Visa källa för Addition

{{Matematiska operationer}}
'''Addition''' är ett av de fyra grundläggande [[räknesätt]]en inom [[aritmetik]], och betecknas normalt med ett [[plustecken]] (<math>+</math>) som infördes omkring år [[1500]], och är en [[binär operator]]. Addition med ett [[Negativa tal|negativt]] [[tal]] är ekvivalent med [[subtraktion]] (med motsvarande [[positiva tal]]). Vid addition läggs värdet av (minst) två [[term (matematik)|termer]] samman till en [[summa]]; exempelvis skrivs summan av sex och två <math>6 + 2 = 8</math> (utläses "sex plus/adderat med två är lika med åtta").

Upprepad addition betecknas med [[summatecken]] <math>\scriptstyle{\sum}</math>, ursprungligen den versala [[grekiska]] bokstaven Σ, [[sigma]]. Exempel:
:<math>\sum_{i=2}^{5} i = 2 + 3 + 4 + 5</math>

Upprepad addition med samma term motsvarar multiplikatorn med ett [[heltal]]:
:<math>\sum_{i=1}^{n} x = x \cdot n </math>

Begreppet addition och plusoperatorn används också för att beteckna andra binära operationer med liknande [[algebra]]iska egenskaper, exempelvis [[vektoraddition]], [[matris]]addition, [[eller]]-operatorn i [[Boolesk algebra]], [[Modulär aritmetik|modulär addition]], och [[konkatenering]] av [[Sträng (data)|textsträngar]].

Summan av två naturliga tal <math>a</math> och <math>b</math> kan uppfattas som antalet objekt i den uppsättning som ges av att till en uppsättning med <math>a</math> objekt foga en uppsättning med <math>b</math> objekt. Addition av tal lyder under en kompositionsregel; två element ställs samman och resulterar i ett element. <math>a</math> och <math>b</math> ställs samman och bildar exempelvis <math>c</math>. Vid addition av talet <math>0</math> till ett element <math>a</math> bibehålls <math>a</math> oförändrat, <math>a + 0 = a</math>, eftersom inte noll förändrar <math>a</math>:s värde vid addition, detta gäller för varje tal <math>a</math>.<ref name="ReferenceA">{{bokref|författare= William Karush|år=1962|titel=Matematisk uppslagsbok översatt och bearbetad av Jan Thompson och Bertil Rahm|förlag=Wahlström & Widstrand Stockholm 1970|id={{ISBN|91-46-13004-7}}}}</ref>[[Fil:Addition01.svg|miniatyr|upright|3 + 2 = 5 med [[äpple]]n, ett vanligt val i skolböcker]]

== Additionslagar ==
[[Fil:PlusCM128.svg|miniatyr|upright|Plustecknet]]
Lagarna gäller för alla tal ''a'', ''b'' och ''c''.
:<math>a+0=a</math>
:<math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> kallas för den [[Associativitet|associativa lagen]].
:<math>a+b=b+a</math> kallas för den [[Kommutativitet|kommutativa lagen]].

Additionen är även en [[transitiv relation]]<ref>{{bokref|författare= Bo Göran Johansson|år=2004|titel=Matematikens historia|förlag=Studentlitteratur|id={{ISBN|91-44-03322-2}}}}</ref>, om {{nowrap|''a'' {{=}} ''b''}} så är {{nowrap|''a'' + ''c'' {{=}} ''b'' + ''c''}}.

Den associativa och kommutativa lagen medför att en kontroll av summan kan göras genom summering av termerna i en annan ordning.<ref name="ReferenceA"/> Lagen <math>0+a=a</math> kan vara tillämplig i fall då man beräknar en summa av två tal som överstiger 10 eller annat tal med slutsiffran 0. Ett exempel är beräkning av summan av siffrorna 0–9:
:<math>0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45</math>

då summan kan beräknas enklare genom att låta ordningen på termerna kastas om, rimligast på ett sådant sätt att de två siffror som ger summan <math>10 = 5+5</math> sorteras ihop (9+1, 8+2, 7+3 respektive 6+4) och siffran 5 sist, varpå även de (totalt fem) sifferpar som ger summan nio sorteras ihop (0+9, 1+8, 2+7, 3+6 respektive 4+5); vid det senarenämnda alternativet kan man förenkla genom att skriva om summan 9 som <math>10-1</math> och därigenom addera <math>10 = 2 * 5</math> (i detta fall) fem gånger för att sedan subtrahera 5 (=fem ental) – vilket dock blir detsamma som om man adderar 10 enbart fyra gånger och sedan 5 en gång.

Ytterligare ett alternativ kan vara att först summera ihop siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5 till ''en'' term följt av siffrorna 6, 7, 8 och 9 till ''två'' termer vilka sedan enkelt kan adderas ihop; eftersom 2 här kan subtraheras från 8 så att 8 omvandlas till 6 så kan termen 7 adderas med 2 för att omvandlas till 9, vilket ger två (likadana) termer för siffrorna 6 och 9 som kan underlätta beräkningen: <math>\underbrace{1+2+3+4+5}_{6+4+5=6+9=10+5=15}+\underbrace{6+9}_{21+4+5}+\underbrace{6+9}_{36+4+5}=40+5</math>

I detta fall är lagen <math>0+a=a</math> tillämplig, eftersom denna ger utrymme för att förenkla en addition av två termer som ger en summa större än 10 (eller annat heltal med slutsiffran 0), då de två termerna kan omvandlas (i ett så kallad ''mellanled'' som visas nedan) till tre (eller fler) termer, varav de första utgör så kallade ''tiokamrater'' och den/de sista talar om hur många ental som adderas till 0 ental. I nämnda räkneoperation görs följande tre beräkningar, där alla ''tiokamrater'' anges inom parentes:
:<math>\underbrace{6+9}_{6+3+6}=\underbrace{(5+1+4)}_{6+4=5+5=10}+5=15</math>
:<math>\underbrace{15+6+9}_{18+6+6=24+6}=\underbrace{10+(5+5)+(1}_{20+1+4=21+4=25}+\underbrace{4+5)}_{25+5}=30</math>
:<math>\underbrace{30+6+9}_{36+6+3=42+3}=\underbrace{30+(5+1+4)}_{=35+5=36+4=40}+5=45</math>

Eftersom det finns totalt fyra grupper av ''tiokamrater'' så kan man förenkla additionen ytterligare genom att, som nämnts i första räknealternativet, addera ihop enbart 10-kamraterna (vilka gärna kan delas upp i 5+5) plus siffran 5, alternativt de fem sifferpar som ger summan 9:

:<math>(0+)\underbrace{10+10+10+10}_{4*10=8*5=40}+\underbrace{5=45}_{40+5=9*5}</math>
:<math>(0+)\underbrace{9+9+9+9+9}_{5*9}=\underbrace{36+6}_{=7*6=42}+3=45</math>

Notera att i de fall man lägger samman (adderar) ett och samma tal ett flertal gånger så anges additionen med formeln <math>a * b</math> (utläses "a gånger b") där "b" är det tal som läggs samman och "a" det tal som anger antalet gånger talet "b" läggs samman; detta räknesätt kallas ''[[multiplikation]]''.

=== Addition av algebraiska uttryck ===
Vid addition av [[Algebraiskt uttryck|algebraiska uttryck]] adderas termer av samma slag var för sig genom att deras [[koefficient]]er adderas. Exemplet nedan visar hur addition av algebraiska termer går till.
:<math>(2x^2+3x+1)+(3x^2+x+4)=5x^2+4x+5</math>

=== Addition av komplexa tal ===
{{Huvudartikel|Komplexa tal}}
Ett [[Komplexa tal|komplext tal]] brukar skrivas <math>a + b i </math> där <math>a </math> och ''<math>b </math>'' är [[reella tal]] och <math>i </math> är [[imaginära tal|imaginärt]]. <math>i </math> satisfieras av <math>i^2 = -1 </math>. I uttrycket <math>a + b i </math> kallas <math>a </math> för realdelen och <math>b </math> för imaginärdelen.<ref name="ReferenceA" />  

:<math>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math>

Vid addition av komplexa tal adderas således realdel och imaginärdel var för sig.

=== Addition av vektorer ===
{{Huvudartikel|Vektor#Addition och subtraktion|Vektoraddition}}
Följande definieringar av addition av vektorer gäller för godtycklig dimension, för enkelhetens skull visas här addition av vektorer i planet.

Låt <math>v_1 </math> och <math>v_2 </math>vara två riktade sträckor med samma utgångspunkt. Deras summa, eller resultant som det kallas för vektorer, består i den riktade diagonal i det parallellogram som spänns upp av <math>v_1 </math>och <math>v_2 </math>. Denna sträcka har samma utgångspunkt som <math>v_1 </math>och <math>v_2 </math>. Detta sätt att summera vektorer på går under [[parallellogramlagen]].<ref name="ReferenceA"/> Vektor <math>v_1 </math> och vektor <math>v_2 </math> kallas för komposanter, de bygger upp resultanten <math>v </math>.

I figuren nedan adderas vektor <math>v_1 </math> (blå) och vektor <math>v_2 </math> (grön) och bildar resultantvektorn <math>v </math> (svart). Detta illustreras genom att den blå vektorn läggs ut först och vid dess spets startar den gröna vektorn, den svarta vektorn har sin startpunkt i den blå vektorns stjärt och sin slutpunkt vid den gröna vektorns spets. Om <math>v_2 </math> och <math>v_1 </math> adderas istället så börjar man med den gröna vektorn först och lägger sedan på den blå. Som synes i figuren skapar de blå och gröna vektorerna en parallellogram vars diagonal utgörs av den resulterande vektorn.    

[[Fil:Addition av vektorer 003.jpg|250px]]

Om ''v₁'' och ''v₂'' representeras av två talpar <math>\scriptstyle{x_1 \choose y_1}</math> och <math>\scriptstyle{x_2 \choose y_2}</math> blir deras summa den vektor som representeras av <math>\scriptstyle{(x_1+x_2)\choose (y_1+y_2)}</math>, det vill säga:
:<math>{x_1 \choose y_1}+{x_2 \choose y_2}={(x_1+x_2)\choose (y_1+y_2)}</math>

=== Addition av vinklar ===
Vid addition av riktade vinklar räknas moturs positivt och medurs negativt. Summan av <math>A + B </math> är således den rotation som ges av att först utföra rotationen <math>A </math> och därefter rotationen <math>B </math>. En rotation först på <math>60^\circ </math> och därefter <math>30^\circ </math> blir en total rotation på <math>90^\circ </math> som visas genom följande uträkning <math>60^\circ + 30^\circ = 90^\circ </math>. Timvisaren på en klocka visar 12, efter 3&nbsp;timmar har visaren rört sig <math>-90^\circ </math>, efter 13&nbsp;timmar har visaren rört sig <math>-360^\circ + -(30^\circ) = -390^\circ </math>. Efter 1&nbsp;timme och 13&nbsp;timmar är vinkeln mellan 12:an på klockan och timvisaren densamma, det vill säga <math>30^\circ </math>.<ref name="ReferenceA"/>

=== Addition av bråktal ===
För att addera bråktal krävs det att bråktalen har samma nämnare. Om {{bråk|25|60}} och {{bråk|3|4}} ska adderas söks den [[minsta gemensamma nämnare]]n (MGN). För att lösa addition av bråktal räcker det dock med att hitta en gemensam nämnare och överföra de olika bråktalen till denna nämnare. I detta fall är till exempel 12 en gemensam nämnare, men även 60 och 240 är gemensamma nämnare. Detta problem kan illustreras i att räkna ut den totala tiden 25&nbsp;minuter plus 3/4&nbsp;timme.
:<math>\frac{(25/5)}{(60/5)}+\frac{(3 \cdot 3)}{(4 \cdot 3)}=\frac{5}{12}+\frac{9}{12}=\frac{14}{12}=\frac{70}{60}</math>
Svaret blir således att den totala tiden är 70 minuter. 

Allmänt gäller:
<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{db}=\frac{(ad+cb)}{bd}</math> om ''b'' och ''d'' är skilda från noll.

=== Trigonometriska additionsformler ===
{{Huvudartikel|Trigonometriska formler#Samband för två vinklar}}
Nedan följer de vanligaste trigonometriska additionsformlerna som används när till exempel vinklar adderas eller subtraheras från varandra.<ref>{{bokref|författare= Jan Thompson & Thomas Martinsson|år=1991|titel=Matematiklexikon|förlag=Wahlström & Widstrand|id={{ISBN|91-46-16515-0}}}}</ref>    

* <math>\begin{align}\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\end{align}</math>

* <math>\begin{align}\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\end{align}</math>

* <math>\begin{align}\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\end{align}</math>

* <math>\begin{align}\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\end{align}</math>

* <math>\tan (A+B)=\frac{(\tan A + \tan B)}{(1-\tan A \tan B)}</math>

* <math>\tan (A-B)=\frac{(\tan A - \tan B)}{(1+\tan A \tan B)}</math>

=== Addition av transfinita tal ===
{{Huvudartikel|Transfinita tal}}
Ett [[transfinita tal|transfinit tal]] är ett oändligt [[ordinaltal]] eller ett oändligt [[kardinaltal]]. Skillnaden på ordinaltal och kardinaltal är att i ordinaltalet spelar platsen i mängden roll. Ett oändligt kardinaltal uttrycker ”storleken” av en oändlig mängd. Två mängder säges ha samma kardinaltal eller mäktighet om de på ett en-entydigt sätt kan ordnas till varandra.<ref name="ReferenceA"/>    

För oändliga kardinaltal ''m'' gäller följande aritmetik:
* <math>\begin{align}m+1=m\end{align}</math>
* <math>\begin{align}m+m=m\end{align}</math>
* <math>\begin{align}m \cdot m=m\end{align}</math>

== Källor ==
<references/>

== Se även ==
* [[Lista över matematiska symboler]]

== Externa länkar ==
*{{Commonscat|Addition}}
* {{Wiktionarypar|addition}}

{{Elementär aritmetik}}

[[Kategori:Elementär aritmetik]]
[[Kategori:Matematiska operationer]]
[[Kategori:Grundläggande matematik]]
[[Kategori:Addition| ]]
[[Kategori:Binära operationer]]