„Feinstruktur (Physik)“ – Versionsunterschied

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Feinstruktur bezeichnet in der Physik die Zusammensetzung einer Spektrallinie aus mehreren unterscheidbaren Linien oder eines Energieniveaus aus mehreren unterscheidbaren Energiewerten. Diese lassen sich bei geringer spektraler Auflösung oder in einer theoretischen Näherungsrechnung noch nicht unterscheiden, was die relativ späte Entdeckung der Feinstruktur gegen Ende des 19. Jahrhunderts erklärt.

Beschreibung

Der Begriff Feinstruktur entstand gegen Ende des 19. Jahrhunderts in der optischen Spektroskopie, weil viele Linien der Linienspektren von Atomen sich mit zunehmender Messgenauigkeit als zusammengesetzt herausstellten (Feinstrukturaufspaltung).

Die Feinstruktur einer Spektrallinie wird dadurch erklärt, dass ihre Lage im Spektrum der Energiedifferenz zwischen zwei Energieniveaus entspricht, und dass viele Niveaus, die bei näherungsweiser Betrachtung einheitlich erscheinen, sich bei höherer Genauigkeit von Messung oder Modellbildung als Multiplett zeigen, d. h. als Gruppe mehrerer Niveaus mit eng benachbarten Energien.

Der Begriff wird vor allem in Bezug auf die Energieniveaus einzelner Elektronen in Atomen und Festkörpern verwendet, in analoger Weise aber auch in anderen Bereichen. In den Linienspektren der Atome beträgt die Feinstrukturaufspaltung im optischen Bereich etwa 1/1000 bis 1/100.000 der typischen Wellenlänge oder Übergangsenergie. Im Bereich der Röntgenstrahlen wächst sie bei den inneren Elektronen der Atome schwerer Elemente bis etwa 1/10 an.

Noch genauere Messungen an Atomen zeigen weitere, aber nochmals kleinere Aufspaltungen:

Die 1924 entdeckte Hyperfeinstruktur wird von der Wechselwirkung zwischen den Elektronen und den Kernmomenten verursacht,
die 1947 entdeckte Lamb-Verschiebung von der quantenelektrodynamischen Vakuumpolarisation.

Physikalische Ursachen

Die Feinstruktur wird dadurch erklärt, dass die Energieniveaus, die bei Messung in geringer Auflösung korrekt nach dem Bohrschen Atommodell oder der nichtrelativistischen Quantenmechanik ohne Spin beschrieben werden, bei Berechnung nach der relativistisch korrekten quantenmechanischen Dirac-Gleichung verschoben und teilweise aufgespalten sind. Dies lässt sich größtenteils auf die nach der Relativitätstheorie veränderte Kinematik und auf die Spin-Bahn-Kopplung zurückführen, die durch den Elektronenspin und das damit verbundene anomale magnetische Moment verursacht wird.

Um diese Beiträge einzeln sichtbar zu machen, nähert man die Dirac-Gleichung durch eine Reihenentwicklung an und erhält damit Korrekturterme zum nicht-relativistischen Hamiltonoperator $H_{0}$ .^[1] Abgesehen von der konstanten Ruheenergie $m_{\mathrm {e} }c^{2}$ des Elektrons lautet der Hamiltonoperator dann in erster Ordnung (bei Vernachlässigung der Beiträge höherer Ordnung):

H=H_{0}+W_{\mathrm {M} }+W_{\mathrm {SB} }+W_{\mathrm {D} }

.

Die Korrekturterme sind im Einzelnen:

$W_{\mathrm {M} }=-{\frac {{\vec {p}}^{\;4}}{8m_{\mathrm {e} }^{3}c^{2}}}$ – die relativistische Korrektur der kinetischen Energie
$W_{\mathrm {SB} }={\frac {1}{2m_{\mathrm {e} }^{2}c^{2}}}\,{\vec {s}}\cdot {\vec {\ell }}\ {\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}$ – die Spin-Bahn-Kopplung
$W_{\mathrm {D} }={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{\mathrm {e} }^{2}c^{2}}}\Delta V$ – der Darwin-Term als Korrektur der potentiellen Energie mit dem Laplace-Operator $\Delta$

Die Energieverschiebung $\Delta E$ , die man als Feinstruktur bezeichnet, ist dann entsprechend

\Delta E=E_{\mathrm {M} }+E_{\mathrm {SB} }+E_{\mathrm {D} }.

Wasserstoffatom

Beim Wasserstoffatom und allgemein jedem Atom mit nur einem Elektron kann man relativistische Effekte, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Darwin-Term zu einer Formel für die Korrektur der Energieniveaus zusammenfassen:^[2]

\Delta E_{\mathrm {FS} }=E_{n}\left[{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\right]

mit

der Energie $E_{n}=-E_{R}{\frac {Z^{2}}{n^{2}}}$ $E_{n}=-E_{R}{\frac {Z^{2}}{n^{2}}}$ der Niveaus im Wasserstoffatom ohne Feinstruktur
- der Rydberg-Energie $E_{R}\approx 13{,}6\,{\text{eV}}$
- der Kernladungszahl $Z$
- der Hauptquantenzahl $n$
der Feinstrukturkonstante $\alpha$
dem Gesamtdrehimpuls $j$ .

Diese Formel verursacht für jedes mögliche $n$ und $j$ eine Absenkung der Energie. Sie stimmt mit der Sommerfeldschen Feinstrukturformel überein, die schon Jahre vor der Entdeckung des Spin und der Dirac-Formel im Rahmen der halbklassischen Vorstellungen des Bohr-Sommerfeldschen Atommodells entwickelt worden war^[3].

Siehe auch

Landésche Intervallregel

Quellen

↑ H. Friedrich: Theoretical Atomic Physics. Third Edition, S. 88 f.
↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3. 5. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-21473-9, S. 158–161.
↑ Arnold Sommerfeld: Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie. Naturwissenschaften, July 1940, Volume 28, Issue 27, pp 417–423; https://link.springer.com/article/10.1007/BF01490583

[1] H. Friedrich: Theoretical Atomic Physics. Third Edition, S. 88 f.

[2] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3. 5. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-21473-9, S. 158–161.

[3] Arnold Sommerfeld: Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie. Naturwissenschaften, July 1940, Volume 28, Issue 27, pp 417–423; https://link.springer.com/article/10.1007/BF01490583

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+<!--[[Datei:Hydrogen-Fine-Hyperfine-Levels.svg|miniatur|Feinstruktur-Aufspaltung der Energieniveaus am Beispiel des Wasserstoffatoms (nicht maßstäblich);<br/>Bezeichnung der Feinstruktur-Niveaus s.&nbsp;[[Termsymbol]]]] Bild unzutreffend -->
-Bei der genauen Betrachtung von [[Linienspektrum|Linienspektren]] von Atomen beobachtet man eine '''Feinstruktur'''. Diese zeigt sich darin, dass einzelne Linien eines [[Linienspektrum|Spektrums]] in zwei oder mehrere sehr nahe beieinanderliegende Linien aufgespalten sind. Dies bedeutet, dass es im jeweiligen Atom Energieniveaus gibt die sehr nahe zusammen liegen, da jede Spektrallinie einem Energieniveau zugeordnet werden kann.
+'''Feinstruktur''' bezeichnet in der [[Physik]] die Zusammensetzung einer [[Spektrallinie]] aus mehreren unterscheidbaren Linien oder eines [[Energieniveau]]s aus mehreren unterscheidbaren Energiewerten. Diese lassen sich bei geringer spektraler [[Auflösung (Physik)|Auflösung]] oder in einer theoretischen Näherungsrechnung noch nicht unterscheiden, was die relativ späte Entdeckung der Feinstruktur gegen Ende des 19.&nbsp;Jahrhunderts erklärt.
+== Beschreibung ==
-Die Größenordnung dieser feineren Aufspaltung ist jedoch im Vergleich zu den übrigen Niveaus etwa <math> 10^{-4}</math> mal geringer. Dies erklärt auch die relativ späte Entdeckung der Feinstruktur.
+Der Begriff Feinstruktur entstand gegen Ende des 19.&nbsp;Jahrhunderts in der optischen [[Spektroskopie]], weil viele Linien der [[Linienspektrum|Linienspektren]] von Atomen sich mit zunehmender [[Messgenauigkeit]] als zusammengesetzt herausstellten ('''Feinstrukturaufspaltung''').
+Die Feinstruktur einer Spektrallinie wird dadurch erklärt, dass ihre Lage im Spektrum der Energiedifferenz zwischen zwei Energieniveaus entspricht, und dass viele Niveaus, die bei näherungsweiser Betrachtung einheitlich erscheinen, sich bei höherer Genauigkeit von Messung oder [[Modellbildung]] als [[Multiplett]] zeigen, d.&nbsp;h. als Gruppe mehrerer Niveaus mit eng benachbarten Energien.
-Diese Aufhebung der [[Entartung (Quantenmechanik)|Entartung]] der Energieniveaus ist eine Folge der [[Relativitätstheorie|Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse]], der [[Spin-Bahn-Kopplung]] und einem Effekt, der durch den [[Darwin-Term|Darwin-Term]] beschrieben wird.
+Der Begriff wird vor allem in Bezug auf die Energieniveaus einzelner [[Elektron]]en in Atomen und [[Festkörper]]n verwendet, in analoger Weise aber auch in anderen Bereichen. In den Linienspektren der Atome beträgt die Feinstrukturaufspaltung im optischen Bereich etwa 1/1000 bis 1/100.000 der typischen [[Wellenlänge]] oder Übergangsenergie. Im Bereich der [[Röntgenstrahlen]] wächst sie bei den inneren Elektronen der Atome schwerer Elemente bis etwa&nbsp;1/10 an.
-Um diese rein [[Relativitätstheorie|relativistischen]] Effekte in der [[Quantenmechanik|Quantenmechanik]] zu berücksichtigen, addiert man zum [[Hamiltonoperator|Hamiltonoperator]] des Systems Korrekturterme. In erster Ordnung lautet der Hamiltonoperator dann:
+Noch genauere Messungen an Atomen zeigen weitere, aber nochmals kleinere Aufspaltungen:
-<math>H= m_ec^2 + H_0 + W_M + W_{SB} + W_D + ..</math>
+* Die 1924 entdeckte [[Hyperfeinstruktur]] wird von der Wechselwirkung zwischen den Elektronen und den [[Kernmoment]]en verursacht,
+* die 1947 entdeckte [[Lamb-Verschiebung]] von der [[Quantenelektrodynamik|quantenelektrodynamischen]] [[Vakuumpolarisation]].
+== Physikalische Ursachen ==
-wobei <math>m_ec^2</math> die [[Ruheenergie]] des Elektrons und <math>H_0</math> der nichtrelativistische [[Hamiltonoperator]] ist.
+Die Feinstruktur wird dadurch erklärt, dass die Energieniveaus, die bei Messung in geringer Auflösung korrekt nach dem [[Bohrsches Atommodell|Bohrschen Atommodell]] oder der nichtrelativistischen [[Quantenmechanik]] ohne [[Spin]] beschrieben werden, bei Berechnung nach der relativistisch korrekten quantenmechanischen [[Dirac-Gleichung]] verschoben und teilweise aufgespalten sind. Dies lässt sich größtenteils auf die nach der [[Relativitätstheorie]] veränderte [[Kinematik]] und auf die [[Spin-Bahn-Kopplung]] zurückführen, die durch den [[Elektronenspin]] und das damit verbundene anomale [[Magnetisches Moment|magnetische Moment]] verursacht wird.
+<!-- später als Abschnitt wiederbeleben: da die Korrekturen mit <math>(Z\alpha)^2</math> gehen, wobei <math>Z</math> die [[Kernladungszahl]] und α die [[Feinstrukturkonstante]] sind. So beträgt die Änderung der [[Wellenlänge]]n für die H<sub>α</sub>-, H<sub>β</sub>- und H<sub>γ</sub>-Linie der [[Balmer-Serie]] beim [[Wasserstoffatom]] nur 0,14&nbsp;[[Ångström (Einheit)|Å]], 0,08&nbsp;Å bzw. 0,07&nbsp;Å (zum Vergleich: die Wellenlänge der H<sub>α</sub>-Linie liegt bei 6562,8&nbsp;Å).-->
+Um diese Beiträge einzeln sichtbar zu machen, nähert man die Dirac-Gleichung durch eine [[Reihenentwicklung]] an und erhält damit Korrekturterme zum nicht-relativistischen [[Hamiltonoperator]] <math>H_0</math>.<ref>H. Friedrich: ''Theoretical Atomic Physics.'' Third Edition, S. 88 f.</ref>  Abgesehen von der konstanten [[Ruheenergie]] <math>m_\mathrm{e}c^2</math> des Elektrons lautet der Hamiltonoperator dann in erster Ordnung (bei Vernachlässigung der Beiträge höherer Ordnung):
-<math>W_M = -\frac{\vec{p}^4}{8m_e^3c^2}</math> ist der Korrekturterm der kinetischen Energie aufgrund der relativistischen Massenzunahme,
+:<math>H = H_0 + W_\mathrm{M} + W_\mathrm{SB} + W_\mathrm{D} </math>.
-<math>W_{SB} = \frac{1}{2m_e^2c^2}\vec{S}\cdot \vec{L}\,\frac{1}{r}\frac{dV(r)}{dr}</math> der Korrekturterm zur [[Spin-Bahn-Kopplung]] und
+Die Korrekturterme sind im Einzelnen:
-<math>W_D = \frac{\hbar^2}{8 m_e^2c^2} \Delta V(r)</math> der sog. [[Darwin-Term]] als Korrektur der potentiellen Energie.
+* <math>W_\mathrm{M} = -\frac{{\vec{p}}^{\;4}}{8m_\mathrm{e}^3c^2}</math> – die relativistische Korrektur der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]]
+* <math>W_\mathrm{SB} = \frac{1}{2m_\mathrm{e}^2c^2}\,\vec{s} \cdot \vec{\ell}\ \frac{1}{r} \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}</math> – die [[Spin-Bahn-Kopplung]]
+* <math>W_\mathrm{D} = \frac{\hbar^2}{8 m_\mathrm{e}^2c^2} \Delta V</math> – der [[Darwin-Term]] als Korrektur der [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]] mit dem [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math>
+Die Energieverschiebung <math>\Delta E</math>, die man als Feinstruktur bezeichnet, ist dann entsprechend
-Diese Korrekturterme treten auf, wenn man statt der nichtrelativistischen [[Schrödinger-Gleichung]] (bzw. [[Pauli-Gleichung]]) die relativistische [[Dirac-Gleichung]] für das Atom löst. Neben der Feinstruktur kann man allerdings auch noch feinere Strukturen beobachten: die [[Hyperfeinstruktur]].
+:<math>\Delta E = E_\mathrm{M} + E_\mathrm{SB} + E_\mathrm{D}.</math>
-=== Astronomie ===
+== Wasserstoffatom ==
+[[Datei:Wasserstoff Aufspaltung.svg|mini|Feinstruktur-Aufspaltung als eine der Korrekturen der Energieniveaus des Wasserstoffatoms]]
-Die Feinstruktur des Universums wird auch [[Raumzeit-Schaum]] genannt. Dieser ist zur Erklärung von Wurmlöchern von Grundlegender Bedeutung.
+Beim Wasserstoffatom und allgemein jedem Atom mit nur einem Elektron kann man relativistische Effekte, Spin-Bahn-Wechselwirkung und Darwin-Term zu einer Formel für die Korrektur der Energieniveaus zusammenfassen:<ref>{{Literatur |Autor=[[Wolfgang Demtröder]] |Titel=Experimentalphysik 3 |Auflage=5. |Verlag=Springer |Datum=2005 |ISBN=3-540-21473-9 |Seiten=158-161}}</ref>
+:<math>\Delta E_\mathrm{FS} = E_{n} \left[\frac{Z^2 \alpha^2}{n}\left(\frac{1}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4n} \right) \right]</math>
+mit
+* der Energie <math>E_{n}  = -E_R \frac{Z^2}{n^2}</math> der Niveaus im Wasserstoffatom ohne Feinstruktur
+** der [[Rydberg-Energie]] <math>E_R \approx 13{,}6 \,\text{eV}</math>
+** der [[Kernladungszahl]] <math>Z</math>
+** der [[Hauptquantenzahl]] <math>n</math>
+* der [[Feinstrukturkonstante]] <math>\alpha</math>
+* dem [[Gesamtdrehimpuls]] <math>j</math>.
+Diese Formel verursacht für jedes mögliche <math>n</math> und <math>j</math> eine Absenkung der Energie. Sie stimmt mit der Sommerfeldschen Feinstrukturformel überein, die schon Jahre vor der Entdeckung des [[Spin]] und der [[Dirac-Gleichung|Dirac-Formel]] im Rahmen der [[Semiklassische Näherung|halbklassischen]] Vorstellungen des [[Bohr-Sommerfeldsches Atommodell|Bohr-Sommerfeldschen Atommodells]] entwickelt worden war<ref>[[Arnold Sommerfeld]]: ''Zur Feinstruktur der Wasserstofflinien. Geschichte und gegenwärtiger Stand der Theorie''. Naturwissenschaften, July 1940, Volume 28, Issue 27, pp 417–423; https://link.springer.com/article/10.1007/BF01490583</ref>.
+== Siehe auch ==
+* [[Landésche Intervallregel]]
-==Geschichtliches==
+== Quellen ==
+<references />
-Für seine Entdeckungen über die Feinstruktur des [[Wasserstoff]]-Spektrums erhielt [[Willis Eugene Lamb]] [[1955]] den [[Nobelpreis]] für [[Physik]].
+{{Normdaten|TYP=s|GND=4121253-8}}
-''Siehe auch:'' [[Feinstrukturkonstante]]
 [[Kategorie:Atomphysik]]
-[[en:Fine structure]]