„Jordanscher Kurvensatz“ – Versionsunterschied

Versionsgeschichte interaktiv durchsuchen

[ungesichtete Version]

[gesichtete Version]

← Zum vorherigen Versionsunterschied

Inhalt gelöscht Inhalt hinzugefügt

VisuellWikitext

Inline

Aktuelle Version vom 18. April 2025, 18:29 Uhr

Der jordansche Kurvensatz ist ein Ergebnis im mathematischen Teilgebiet der Topologie.

Aussage

In der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ zerlegt jede geschlossene Jordan-Kurve $C\subset \mathbb {R} ^{2}$ deren Komplement $\mathbb {R} ^{2}\setminus C$ in zwei disjunkte Gebiete, deren gemeinsamer Rand die Jordankurve $C$ ist und deren Vereinigung zusammen mit $C$ die ganze Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ausmacht.

Genau eines der beiden Gebiete, das sogenannte Innengebiet, ist eine beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$ .

Das andere dieser beiden Gebiete ist das sogenannte Außengebiet und unbeschränkt.

Geschichte

Dieser Satz erscheint so offensichtlich, dass Generationen von Mathematikern ihn benutzt haben, ohne ihn explizit zu formulieren, geschweige denn ihn zu beweisen. Der Beweis ist allerdings äußerst schwierig und aufwändig. Ein erster – noch unvollständiger – Beweisversuch wurde 1887 von Camille Jordan im dritten Band seines Werks Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique veröffentlicht. Der erste vollständige Beweis des jordanschen Kurvensatzes wurde 1905 von Oswald Veblen erbracht.^[1] Der jordansche Kurvensatz findet heute etwa in Geoinformationssystemen Anwendung beim Punkt-in-Polygon-Test nach Jordan.

Verallgemeinerung

Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz

Der jordansche Kurvensatz wurde von Luitzen Brouwer zum sogenannten Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz verallgemeinert. Dieser Satz besagt, dass das Komplement einer kompakten zusammenhängenden $(n-1)$ -dimensionalen Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$ genau zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. Jeweils eine der beiden hat die Eigenschaft, dass ihr Abschluss eine kompakte berandete Mannigfaltigkeit bildet, deren Rand genau die genannte Untermannigfaltigkeit ist. Der Beweis dieses Satzes wird meist mit dem Abbildungsgrad oder mit Hilfe der algebraischen Topologie geführt.

Satz von Schoenflies

Eine andere Verallgemeinerung ist der Satz von Schoenflies, nach dem jeder Homöomorphismus zwischen dem Einheitskreis und einer Jordankurve in der Ebene auf die ganze Ebene fortgesetzt werden kann. Hier gilt die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen jedoch nicht.

Literatur

M. C. Jordan: Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique, Band 3, Paris (1887). Die Passage zum jordanschen Kurvensatz ist auch als PDF-Dokument verfügbar.
Oswald Veblen: Theory on plane curves in non-metrical analysis situs. In: Transactions of the American Mathematical Society, Band 6 (1905), S. 83–98.

Weblinks

Jordanscher Kurvensatz – Erklärvideo von Edmund Weitz auf YouTube

Einzelnachweise

↑ Das ist die überwiegende Ansicht der Mathematikhistoriker und Mathematiker (in der Folge von Veblen), z. B. Morris Kline. Sie wurde aber von Thomas C. Hales in Frage gestellt. Insbesondere hält er einen der Hauptkritikpunkte, das Fehlen des Beweises für Polygone bei Jordan, für nicht stichhaltig, da dieser Teil relativ einfach ist. Hales The Jordan curve theorem, formally and informally, The American Mathematical Monthly, Band 114, 2007, S. 882–894, Jordan’s proof of the Jordan Curve theorem, Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, Band 10, 2007, pdf

[1] Das ist die überwiegende Ansicht der Mathematikhistoriker und Mathematiker (in der Folge von Veblen), z. B. Morris Kline. Sie wurde aber von Thomas C. Hales in Frage gestellt. Insbesondere hält er einen der Hauptkritikpunkte, das Fehlen des Beweises für Polygone bei Jordan, für nicht stichhaltig, da dieser Teil relativ einfach ist. Hales The Jordan curve theorem, formally and informally, The American Mathematical Monthly, Band 114, 2007, S. 882–894, Jordan’s proof of the Jordan Curve theorem, Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, Band 10, 2007, pdf

[1]

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-Der '''Jordansche Kurvensatz''' ist ein wichtiges Ergebnis im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].
+Der '''jordansche Kurvensatz''' ist ein Ergebnis im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].
-=== Aussage des Satzes ===
+== Aussage ==
+[[Datei:Closed Jordan Curve.svg|miniatur|Geschlossene Jordankurve ''C'']]
-Jede geschlossene [[Jordankurve]] im R<sup>2</sup> zerlegt den R<sup>2</sup> in zwei disjunkte Gebiete, deren gemeinsamer Rand die Jordankurve ist und deren Vereinigung mit der Jordankurve der R<sup>2</sup> ist. Genau eines der beiden Gebiete ist beschränkt.
+In der [[euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] <math>\R^2</math> [[Partition (Mengenlehre)|zerlegt]]  jede geschlossene [[Jordan-Kurve]] <math>C \subset \R^2</math> deren [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] <math> \R^2 \setminus C</math> in zwei [[disjunkt]]e [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]], deren gemeinsamer [[Rand (Topologie)|Rand]] die Jordankurve <math>C</math> ist und deren [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] zusammen mit <math>C</math> die ganze Ebene <math>\R^2</math> ausmacht.
-=== Geschichte ===
+Genau eines der beiden Gebiete, das sogenannte ''Innengebiet'', ist eine [[Beschränkte Menge#Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen|beschränkte Teilmenge]] von <math>\R^2</math>.
-Dieser Satz erscheint so offensichtlich, dass Generationen von Mathematikern ihn ohne Beweis benutzt haben. Dieser ist aber äußerst schwierig und aufwändig und wurde zuerst - noch unvollständig - [[1893]] von [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] erbracht.
+Das andere dieser beiden Gebiete ist das sogenannte ''Außengebiet'' und unbeschränkt.
-''Siehe auch:'' [[Alexander-Pontrjaginscher Dualitätssatz]]
+== Geschichte ==
-[[Kategorie:Topologie]]
+Dieser Satz erscheint so offensichtlich, dass Generationen von Mathematikern ihn benutzt haben, ohne ihn explizit zu formulieren, geschweige denn ihn zu beweisen. Der Beweis ist allerdings äußerst schwierig und aufwändig. Ein erster – noch unvollständiger – Beweisversuch wurde 1887 von [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] im dritten Band seines Werks ''Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique'' veröffentlicht. Der erste vollständige Beweis des jordanschen Kurvensatzes wurde 1905 von [[Oswald Veblen]] erbracht.<ref>Das ist die überwiegende Ansicht der Mathematikhistoriker und Mathematiker (in der Folge von Veblen), z. B. [[Morris Kline]]. Sie wurde aber von [[Thomas C. Hales]] in Frage gestellt. Insbesondere hält er einen der Hauptkritikpunkte, das Fehlen des Beweises für Polygone bei Jordan, für nicht stichhaltig, da dieser Teil relativ einfach ist. Hales ''The Jordan curve theorem, formally and informally'', The American Mathematical Monthly, Band 114, 2007, S. 882–894, ''Jordan’s proof of the Jordan Curve theorem'', Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, Band 10, 2007, [https://mizar.org/trybulec65/4.pdf pdf]</ref> Der jordansche Kurvensatz findet heute etwa in [[Geoinformationssystem]]en Anwendung beim [[Punkt-in-Polygon-Test nach Jordan]].
-[[en:Jordan curve theorem]]
-[[ja:ジョルダン曲線定理]]
+== Verallgemeinerung ==
-[[pl:Krzywa Jordana]]
+=== Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz ===
-[[ru:Теорема Жордана]]
+{{Hauptartikel|Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz}}
+Der jordansche Kurvensatz wurde von [[Luitzen Brouwer]] zum sogenannten [[Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz]] verallgemeinert. Dieser Satz besagt, dass das [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] einer [[kompakter Raum|kompakten]] [[zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] <math>(n-1)</math>-dimensionalen [[Untermannigfaltigkeit]] des <math>\mathbb{R}^n</math> genau zwei [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhangskomponenten]] besitzt. Jeweils eine der beiden hat die Eigenschaft, dass ihr Abschluss eine kompakte berandete [[Mannigfaltigkeit]] bildet, deren Rand genau die genannte Untermannigfaltigkeit ist. Der Beweis dieses Satzes wird meist mit dem [[Abbildungsgrad]] oder mit Hilfe der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] geführt.
+=== Satz von Schoenflies ===
+{{Hauptartikel|Satz von Schoenflies}}
+Eine andere Verallgemeinerung ist der [[Satz von Schoenflies]], nach dem jeder [[Homöomorphismus]] zwischen dem Einheitskreis und einer Jordankurve in der Ebene auf die ganze Ebene fortgesetzt werden kann. Hier gilt die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen jedoch nicht.
+== Literatur ==
+* M. C. Jordan: ''Cours d’Analyse de l’Ecole Polytechnique'', Band 3, Paris (1887). Die Passage zum jordanschen Kurvensatz ist auch als [https://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/jordan.pdf PDF-Dokument] verfügbar.
+* Oswald Veblen: ''Theory on plane curves in non-metrical analysis situs.'' In: ''Transactions of the American Mathematical Society'', Band 6 (1905), S. 83–98.
+== Weblinks ==
+* [https://www.youtube.com/watch?v=nOrqbhi_mbw Jordanscher Kurvensatz] – Erklärvideo von [[Edmund Weitz]] auf YouTube
+== Einzelnachweise ==
+<references />
+[[Kategorie:Topologie von Flächen]]
+[[Kategorie:Satz (Geometrie)]]
+[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]