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] sowie ggf. ihre [[Differentialrechnung|Ableitung]](en) an einer bestimmten Stelle haben sollen.<ref>Bei Funktionen der Zeit kann die ''bestimmte Stelle'' der Zeitpunkt sein, der als zeitlicher ''Anfang'' in den Begriffen ''Anfang''sbedingung und ''Anfang''swert wiederzufinden ist.</REF>
-Konkrete Angaben zum Errechnen der Lösung einer [[Differentialgleichung]], wobei alle benötigten Angaben für einen einzigen Wert der unabhängigen Variablen (dem ''Anfangswert'') gegeben sind.
+Praktisch jede [[Differentialgleichung]] erlaubt an sich unendlich viele Lösungen. Eine Anfangsbedingung trifft unter all diesen Lösungen eine Auswahl. Manchmal erfüllen mehrere, manchmal eine einzige, manchmal gar keine der Lösungen die Anfangsbedingung.
-Anfangswertaufgaben sind im Allgemeinen mit den Methoden der [[Numerische_Mathematik|numerischen Mathematik]] rasch und mit ausreichender Genauigkeit lösbar.
+Wer zu einer Differentialgleichung eine Anfangsbedingung hinzufügt, stellt damit ein [[Anfangswertproblem]]. Eine besonders spannende Frage lautet dabei, wie eine Anfangsbedingung zu einer gegebenen Differentialgleichung beschaffen sein muss, damit das entstehende Anfangswertproblem ''genau eine'' eindeutig bestimmte Lösung zulässt.
+== Praktische Bedeutung ==
+Wenn die Differentialgleichung eine zeitliche Entwicklung beschreibt, etwa die Bewegung eines Gegenstandes im Raum, so legt die Anfangsbedingung fest, in welchem Zustand die Bewegung beginnt, etwa an welchem Ort sich der Gegenstand anfangs befindet.
+Die Frage, welche Art von Anfangsbedingung geeignet ist, um eine eindeutige Lösung auszuzeichnen, bedeutet dann: Was muss ich über die Gegenwart eines Systems wissen, um seine historische Entwicklung vollständig nachrechnen und seine Zukunft komplett vorhersagen zu können?
+Eine Anfangsbedingung im mathematischen Sinn muss sich nicht zwangsläufig auf einen zeitlichen oder räumlichen Anfangspunkt beziehen. Was umgangssprachlich eher als „Endbedingung“ oder „Zwischenzustand“ erscheint, wird in der Mathematik ebenfalls „Anfangsbedingung“ genannt.
+Für [[lineare Differentialgleichung]]en ist das Vorhandensein von Anfangsbedingungen (ungleich Null) gleichbedeutend mit dem [[Schwingung #Anregung einer Schwingung|Anregen]] des gleichen Systems mit einem [[Impuls]], wobei aber hier die Anfangsbedingungen Null sind.
 == Beispiel ==
+Der [[freier Fall|freie Fall]] (etwa eines Apfels vom Baum) wird beschrieben durch die [[Bewegungsgleichung]]
-Sei die gegebene Differentialgleichung y"=2. Die [[Lösungsmenge]] dieser Gleichung ist y=x<sup>2</sup>+a<sub>1</sub>x+a<sub>0</sub>. Gesucht sind nun die Werte der Konstanten a<sub>0</sub> und a<sub>1</sub> für eine gegebene Aufgabenstellung.
+::<math>\begin{align}
+            y''(t) & = -g\\
+\Rightarrow y' (t) & = -g \cdot t + v_0
+\end{align}</math>
+mit der Konstanten <math>g \approx 9{,}81~\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math> ([[Erdbeschleunigung]]).
+Die [[Lösungsmenge]] dieser Differentialgleichung besteht zunächst aus ''allen'' [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] der Form
+::<math>\Rightarrow y(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0 \cdot t + y_0</math>
+mit beliebigen [[Integrationskonstante]]n <math>y_0</math> und <math>v_0</math>.
+Eine mögliche Anfangsbedingung sagt z.&nbsp;B. aus, dass der Apfel zu Beginn der Bewegung an einem Ast in drei Metern Höhe hängt:
+:<math>y(0) = y_0 = 3~\mathrm{m}</math>
+und sich in Ruhe befindet:
+:<math>y'(0) = v_0 = 0~\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
+Diese Anfangsbedingung zeichnet nun in der Lösungsmenge der Differentialgleichung ''die eine'' Funktion
+::<math>\Rightarrow y(t) = 3~\mathrm{m} - \tfrac{1}{2}gt^2</math>
+als die eindeutig bestimmte Lösung des Anfangswertproblems aus.
+== Verallgemeinerung ==
+Bei [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]], wenn also die gesuchte Funktion nicht nur von einer, sondern von mehreren Variablen abhängt, werden oftmals [[Randbedingung]]en an Stelle von Anfangsbedingungen verwendet. Manchmal wird dann der Spezialfall einer Randbedingung, deren [[Definitionsbereich]] eine [[Hyperebene]] im vollen Definitionsbereich der Differentialgleichung bildet, Anfangsbedingung genannt.
+== Anmerkung ==
-Ein Anfangswertproblem wäre:
+<references/>
+== Literatur ==
-Gesucht ist die Lösung mit y(0)=0 und y'(0)=1 (dh. für x=0 sind Funktionswert und Ableitung bekannt).
+* Hans Heiner Storrer: ''Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften.'' Band 2, 1. Auflage, Birkhäuser Verlag, 1995, ISBN 978-37-6435-325-4.
+* Klaus D. Schmidt: ''Mathematik.'' Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler, 2. überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin - Heidelberg, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2.
+== Weblinks ==
-Die Lösung dieses Anfangswertproblemes ist y=x<sup>2</sup>+x.
+* [http://www.uni-oldenburg.de/fileadmin/user_upload/neuro/ag/compneuro/download/Matlab_Einfuehrung/2013/Tag7/Skript_ODE.pdf Differenzialgleichungen mit MATLAB lösen] (abgerufen am 20. September 2021)
+* [http://www2.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/Vorlesungen/Differentialgleichungen/Folien_Abhaengigkeit_von_Anfangsbedingungen.pdf Abhängigkeit von Anfangsbedingungen] (abgerufen am 15. Oktober 2015)
+* [https://core.ac.uk/download/pdf/153227835.pdf Parabolische Randanfangswertprobleme mit zufälliger Anfangsbedingung] (abgerufen am 20. September 2021)
+[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]
-''Siehe auch:'' [[Randbedingung]]