Quelltext der Seite Plateau-Problem

[[Datei:Bulle caténoïde.png|mini|Die von Joseph Plateau untersuchten Seifenfilme sind eine natürliche Lösung für das Plateau-Problem.]]
In der [[Mathematik]] besteht das '''Plateau-Problem''' darin, eine [[Minimalfläche]] zu finden, die als Rand eine gegebene [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] besitzt. Es ist benannt nach [[Joseph Plateau]], der die Formen von [[Seifenhaut|Seifenhäuten]] in Drahtgestellen experimentell bestimmte. Erstmals mathematisch formuliert wurde das Problem 1760 durch [[Joseph-Louis Lagrange]]. Es gehört zum Gebiet der [[Variationsrechnung]].

In allgemeinerem Sinn versteht man darunter einen ganzen Komplex von Problemen, die von folgender Form sind: man finde ein Element aus einer vorgegebenen Menge <math>E</math> von „Oberflächen“, die bestimmte Randbedingungen erfüllen, und die eine gegebene „Flächen“-Funktion <math>f \colon E \to \mathbb R</math> minimieren oder ein kritischer Punkt dieser Funktion sind. Außerdem sollten die Lösungen bestimmte Regularitätsbedingungen erfüllen. Das Plateauproblem hat seit seiner Formulierung im 19. Jahrhundert zu viel Forschungsarbeit und neuen Entwicklungen in der Mathematik Anstoß gegeben und stellt in seinen verschiedenen Verallgemeinerungen auch noch offene Probleme zum Beispiel bei [[Minimalfläche]]n.

== Lösung des Problems ==
Im Laufe der Zeit wurden verschiedene spezielle Formen des Problems gelöst, beispielsweise von [[Hermann Amandus Schwarz|Schwarz]] im Jahre 1865. 1928 löste [[René Garnier]] das Plateau-Problem durch Lösung eines Riemann-Hilbert-Problems für [[Polygon|polygonale]] Randkurven. Ein Approximationsprozess löst das Plateau-Problem dann für [[Stetige Funktion|stetige]] Randkurven. Der Beweis der Existenz einer Lösung des Problems gelang jedoch erst Anfang der 1930er Jahre unabhängig voneinander [[Jesse Douglas]]<ref>Douglas ''Solutions of the problem of Plateau'', Transactions AMS, 33, 1941, 263–321</ref> und [[Tibor Radó]]<ref>Rado ''The problem of least area and the problem of Plateau'', Mathematische Zeitschrift Bd. 32, 1930, S. 763, Rado ''On the problem of Plateau'', Springer Verlag 1933</ref> mit Mitteln der direkten Methoden der Variationsrechnung (vgl. als Beispiel die Lösung des [[Dirichlet-Prinzip|Dirichletprinzips]]). Douglas (der für die Lösung die erste [[Fields-Medaille]] erhielt) löste das Problem ursprünglich nur für Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (mit einer [[Jordan-Kurve]] als Rand), die topologisch einer Scheibe entsprechen (Genus 0). Douglas und [[Richard Courant]] verallgemeinerten die Lösung<ref>dargestellt in Courant ''Dirichlet’s principle conformal mapping and minimal surfaces'', Interscience 1950</ref> auf beliebiges topologisches Geschlecht und mehrere disjunkte Kurven als Ränder. Während Douglas und Rado eine Art Energie-Funktional minimierten, gaben [[Herbert Federer]] und [[Wendell Fleming]] 1960<ref>Federer, Fleming ''Normal and integral currents'', Annals of Mathematics, 72, 1960, 458–520</ref> eine Lösung mit geometrischer Maßtheorie. [[Ernst Robert Reifenberg]] gab 1961 eine Lösung für beliebiges Geschlecht mit neuartigen Methoden.<ref>Reifenberg, Solution of the Plateau Problem for m-dimensional surfaces of varying topological type, Acta Mathematica, 80, 1960, Nr. 2, 1–14</ref>

[[Charles Morrey]] betrachtete das verallgemeinerte Problem auf Flächen in allgemeinen [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeiten]].<ref>Morrey ''The problem of Plateau on a Riemannian manifold'', Annals of Mathematics, Bd. 49, 1948, S. 807</ref> Eine Variante des Problems, in der die gesuchten Flächen physikalischen Seifenblasen besser angepasst sind, untersuchte [[Frederick Almgren]], weiter verfolgt unter anderem von [[Jean Taylor]] und [[Jenny Harrison]].

In mehr als drei Dimensionen und für Hyperflächen anderer Dimension <math>k</math> als <math>k \geq n - 1</math> existieren nicht immer reguläre Lösungen ([[Ennio De Giorgi]] und andere ab 1961). Im Fall <math>k \geq n - 1</math> treten singuläre Lösungen aber erst in <math>n \geq 8 </math> auf.

== Parametrische Formulierung des Problems ==

Es sei <math>\Gamma\subset\mathbb R^3</math> eine [[Jordankurve]] mit drei fest gewählten Punkten <math>X_1,X_2,X_3\in\Gamma.</math> Gesucht ist eine Abbildung <math>X\colon\overline B\to\mathbb R^3</math> auf dem Abschluss der offenen Kreisscheibe <math>B=\{(u,v)\in \mathbb{R}^2\,:\,u^2+v^2<1\}</math> mit der Eigenschaft <math>X(\partial B)=\Gamma</math> mit dem Rand <math>\partial B=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,u^2+v^2=1\}</math> von <math>B.</math> Von der Abbildung <math>X</math> werden folgende Eigenschaften verlangt:

* Harmonizität: <math>\triangle X(u,v)=0</math> in <math>B</math>
* Konformität: <math>|X_u(u,v)|^2=|X_v(u,v)|^2</math> sowie <math>X_u\cdot X_v=0</math> in <math>B</math>
* Topologische [[Randbedingung]]: <math>X\colon\partial B\to\Gamma</math> [[Homöomorphismus]] auf <math>\Gamma</math>
* 3-Punktebedingung: <math>X(e^{2\pi i k/3})=X_k</math> für <math>k=1,2,3.</math>

== Erweitertes Problem in höheren Dimensionen ==
Die Erweiterung des Problems auf höhere Dimensionen, also auf ''k''-dimensionale Flächen im ''n''-dimensionalen Raum, stellt sich dagegen als weitaus schwieriger dar. Insbesondere sind Lösungen des allgemeinen Problems nicht notwendig regulär, sondern können [[Singularität (Mathematik)|Singularitäten]] besitzen. Dies gilt stets für <math>k \leq n-2</math>, aber auch für den Fall einer [[Hyperfläche]], also <math>k=n-1</math>, wenn <math>n\geq 8</math>.

== Literatur ==
* [[Jenny Harrison]], Harrison Pugh: Plateau’s problem, in: John Forbes Nash jr., Michael Th. Rassias (Hrsg.), Open problems in mathematics, Springer 2016, S. 273–302

Originalarbeiten:
* [[Jesse Douglas]]: ''Solution of the problem of Plateau.'' In: ''Transactions of the American Mathematical Society.'' 33, 1, 1931, {{ISSN|0002-9947}}, S. 263–321, {{doi|10.2307/1989472}}.
* [[Tibor Radó]]: ''On Plateau’s problem.'' In: ''The Annals of Mathematics.'' 31, 3, 1930, {{ISSN|0003-486X}}, S. 457–469, {{doi|10.2307/1968237}}.

* [[Anatoli Timofejewitsch Fomenko|A. T. Fomenko]]: ''The Plateau Problem. A Historical Survey'', Gordon and Breach 1989
* [[Michael Struwe]]: ''Plateau’s Problem and the Calculus of Variations'',  Princeton, NJ: Princeton University Press 1989

== Weblinks ==
* {{MathWorld| id = PlateausProblem | title = Plateaus Problem}}
* [https://www.msri.org:443/workshops/115/schedules/25196 Brian Whites Webpage]
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Plateau_problem Springer Online Reference Works]

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]