Quelltext der Seite R-Matrix

In der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] werden [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] <Math>R\in Mat(n)</Math>, welche der '''Yang-Baxter-Gleichung''' (nach [[C. N. Yang]]<ref>Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, {{DOI|10.1103/PhysRevLett.19.1312}}</ref> und [[Rodney Baxter]]<ref>Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, {{DOI|10.1098/rsta.1978.0062}}, {{JSTOR|75051}}</ref>):
:<math>R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}</math>
genügen, als '''R-Matrizen''' bezeichnet.

In der [[Mathematik]] werden R-Matrizen zur Konstruktion von [[Quanteninvariante]]n in der [[Knotentheorie]] verwendet.

== Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten ==
[[Datei:Illustration of Yang Baxter Equation.png|mini|Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung]]
Eine <math>n^2\times n^2</math>-Matrix <math>R</math> mit Einträgen <math>r_{ij}^{kl}</math> kann als [[Endomorphismus]] des <math>\Complex^n\otimes\Complex^n</math> mit Basis <math>e_i\otimes e_j</math> aufgefasst werden, also
:<math>R(e_i\otimes e_j)=\sum_{k,l}r_{ij}^{kl}e_k\otimes e_l</math>.
Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als
:<math>R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}</math>,
wobei <math>R^{ij}</math> der Endomorphismus von <math>\Complex^n\otimes \Complex^n\otimes \Complex^n</math> ist, der auf den Faktoren <math>i,j</math> als <math>R</math> wirkt und auf dem dritten Faktor als [[Identitätsabbildung]]. Also
:<math>R^{12}=R\otimes id, R^{23}=id\otimes R</math>
und
:<math>R^{13}(e_i\otimes e_j\otimes e_k)=\sum_{a,b}r_{ik}^{ab}e_a\otimes e_j\otimes e_b</math>.

== R-Matrizen in der Quantenmechanik ==
Ein eindimensionales [[Quantenmechanik|quantenmechanisches System]] ist genau dann [[Integrables System|integrabel]], wenn seine [[S-Matrix|Streumatrix]] der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

== R-Matrizen in der Knotentheorie ==
Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

== Literatur ==
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Yang-Baxter_equation ''Yang-Baxter equation''.] In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematics.'' Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
* J. Park, H. Au-Yang: [https://arxiv.org/pdf/math-ph/0606053v1.pdf ''Yang-Baxter equations.''] In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): ''Encyclopedia of Mathematical Physics.'' Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
* M. Jimbo: [https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1104114539 ''Quantum R matrix for the generalized Toda system.''] In: ''Comm. Math. Phys.'' 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, {{DOI|10.1007/BF01221646}}.
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Knotentheorie]]
[[Kategorie:Matrix]]