Ver código fonte para Circunferência

{{mais notas|ciência=sim|data=abril de 2017}}
[[Imagem:Circle-withsegments.svg|thumb|direita|Uma [[circunferência]] com
{{linha de legenda|black solid 3px|comprimento da circunferência ''C''}}
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Na [[geometria]], uma '''circunferência''', por vezes chamada de '''círculo''',{{TagNota|Em inglês, o termos utilizado é ''{{lang|en|circle}}'', de forma que em alguns livros, especialmente aqueles direcionados para o ensino superior, utilizem a palavra circulo para se referir à figura, como pode ser observado em Geometria euclidiana plana, de [[João Lucas Marques Barbosa|Barbosa]],<ref>{{citar livro |ultimo=Barbosa |primeiro=João Lucas Marques |data=Agosto de 1997 |anooriginal=1995 |titulo=Geometria Euclidiana Plana |url=https://archive.org/details/geometriaeuclidianaplanajoaolucasempdfescrito/page/n19/mode/2up |local=Rio de Janeiro, RJ |editora=Sociedade Brasileira de Matemática |pagina=12 |isbn=978-85-85818-02-9 |citação=Seja {{mvar|A}} um ponto do plano e {{mvar|r}} um numero real positivo. O circulo de centro {{mvar|A}} e raio {{mvar|r}} é o conjunto constituído por todos os pontos {{mvar|B}} do plano tais que {{math|1=''AB'' = ''r''}}.}}</ref> ou em Curso de análise, de [[Elon Lages Lima|Lima]].<ref>{{citar livro |ultimo=Lima |primeiro=Elon Lages |data=2014 |titulo=Curso de análise |local=Rio de Janeiro, RJ |editora=IMPA |paginas=28–29 |isbn=978-85-244-0372-9 |citação=Um exemplo disso é a aplicação {{math|1=''f'' : [0, 2''π'') → S<sup>1</sup>}}, do intervalo semi-aberto {{math|[0, 2''π'')}} sobre o círculo unitário {{math|1=S<sup>1</sup> = {{mset|1=(''x'', ''y'') ∈ '''R'''<sup>2</sup>; ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1}}}}, definida por {{math|1=''f''(''t'') = (cos ''t'', sen ''t'')}}.}}</ref> No entanto, no ensino básico, a palavra utilizada é circunferência, como pode ser observado nos livros didáticos das editoras [[FTD]],<ref>{{citar livro |ultimo1=Giovannni Jr. |primeiro1=José Ruy |ultimo2=Castrucci |primeiro2=Benedicto |data=2009 |titulo=A conquista da Matemática |volume=8 |local=São Paulo, SP |editora=FTD |pagina=327 |isbn=978-85-322-7013-9 |citação=Circunferência é a região geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano.}}</ref> Editora do Brasil,<ref>{{citar livro |ultimo1=Andrini |primeiro1=Álvaro |ultimo2=Vasconcellos |primeiro2=Maria José |data=2015 |titulo=Praticando Matemática |volume=9 |local=São Paulo, SP |editora=Editora do Brasil |pagina=225 |isbn=978-85-10-05898-8 |citação=[...] a circunferência é uma linha formada por todos os pontos do plano que estão a uma mesma distância de um ponto fixo que é o centro da circunferência.}}</ref> Edições SM,<ref>{{citar livro |ultimo1=Chavante |primeiro1=Eduardo Rodrigues |data=2015 |titulo=Convergências: Matemática |volume=9 |local=São Paulo, SP |editora=Edições SM |pagina=182 |isbn=978-85-418-0967-2 |citação= '''Circunferência''' é a figura geométrica plana formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo, chamado centro.}}</ref> e [[Moderna]].<ref>{{citar livro |data=2007 |titulo=Projeto Araribá: Matemática |volume=8 |local=São Paulo, SP |pagina=226 |isbn=978-85-16-05518-9 |editora='''Circunferência''' é a figura geométrica é formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo.}}</ref><ref>{{citar livro |ultimo1=Bianchini |primeiro1=Edwaldo |data=2018 |titulo=Matemática — Bianchini |volume=9 |local=São Paulo, SP |editora=Moderna |pagina=259 |isbn=978-85-16-11381-0 |citação='''Circunferência''' é a linha é formada por todos os pontos de um plano que estão na mesma distância de um ponto fixo desse plano.}}</ref>}} é o [[conjunto]] dos [[ponto (matemática)|ponto]]s num plano numa dada distância de um dado ponto, o [[centro]].

A '''circunferência''' é conhecido desde antes do início da história registrada. As circunferência naturais são comuns, como a [[lua cheia]] ou uma fatia de fruta redonda. A circunferência é a base da [[roda]], que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. Na matemática, o estudo da circunferência ajudou a inspirar o desenvolvimento da [[geometria]], da [[astronomia]] e do [[cálculo]].

== Terminologia ==
* [[Coroa circular]]: um objeto em forma de anel, a região delimitada por duas circunferências [[Objetos concêntricos|concêntricos]].
* Arco: qualquer parte conectada de uma circunferência. A especificação de dois pontos finais de um arco e de um centro permite a criação de dois arcos que, juntos, formam uma circunferência completa.
* [[Centro]]: o ponto equidistante de todos os pontos da circunferência.
* [[Corda (geometria)|Corda]]: um segmento de linha cujos pontos finais estão na circunferência, dividindo assim uma circunferência em dois segmentos.
* [[Comprimento da circunferência]]: o perímetro ao redor da circunferência.
* [[Diâmetro]]: um segmento de linha cujos pontos finais estão sobre a circunferência e que passa pelo centro; ou o comprimento desse segmento de linha. Essa é a maior distância entre dois pontos quaisquer do circunferência. É um caso especial de uma corda, ou seja, a corda mais longa para uma determinada circunferência, e seu comprimento é duas vezes o comprimento de um raio.
* [[Círculo]]: a região do plano delimitada por uma circunferência.
* [[Lente (geometria)|Lente]]: a região comum a (a interseção de) dois círculos sobrepostos.
* [[Raio (geometria)|Raio]]: segmento de reta que une o centro de uma circunferência a qualquer ponto da própria circunferência; ou o comprimento desse segmento, que é a metade (do comprimento) de um diâmetro. Normalmente, o raio é denotado por {{mvar|r}} e deve ser um número positivo. Um circunferência com {{math|1=''r'' = 0}} é um caso degenerado que consiste em um único ponto.
* [[Setor circular|Setor]]: uma região limitada por dois raios de igual comprimento com um centro comum e um dos dois arcos possíveis, determinados por esse centro e pelos pontos finais dos raios.
* [[Segmento circular]]: uma região delimitada por uma corda e um dos arcos que conectam os pontos finais da corda. O comprimento da corda impõe um limite inferior ao diâmetro dos possíveis arcos. Às vezes, o termo segmento é usado apenas para regiões que não contêm o centro da circunferência na qual o arco pertence.
* [[Reta secante|Secante]]: uma corda estendida, uma linha reta coplanar, que intercepta uma circunferência em dois pontos.
* [[Semicírculo]]: um dos dois arcos possíveis determinados pelos pontos finais de um diâmetro, tendo seu ponto médio como centro. No uso comum não técnico, pode significar o interior da região bidimensional delimitada por um diâmetro e um de seus arcos, que é tecnicamente chamado de semidisco. Um meio disco é um caso especial de um segmento, ou seja, o maior deles.
* [[Tangente (geometria)|Tangente]]: uma linha reta coplanar que tem um único ponto em comum com uma circunferência ("toca a circunferência nesse ponto").

Todas as regiões especificadas podem ser consideradas como abertas, ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas, incluindo seus respectivos limites.

<gallery>
Ficheiro:CIRCLE LINES-pt-br.svg|Corda, secante, tangente, raio e diâmetro
Ficheiro:Circle slices-pt-br.svg|Arco, setor e segmento
</gallery>

== História ==
Os povos pré-históricos fizeram [[Círculo de pedras|círculos de pedra]] e [[círculos de madeira]], e elementos circulares são comuns em [[Petroglifos|petróglifos]] e [[pinturas rupestres]].<ref>{{citar periódico|url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0003598X00049048/type/journal_article |título=Sacred landscapes of the south-eastern USA: prehistoric rock and cave art in Tennessee |data=2013-06-01 |periódico=Antiquity |número=336 |último2 =Cressler |primeiro2 =Alan |páginas=430–446 |língua=en |doi=10.1017/S0003598X00049048 |issn=0003-598X |último3 =Herrmann |primeiro3 =Nicholas P. |último4 =Sherwood |primeiro4 =Sarah C. |volume=87 |último1 =Simek |primeiro1 =Jan F. |s2cid=130296519}}</ref> Os artefatos pré-históricos em forma de disco incluem o [[Disco de Nebra]] e os discos de jade chamados [[Bi (jade)|Bi]].

O [[Papiro de Rhind|papiro egípcio de Rhind]], datado de 1700 a.C., apresenta um método para encontrar a área de um círculo. O resultado corresponde a {{sfrac|256|81}} (3,16049...) como um valor aproximado de <math>\pi</math>.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html#1700BC Chronology for 30000 BC to 500 BC] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080322085509/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Chronology/30000BC_500BC.html|data=2008-03-22}}. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.</ref>

O Livro 3 de ''[[Os Elementos]]'' de [[Euclides]] trata das propriedades das circunferência. A definição de circunferência de Euclides é a seguinte:

{{Quote|texto=Uma circunferência é uma figura plana delimitada por uma linha curva e tal que todas as linhas retas traçadas de um certo ponto dentro dela até a linha de delimitação são iguais. A linha de delimitação é chamada de circunferência e o ponto, de centro.|autor=Euclides, ''Os Elementos'', Livro I}}

Na [[Sétima Carta]] de [[Platão]], há uma definição e explicação detalhadas da circunferência. Platão explica a circunferência perfeita e como ele é diferente de qualquer desenho, palavra, definição ou explicação. A ciência primitiva, particularmente a [[geometria]], a [[astrologia]] e a [[astronomia]], estava ligada ao divino para a maioria dos estudiosos medievais, e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente "divino" ou "perfeito" que poderia ser encontrado nas circunferências.<ref>[[Arthur Koestler]], ''The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe'' (1959)</ref><ref>[[Proclus]], [https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ ''The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato''] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170123072440/https://books.google.com/books?id=E1HYAAAAMAAJ|data=2017-01-23}} Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato"</ref>

Em 1880 d.C., [[Ferdinand von Lindemann]] provou que {{pi}} é [[Número transcendente|transcendente]], demonstrando que o problema milenar da [[quadratura do círculo]] não pode ser realizado com régua e compasso.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html Squaring the circle] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080624144640/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Squaring_the_circle.html|data=2008-06-24}}. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03.</ref>

Com o advento da arte abstrata no início do século XX, os objetos geométricos se tornaram um tema artístico por si só. [[Wassily Kandinsky]], em particular, usava circunferência com frequência como um elemento de suas composições.<ref>{{citar web|url=https://philamuseum.org/collection/object/51019|título=Circles in a Circle|acessodata=2023-12-28|website=Philadelphia Museum of Art|língua=en}}</ref><ref>{{citar web|último =Lesso|primeiro =Rosie|url=https://www.thecollector.com/why-did-wassily-kandinsky-paint-circles/|título=Why Did Wassily Kandinsky Paint Circles?|data=2022-06-15|acessodata=2023-12-28|website=TheCollector|língua=en}}</ref>

=== Simbolismo e uso religioso ===
[[Imagem:God_the_Geometer.jpg|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:God_the_Geometer.jpg|direita|miniaturadaimagem|274x274px|O [[Compasso (geometria)|compasso]] neste manuscrito do século XIII é um símbolo do ato de criação de Deus. Observe também a forma circular da [[Halo (iconografia religiosa)|auréola]].]]
Desde os tempos das primeiras civilizações conhecidas - como os assírios e os egípcios antigos, os do [[Rio Indo|Vale do Indo]] e ao longo do [[Rio Amarelo]] na [[China]], e as civilizações ocidentais da [[Grécia]] e [[Roma Antiga|Roma]] antigas durante a [[Antiguidade Clássica]] - a circunferência tem sido usado direta ou indiretamente na arte visual para transmitir a mensagem do artista e expressar determinadas ideias. No entanto, as diferenças de visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto sobre as percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizaram o perímetro da circunferência para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentraram em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, a circunferência simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas ele representa corpos celestes e espíritos divinos.

A circunferência significa muitos conceitos sagrados e espirituais, incluindo unidade, infinidade, totalidade, universo, divindade, equilíbrio, estabilidade e perfeição, entre outros. Tais conceitos foram transmitidos em culturas do mundo todo por meio do uso de símbolos, por exemplo, uma [[bússola]], um [[Halo (iconografia religiosa)|halo]], a [[vesica piscis]] e seus derivados (peixe, olho, aureola, mandorla etc.), o [[ouroboros]], a [[roda do darma]], um arco-íris, [[mandala]]s, rosáceas etc.<ref>{{citar enciclopédia|último =Abdullahi|primeiro =Yahya|url=|título=The Circle from East to West|data=29 de outubro de 2019|publicado=Rizzoli International Publications, Incorporated|editor-sobrenome =Charnier|editor-nome =Jean-François|isbn=9782370741004|enciclopédia=The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art}}</ref> Os círculos mágicos fazem parte de algumas tradições do esoterismo ocidental.

== 1.ª Demonstração ==
Considere-se uma [[sequência|sucessão]] de [[polígono regular|polígonos regulares]] inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por <math>S=p\cdot a</math> , onde <math>p</math> é o [[semiperímetro]] do polígono e <math>a</math> é o seu [[apótema]]. À medida que o número de lados do polígono aumenta, <math>p</math> [[limite|converge]] para a metade do comprimento da circunferência (<math>\pi R</math>) e <math>a</math> converge para o raio (<math>R</math>). Assim <math>S</math> converge para<math>\pi R\cdot R=\pi R^2</math>. Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é <math>\pi R^2</math>.<ref>[[Denis Mandarino|Mandarino, Denis]] - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007., Cap.: Áreas.</ref>

== 2.ª Demonstração ==
Seja f uma semicircunferência tal que:
: <math>f(x) = \sqrt{R^2-x^2} </math>

Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida:
: <math>F(x) = \int_{a}^{x} f(t^2) dt </math>

uma circunferência em <math>\mathbb{R}^2:</math>
: <math>x^2 + y^2 = R^2</math>

== Geometria analítica ==
Em [[geometria analítica]] é possível descrever a circunferência como o [[lugar geométrico]] de todos os pontos que estão a uma distância igual a um valor <math>r</math> (chamado de [[Raio (geometria)|raio]]) de um ponto <math>C</math> fixo (chamado de centro ou origem).<ref>{{citar web|url=http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo/geo.htm|titulo=Equações e Lugares Geométricos|data=|acessodata=11 de Junho de 2018|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Numericamente pode-se descrever a circunferência pela seguinte equação:

<math>\left(x-x_c\right)^2+\left(y-y_c\right)^2 = r^2</math>

Onde <math>x_c</math> e <math>y_c</math> são as coordenadas do centro <math>C</math> e <math>r</math> o raio do circulo.<ref>{{citar web|url=https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/circulo-circunferencia.htm|titulo=Círculo e circunferência|data=|acessodata=11 de Junho de 2018|publicado=|ultimo=Silva|primeiro=Luiz}}</ref>{{fonte melhor|data=agosto de 2024}}

== Resultados analíticos ==
=== Comprimento da circunferência ===
{{Artigo principal|Comprimento da circunferência}}
A razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é [[pi|{{pi}}]], uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, o comprimento {{mvar|C}} está relacionada ao raio {{mvar|r}} e ao diâmetro {{mvar|d}} por:
<math display="block">O = 2\pi r = \pi d.</math>

=== Área ===
Conforme demonstrado por [[Arquimedes]], em sua obra ''{{ill|en|A Medida do Círculo|Measurement of a Circle}}'', a área delimitada por um círculo é igual à de um [[triângulo]] cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo,<ref>{{citation|primeiro=Victor J.|último=Katz|título=A History of Mathematics / An Introduction|edição=2nd|ano=1998|publicado=Addison Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|página=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108 108]|acessourl=registro|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/108}}</ref> o que resulta em {{pi}} multiplicado pelo raio ao quadrado:
<math display="block">\mathrm{Area} = \pi r^2.</math>
De forma equivalente, denotando o diâmetro por {{mvar|d}},
<math display="block">\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0.7854 d^2,</math>
ou seja, aproximadamente 79% do quadrado circunscrito (cujo lado é de comprimento {{mvar|d}}).

A circunferência é a [[curva plana]] que abrange a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo de variações, a saber, a [[desigualdade isoperimétrica]].

=== Equações ===
===== Equação de um círculo =====
Em um [[Sistema de coordenadas cartesiano]] <math>x, y</math>, a circunferência com coordenadas de centro (<math>a, b</math>) e raio <math>r</math> é o conjunto de todos os pontos (<math>x, y</math>) de modo que<math display="block">(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.</math>Essa equação, conhecida como equação da circunferência, decorre do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto da circunferência: conforme mostrado no diagrama ao lado, o raio é a [[hipotenusa]] de um [[triângulo retângulo]] cujos outros lados têm comprimento <math>|x-a|</math> e <math>|y-b|</math>. Se a circunferência estiver centrado na origem (<math>0, 0</math>), então a equação se simplifica para<math display="block">x^2 + y^2 = r^2.</math>Forma paramétrica
A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as [[Função trigonométrica|funções trigonométricas]] [[seno]] e [[cosseno]] como<math display="block">\begin{align}
x &= a + r\,\cos t, \\
y &= b + r\,\sen t,
\end{align}</math>em que t é uma variável paramétrica no intervalo de <math>0
</math> a <math>2\pi</math>, interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de (<math>a, b</math>) a (<math>x, y</math>) faz com o eixo <math>x
</math> positivo.

Uma parametrização alternativa da circunferência é<math display="block">\begin{align}
x &= a + r \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \\
y &= b + r \frac{2t}{1 + t^2}.
\end{align}</math>Nessa parametrização, a proporção de <math>t
</math> para <math>r
</math> pode ser interpretada geometricamente como a [[projeção estereográfica]] da linha que passa pelo centro paralelamente ao eixo <math>x
</math> (consulte [[Substituição tangente do arco metade|substituição de meio-ângulo tangente]]). No entanto, essa parametrização funciona somente se <math>t
</math> for feito para abranger não somente todos os reais, mas também um ponto no infinito; caso contrário, o ponto mais à esquerda da circunferência seria omitido.

===== Determinação por três pontos =====
A equação da circunferência determinada por três pontos <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)</math> não em uma linha é obtida por uma conversão da forma de 3 pontos de uma equação de circunferência:<math display="block">
\frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)}
     {({\color{red}y} - y_1)({\color{green}x} - x_2) - ({\color{red}y} - y_2)({\color{green}x} - x_1)} =
\frac{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) + (y_3 - y_1)(y_3 - y_2)}
     {(y_3 - y_1)(x_3 - x_2) - (y_3 - y_2)(x_3 - x_1)}.</math>Forma homogênea
Em [[coordenadas homogêneas]], cada [[Cónica|seção cônica]] com a equação de uma circunferência tem a forma<math display="block">x^2 + y^2 - 2axz - 2byz + cz^2 = 0.</math>Pode-se provar que uma seção cônica é uma circunferência exatamente quando ela contém (quando estendida ao plano projetivo complexo) os pontos <math>I(1: i: 0)</math> e <math>J(1: -i: 0)</math>. Esses pontos são chamados de pontos circulares no infinito.

==== Coordenadas polares ====
Em [[coordenadas polares]], a equação de uma circunferência é<math display="block">r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2,</math>onde <math>a
</math> é o raio da circunferência, <math>(r, \theta)</math> são as coordenadas polares de um ponto genérico na circunferência, e <math>(r_0, \phi)</math> as coordenadas polares do centro da circunferência (ou seja, <math>r_0</math> é a distância da origem até o centro da circunferência e <math>\phi</math> é o ângulo anti-horário do eixo <math>x
</math> positivo até a linha que liga a origem ao centro da circunferência). Para uma circunferência centrada na origem, ou seja, <math>r_0=0</math>, isso se reduz a <math>r=a</math>. Quando <math>r_0=a</math>, ou quando a origem está na circunferência, a equação se torna<math display="block">r = 2 a\cos(\theta - \phi).</math>No caso geral, a equação pode ser resolvida para <math>r</math>, dando<math display="block">r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \phi)}.</math>Sem o sinal <math>\pm</math>, a equação descreveria, em alguns casos, apenas metade de uma circunferência.

==== Plano complexo ====
No [[plano complexo]], uma circunferência com centro em <math>o</math> e raio <math>r</math> tem a equação
<math display="block">|z - o| = r.</math>

Na forma paramétrica, isso pode ser escrito como
<math display="block">z = re^{it} + o.</math>

A equação ligeiramente generalizada
<math display="block">pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q</math>
para {{mvar|p}}, {{mvar|q}} reais e {{mvar|g}} complexo, às vezes é chamado de circunferência generalizada. Isso se torna a equação acima para um círculo com <math>p = 1,\ g = -\overline{o},\ q = r^2 - |o|^2</math> já que <math>|z - o|^2 = z\overline{z} - \overline{o}z - c\overline{z} + c\overline{o}</math>. Nem todos as circunferência generalizadas são de fato circunferência: um circunferência generalizada ou é uma circunferência (verdadeira), ou é uma linha.

=== Linhas tangentes ===
A linha tangente que passa por um ponto <math>P
</math> na circunferência é perpendicular ao diâmetro que passa por <math>P
</math>. Se <math>P=(x_1,y_1)
</math> e a circunferência tem centro (<math>a, b</math>) e raio <math>r
</math>, então a linha tangente é perpendicular à linha de (<math>a, b</math>) a (<math>x_1,y_1
</math>), de modo que tem a forma <math>(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = c
</math>. A avaliação em (<math>x_1,y_1
</math>) determina o valor de <math>c
</math>, e o resultado é que a equação da tangente é

<math display="block">(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = (x_1 - a)x_1 + (y_1 - b)y_1,</math>

ou

<math display="block">(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2.</math>

Se <math>y_1 \neq b
</math>, então a inclinação dessa linha é

<math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}.</math>

Isso também pode ser encontrado usando a diferenciação implícita.

Quando o centro do circunferência está na origem, a equação da reta tangente se torna

<math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}.</math>

e sua inclinação é

<math display="block">\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.</math>

== Propriedades ==
* A circunferência é a forma com a maior área para um determinado comprimento de perímetro (consulte [[desigualdade isoperimétrica]]).
* A circunferência é uma forma altamente simétrica: cada linha que passa pelo centro forma uma linha de [[simetria de reflexão]], e ele tem [[simetria rotacional]] em torno do centro para cada ângulo. Seu [[grupo de simetria]] é o [[grupo ortogonal]] <math>O(2,R)
</math>. O grupo de rotações sozinho é o grupo de circunferências <math>T
</math>.
* Para todas as circunferências são equivalentes:
** O comprimento e o raio de uma circunferência são proporcionais.
** A área delimitada e o quadrado de seu raio são proporcionais.
** As constantes de proporcionalidade são <math>2\pi</math> e <math>\pi</math>, respectivamente.
* O círculo centrado na origem com raio 1 é chamado de [[círculo unitário]].
** Considerado como um [[círculo máximo]] da esfera unitária, ele se torna o [[círculo Riemanniano]].
* Dado três pontos não colineares quaisquer, há uma única circunferência que passa por todos os ponto.

Em coordenadas cartesianas, é possível fornecer fórmulas explícitas para as coordenadas do centro da circunferência e do raio em termos das coordenadas dos três pontos dados. Consulte [[circunferência circunscrita]].

=== Cordas ===
* As cordas são equidistantes do centro de uma circunferência [[se e somente se]] tiverem o mesmo comprimento.
* A [[bissetriz]] perpendicular de uma corda passa pelo centro de uma circunferência; as afirmações equivalentes decorrentes da exclusividade da bissetriz perpendicular são:
** Uma linha perpendicular ao centro de uma circunferência divide a corda.
** O [[segmento de reta]] que passa pelo centro e divide uma corda é perpendicular à corda.
* Se um ângulo central e um [[ângulo inscrito]] em uma circunferência são subtendidos pela mesma corda e estão no mesmo lado da corda, então o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito.
* Se dois ângulos estiverem inscritos na mesma corda e no mesmo lado da corda, eles são iguais.
* Se dois ângulos estiverem inscritos na mesma corda e em lados opostos da corda, eles serão suplementares.
** Em um [[quadrilátero cíclico]], o [[Ângulos internos e externos|ângulo externo]] é igual ao ângulo interno oposto.
* Um ângulo inscrito subtendido por um diâmetro é um [[ângulo reto]] (consulte o [[Teorema de Tales (círculo)|teorema de Tales]]).
* O diâmetro é a corda mais longa da circunferência.
** Entre todos as circunferências com uma corda <math>AB
</math> em comum, a circunferência com raio mínimo é aquele com diâmetro <math>AB
</math>.
* Se a interseção de duas cordas quaisquer divide uma corda em comprimentos <math>a
</math> e <math>b
</math> e divide a outra corda em comprimentos <math>c
</math> e <math>d
</math>, então <math>ab=cd
</math>.
* Se a interseção de quaisquer duas cordas perpendiculares divide uma corda em comprimentos a e b e divide a outra corda em comprimentos c e d, então <math>a^2+b^2+c^2+d^2
</math> é igual ao quadrado do diâmetro.<ref>Posamentier e Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 2a edição, 1996: pp. 104–105, #4–23.</ref>
* A soma dos comprimentos ao quadrado de quaisquer duas cordas que se cruzam em ângulos retos em um determinado ponto é a mesma de quaisquer outras duas cordas perpendiculares que se cruzam no mesmo ponto e é dada por <math>8r^2-4p^2
</math>, onde <math>r
</math> é o raio da circunferência e <math>p
</math> é a distância do ponto central ao ponto de interseção.<ref>''College Mathematics Journal'' 29(4), Setembro de 1998, p. 331, problema 635.</ref>
* A distância de um ponto da circunferência a uma determinada corda vezes o diâmetro da circunferência é igual ao produto das distâncias do ponto às extremidades da corda.<ref>Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|71}}

=== Tangente ===
* Uma linha perpendicular a um raio que passa pelo ponto final do raio situado na circunferência é uma tangente à circunferência.
* Uma linha perpendicular a uma tangente que passa pelo ponto de contato com uma circunferência passa pelo centro da circunferência.
* Sempre é possível traçar duas tangentes a uma circunferência a partir de qualquer ponto fora da circunferência, e essas tangentes são iguais em comprimento.
* Se uma tangente em <math>A
</math> e uma tangente em <math>B
</math> se cruzam no ponto exterior <math>P
</math>, então, denotando o centro como <math>O
</math>, os ângulos <math>\angle BOA
</math> e <math>\angle BPA
</math> são suplementares.
* Se <math>AD
</math> é tangente à circunferência em <math>A
</math> e se <math>AQ
</math> é uma corda da circunferência, então <math>\angle BOA= \frac{1}{2} arc (AQ)

</math>.

=== Teoremas ===
[[Imagem:Secant-Secant_Theorem.svg|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Secant-Secant_Theorem.svg|direita|miniaturadaimagem|Teorema da secante-secante]]
{{Artigo principal|Potência (geometria)}}

* O teorema da corda afirma que, se duas cordas, <math>CD
</math> e <math>EB
</math>, se cruzam em <math>A
</math>, então <math>AC\times AD=AB\times AE
</math>.
* Se duas secantes, <math>AE
</math> e <math>AD
</math>, também cortam a circunferência em <math>B
</math> e <math>C
</math>, respectivamente, então <math>AC\times AD = AB\times AE
</math> ([[corolário]] do teorema da corda).
* Uma tangente pode ser considerada um caso limite de uma secante cujas extremidades são coincidentes. Se uma tangente de um ponto externo <math>A
</math> encontra a circunferência em <math>F
</math> e uma secante do ponto externo <math>A

</math> encontra a circunferência em <math>C
</math> e <math>D
</math>, respectivamente, então <math>AF^2 = AC \times AD
</math> (teorema da tangente-secante).
* O ângulo entre uma corda e a tangente em um de seus pontos finais é igual à metade do ângulo subtendido no centro da circunferência, no lado oposto da corda (ângulo da corda tangente).
* Se o ângulo subtendido pela corda no centro for 90°, então <math> \ell = r \sqrt2
</math>, em que <math>\ell
</math> é o comprimento da corda e <math>r
</math> é o raio da circunferência.
* Se duas secantes estiverem inscritas na circunferência, conforme mostrado à direita, a medida do ângulo <math>A
</math> será igual à metade da diferença das medidas dos arcos circunscritos (<math>{\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}
</math> e <math>{\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}
</math>). Isto é, <math>{\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}
</math>, onde <math>O
</math> é o centro da circunferência (teorema da secante-secante).

=== Ângulos inscritos ===
{{Artigo principal|Ângulo inscrito}}
[[Imagem:Inscribed_angle_theorem.svg|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Inscribed_angle_theorem.svg|direita|miniaturadaimagem|200x200px|Teorema do ângulo inscrito]]
Um ângulo inscrito (exemplos são os ângulos azul e verde na figura) é exatamente a metade do ângulo central correspondente (vermelho). Portanto, todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (rosa) são iguais. Os ângulos inscritos no arco (marrom) são suplementares. Em particular, todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto (já que o ângulo central é 180°).

== Construções com bússola e régua ==
Há muitas construções de compasso e régua que resultam em circunferência.

A mais simples e mais básica é a construção em que se dá o centro da circunferência e um ponto na circunferência. Coloque a perna fixa do compasso no ponto central, a perna móvel no ponto da circunferência e gire o compasso.

=== Construção com um determinado diâmetro ===
* Construa o ponto médio <math>M
</math> do diâmetro.
* Construa a circunferência com o centro <math>M
</math> passando por um dos pontos finais do diâmetro (ele também passará pelo outro ponto final).

[[Imagem:Circunferencia_10.svg|miniaturadaimagem|Construa uma circunferência que passe pelos pontos A, B e C encontrando as bissetrizes perpendiculares (vermelho) dos lados do triângulo (azul). Apenas duas das três bissetrizes são necessárias para encontrar o centro]]

=== Construção através de três pontos não colineares ===
* Nomeie os pontos <math>P
</math>, <math>Q
</math> e <math>R
</math>.
* Construa a bissetriz perpendicular do segmento <math>\overline{PQ}
</math>.
* Construa a bissetriz perpendicular do segmento <math>\overline{PR}
</math>.
* Nomeie o ponto de interseção dessas duas bissetrizes perpendiculares como <math>M
</math>. (Elas se encontram porque os pontos não são colineares).
* Construa a circunferência com centro <math>M
</math> passando por um dos pontos <math>P
</math>, <math>Q
</math> ou <math>R
</math> (ele também passará pelos outros dois pontos).

== Circunferência de Apolônio ==
[[Imagem:Apollonius_circle_definition_labels.svg|esquerda|miniaturadaimagem|250x250px|Definição de Apolônio de uma circunferência: <math>d_1/d_2
</math> constante]]
[[Apolônio de Perga]] mostrou que uma circunferência também pode ser definido como o conjunto de pontos em um plano com uma razão constante (diferente de 1) de distâncias para dois focos fixos, <math>A
</math> e <math>B
</math>.<ref>{{citar periódico|url=http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |título=Introduction to the theory of analytic functions |periódico=Nature |número=1530 |último =Harkness |primeiro =James |ano=1898 |página=30 |bibcode=1899Natur..59..386B |doi=10.1038/059386a0 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20081007134238/http://dlxs2.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=01680002 |arquivodata=2008-10-07 |volume=59 |urlmorta= sim|s2cid=4030420}}</ref><ref>Ogilvy, C. Stanley, ''Excursions in Geometry'', Dover, 1969, 14–17.</ref> O conjunto de pontos em que as distâncias são iguais é a bissetriz perpendicular do segmento <math>\overline{AB}
</math>, uma linha. Às vezes, diz-se que essa circunferência é desenhado em torno de dois pontos.

A prova está dividida em duas partes. Primeiro, é preciso provar que, dados dois focos <math>A
</math> e <math>B
</math> e uma razão de distâncias, qualquer ponto <math>P
</math> que satisfaça a razão de distâncias deve cair em uma circunferência específica. Seja <math>C
</math> outro ponto, também satisfazendo a razão e situado no segmento <math>\overline{AB}
</math>. Pelo teorema da bissetriz do ângulo, o segmento de reta <math>\overline{PC}
</math> dividirá o ângulo interno <math>\widehat{APB}
</math>, já que os segmentos são semelhantes:

<math display="block">\frac{AP}{BP} = \frac{AC}{BC}.</math>

Da mesma forma, um segmento de reta <math>\overline{PD}
</math> que passa por algum ponto <math>D
</math> em <math>\overline{AB}
</math> estendido divide o ângulo externo correspondente BPQ, onde Q está em AP estendido. Como os ângulos interno e externo somam 180 graus, o ângulo <math>\widehat{CPD}
</math> é exatamente 90 graus, ou seja, um ângulo reto. O conjunto de pontos <math>P
</math> em que o ângulo <math>\widehat{CPD}
</math> é um ângulo reto forma uma circunferência, do qual <math>\overline{CD}
</math> é o diâmetro.

Em segundo lugar, consulte<ref>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1952).</ref>{{rp|15}} para uma prova de que todos os pontos da circunferênciaindicado satisfazem a proporção dada.

=== Razões cruzadas ===
Uma propriedade das circunferências intimamente relacionada envolve a geometria da razão cruzada de pontos no plano complexo. Se <math>A
</math>, <math>B
</math> e <math>C
</math> forem como acima, então a circunferência de Apolônio para esses três pontos é o conjunto de pontos <math>P
</math> para os quais o valor absoluto da razão cruzada é igual a um:

<math display="block">\bigl|[A, B; C, P]\bigr| = 1.</math>

Em outras palavras, <math>P
</math> é um ponto na circunferência de Apolônio se e somente se a relação cruzada <math>[A, B; C, P]
</math> estiver na circunferência unitário no plano complexo.

=== Circunferências generalizadas ===
Se <math>M
</math> for o ponto médio do segmento <math>\overline{AB}
</math>, então o conjunto de pontos <math>P
</math> que satisfazem a condição de Apolônio<math display="block">\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}</math>não é uma circunferência, mas sim uma reta.

Assim, se <math>A
</math>, <math>B
</math> e <math>C
</math> são pontos distintos no plano, então o local dos pontos <math>P
</math> que satisfazem a equação acima é chamado de "circunferência generalizada". Ele pode ser uma circunferência verdadeiro ou uma linha. Nesse sentido, uma linha é uma circunferência generalizada de raio infinito.

== Inscrição em ou circunscrição sobre outras figuras ==
Em todo [[triângulo]], um único círculo, chamado de [[Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo|círculo inscrito]], pode ser inscrito de modo que seja tangente a cada um dos três lados do triângulo.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html Incircle – from Wolfram MathWorld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120121111333/http://mathworld.wolfram.com/Incircle.html|data=2012-01-21}}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Acessado em 2012-05-03.</ref>

Em todo triângulo, um único círculo, chamado de [[circunferência circunscrita]], pode ser circunscrito de modo que passe por cada um dos três vértices do triângulo.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html Circumcircle – from Wolfram MathWorld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120120120814/http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html|data=2012-01-20}}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Acessado em 2012-05-03.</ref>

Um [[polígono]] tangencial, como um quadrilátero tangencial, é qualquer [[polígono convexo]] no qual pode ser inscrita uma circunferência tangente a cada lado do polígono.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/TangentialPolygon.html Tangential Polygon – from Wolfram MathWorld] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130903051014/http://mathworld.wolfram.com/TangentialPolygon.html|data=2013-09-03}}. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Acessado em 2012-05-03.</ref> Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono tangencial.

Um polígono cíclico é qualquer polígono convexo em torno do qual um círculo pode ser circunscrito, passando por cada vértice. Um exemplo bem estudado é o quadrilátero cíclico. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono cíclico. Um polígono que é cíclico e tangencial é chamado de [[polígono bicêntrico]].

Uma [[hipocicloide]] é uma curva que é inscrita em um determinado círculo, traçando um ponto fixo em um círculo menor que rola dentro do círculo dado e é tangente a ele.

== Caso limite de outras figuras ==
O círculo pode ser visto como um caso limite de várias outras figuras:

* A série de polígonos regulares com ''<math>n</math>'' lados tem o círculo como seu limite à medida que ''<math>n</math>'' se aproxima do infinito. Esse fato foi aplicado por [[Arquimedes]] para aproximar <math>\pi</math>.
* Uma [[oval cartesiana]] é um conjunto de pontos em que a soma ponderada das distâncias de qualquer um de seus pontos a dois pontos fixos (focos) é uma constante. Uma [[elipse]] é o caso em que os pesos são iguais. Um círculo é uma elipse com [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]] zero, o que significa que os dois focos coincidem um com o outro como centro do círculo. Um círculo também é um caso especial diferente de uma oval cartesiana em que um dos pesos é zero.
* Uma [[superelipse]] tem uma equação do tipo <math>\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1</math> para <math>a</math>, <math>b</math> e <math>n</math> positivos, um supercírculo tem <math>b=a</math>. Um círculo é o caso especial de um supercírculo no qual <math>n=2</math>.
* Uma [[oval de Cassini]] é um conjunto de pontos em que o produto das distâncias de qualquer um de seus pontos por dois pontos fixos é uma constante. Quando os dois pontos fixos coincidem, o resultado é um círculo.
* Uma [[curva de largura constante]] é uma figura cuja largura, definida como a distância perpendicular entre duas linhas paralelas distintas, cada uma delas cruzando seu limite em um único ponto, é a mesma, independentemente da direção dessas duas linhas paralelas. O círculo é o exemplo mais simples desse tipo de figura.

== ''Locus'' de soma constante ==
Considere um [[conjunto finito]] de <math>n</math> pontos no plano. O local dos pontos em que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos dados é constante é um círculo, cujo centro está no centroide dos pontos dados.<ref>{{citar periódico|título=Sums of squares of distances in m-space |data=2003 |periódico=American Mathematical Monthly |número=6 |último2 =Mnatsakanian |primeiro2 =Mamikon |páginas=516–526 |doi=10.1080/00029890.2003.11919989 |volume=110 |último1 =Apostol |primeiro1 =Tom |s2cid=12641658}}</ref> Uma generalização para potências maiores de distâncias é obtida se sob <math>n</math> aponta os vértices do polígono regular <math>P_n</math> forem tomados.<ref name="Mamuka">{{citar periódico|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065 |título=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |data=2020 |acessodata=17 de maio de 2021 |periódico=Communications in Mathematics and Applications |páginas=335–355 |arxiv=2010.12340 |doi=10.26713/cma.v11i3.1420 |doi-broken-date=31 de janeiro de 2024 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20210422211229/https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065 |arquivodata=22 de abril de 2021 |volume=11 |último1 =Meskhishvili |primeiro1 =Mamuka |urlmorta= não}}</ref> O local dos pontos em que a soma da <math>2m</math>-ésima potência das distâncias <math>d_i</math> aos vértices de um determinado polígono regular com circunferência de raio <math>R</math>é constante é um círculo, se

<math display="block">\sum_{i=1}^n d_i^{2m} > nR^{2m} , \quad \text{  where } ~ m = 1, 2, \dots, n-1;</math>

cujo centro é o centroide do <math>P_n</math>

No caso do [[triângulo equilátero]], os ''loci'' das somas constantes da segunda e quarta potências são círculos, enquanto no caso do quadrado, os ''loci'' são círculos para as somas constantes da segunda, quarta e sexta potências. Para o pentágono regular, a soma constante das oitavas potências das distâncias será adicionada e assim por diante.

== Quadratura do círculo ==
{{Artigo principal|Quadratura do círculo}}
A quadratura do círculo é o problema, proposto por geômetras antigos, de construir um quadrado com a mesma área de um determinado círculo usando apenas um número finito de passos com compasso e régua.

Em 1882, foi provado que a tarefa era impossível, como consequência do teorema de Lindemann-Weierstrass, que prova que pi (<math>\pi</math>) é um número transcendental, e não um [[número algébrico]] irracional; ou seja, não é a raiz de nenhum [[Função polinomial|polinômio]] com coeficientes racionais. Apesar da impossibilidade, esse tópico continua a ser de interesse para os entusiastas da [[pseudomatemática]].

== Círculos com nomes especiais ==
* [[Círculos de Apolônio]]
* [[Círculo de Arquimedes]]
* [[Círculos gêmeos de Arquimedes]]
* [[Círculo de Bankoff]]
* [[Círculo de Carlyle]]
* [[Círculo cromático (música)|Círculo cromático musical]]
* [[Círculo de Ford]]
* [[Círculos de Johnson]]
* [[Círculos de Schoch]]
* [[Círculos de Woo]]

{{Referências}}

== Ver também ==
* [[Cardioide]]
* [[Circunferência]]
* [[Comprimento da circunferência]]
* [[Ciclóide]]
* [[Cônicas]]
* [[Corda (geometria)]]
* [[Diâmetro]]
* [[Esfera]]
* [[Lugar geométrico]]
* [[Raio (geometria)]]

{{Notas e referências}}

== Bibliografia ==
* [[Theodoro Braga|Braga, Theodoro]] - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
* [[Benjamim de Carvalho|Carvalho, Benjamim]] - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
* [[Affonso Rocha Giongo|Giongo, Affonso Rocha]] - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
* Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
* Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

== Ligações externas ==
{{commons|Circle}}
* [[Alfred North Whitehead]]: ''An Introduction to Mathematics''. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 [http://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA121#v=onepage&q&f=false]
* George Wentworth: ''Junior High School Mathematics: Book III''. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 [http://books.google.com/books?id=cPlTB4qe40MC&pg=PA265]
* Robert Clarke James, Glenn James: ''Mathematics Dictionary''. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 [http://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA255#v=onepage&q&f=false]
* {{Link|en|2=http://www.mygeometryteacher.com/ |3=Construir objetos geometria analítica}}
{{Portal3|Matemática|Geometria}}

[[Categoria:Círculos| ]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]
[[Categoria:Formas elementares]]