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L''''elasticità di scala''' (in inglese ''elasticity of scale'' o ''total elasticity of production'') è un particolare tipo di [[elasticità (economia)|elasticità]] utilizzato nell'[[economia della produzione]] e originariamente introdotto dall'economista norvegese [[Ragnar Frisch]] (1965).

Data una [[funzione di produzione]] del tipo:

::<math>\ y = f(\mathbf{x})</math>

dove ''y'' è l'output e '''x''' è il [[vettore (matematica)|vettore]] degli input in termini fisici, e uno scalare positivo &lambda;, l'elasticità di scala si definisce come:

:(1)  <math>\ \varepsilon = \left . \frac{d f(\lambda \mathbf{x})}{d \lambda}\frac{\lambda}{f(\lambda \mathbf{x})} \right | _{\lambda=1}</math>

Diremo che la [[tecnologia]] esibisce localmente in '''x''' [[rendimenti di scala]] crescenti, costanti, o decrescenti, a seconda che l'elasticità di scala sia, rispettivamente, maggiore, uguale o minore di 1.

Da notare che la (1) può essere riscritta come:

::<math>\ \varepsilon = \lim_{\lambda \rightarrow 1} \frac{d \log f(\lambda \mathbf{x})}{d \log \lambda}</math>

Da cui, applicando la [[regola di L'Hopital]] otteniamo:

:(2)  <math>\ \varepsilon = \lim_{\lambda \rightarrow 1} \frac{\frac{d \log f(\lambda \mathbf{x})}{d \lambda}}{\frac{d \log \lambda}{d \lambda}} = \lim_{\lambda \rightarrow 1} \frac{\lambda}{f(\lambda \mathbf{x})} \left ( \frac{\partial f(\lambda \mathbf{x})}{\partial ( \lambda \mathbf{x})} \right )' \mathbf{x} = \frac{1}{f(\mathbf{x})} \left ( \frac{\partial f( \mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} \right )' \mathbf{x} = \sum_i \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_i} \frac{x_i}{f(\mathbf{x})}</math>

Il termine i-esimo della sommatoria nella (2) non è altro che l'[[elasticità di output]] dell'input corrispondente, quindi l'elasticità di scala può essere anche calcolata come somma delle elasticità di output dei singoli [[fattore di produzione|fattori di produzione]] impiegati.

==Bibliografia==

* Frisch, R. (1965), ''Theory of Production'', Rand McNally, Chicago;

==Voci correlate==
* [[Elasticità (economia)]]
* [[Elasticità di output]]
* [[Rendimenti di scala]]

[[Categoria:Economia della produzione]]
[[Categoria:Elasticità (economia)|Scala]]