„Metrischer Tensor“ – Versionsunterschied

Der metrische Tensor dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumähnlich oder einheitlich zeitähnlich sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Definition und Deutung

Der metrische Tensor g ist ein kovarianter Tensor zweiter Stufe über einem reellen Vektorraum V,

g : V × V → R.

Wenn für alle x aus V gilt

g(x,x) ≥ 0,

dann ist g positiv definit, und man kann √g(x,x) als Länge des Vektors x deuten.

Um Abstände auf einer Mannigfaltigkeit M zu messen, wählt man für V den Tangentialraum in einem Punkt P ∈ M und setzt anstelle endlicher x nur infinitesimale Abstandsvektoren dx ein; den Abstand zwischen zwei Punkten A, B entlang einer Kurve P(τ) erhält man dann durch Integration

$L(A,B)=\int _{P(\tau )=A}^{P(\tau )=B}{\rm {d}}\tau {\sqrt {g_{P(\tau )}({\rm {d}}x,{\rm {d}}x)}}.$

Wie dx mit P(τ) zusammenhängt, können wir erst präzisieren, wenn der Artikel Tangentialraum verständlich geworden ist.

Speziell in der Relativitätstheorie

Der metrische Tensor der Relativitätstheorie läßt sich in der Form einer 4-dimensionalen Matrix darstellen.

$(g_{ik})={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}$

In vielen physikalischen Lehrbüchern verwendet man oft nur die Darstellung $g_{ik}$ um Berechnungen auszudrücken. Durch die Matrixdarstellung sind die Werte der einzelnen $g_{ik}$ eindeutig definiert.

Man bezeichnet diese Form der Darstellung als kovariant.

Daneben gibt es noch die kontravariante Darstellung des Metrischen Tensors. Formal drückt sie sich dadurch aus, dass die Indizes nun hochgestellt erscheinen.

$(g^{ik})={\begin{pmatrix}g^{00}&g^{01}&g^{02}&g^{03}\\g^{10}&g^{11}&g^{12}&g^{13}\\g^{20}&g^{21}&g^{22}&g^{23}\\g^{30}&g^{31}&g^{32}&g^{33}\end{pmatrix}}$

Die Indizes werden jeweils von 0 bis 3 gezählt.

Für den metrischen Tensor wird vorausgesetzt, dass $(g_{ik})*(g^{ik})$ den Einheitstensor ergeben muss, d.h. die Matrix $(g_{ik})$ ist invers zur Matrix $(g^{ik})$.

Der Einheitstensor hat folgende Matrixdarstellung:

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Man verwendet den Metrischen Tensor um Abstände in der zugrundeliegenden Raum-Zeit zu berechnen. Formal sieht eine solche Abstandsberechnung folgendermaßen aus:

$ds^{2}=g_{ik}*dx^{i}*dx^{k}$

Dabei wird vorausgesetzt, dass über gleich vorkommende Indizes (der eine unten, der andere oben) summiert wird. Dies ist die so genannte Einsteinsche Summationskonvention.

Das Multiplikationssymbol "*" lässt man meistens weg.

Ausgeschrieben erhält man folgende Darstellung:

$ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{01}dx^{0}dx^{1}+...+g_{32}dx^{3}dx^{2}+g_{33}dx^{3}dx^{3}$

Für die $g_{ik}$ werden die Zahlenwerte aus der Matrixdarstellung des metrischen Tensors $g_{ik}$ verwendet. $g_{ik}$ beschreibt das Gravitationsfeld, somit können sich diese Zahlenwerte an verschiedenen Orten unterscheiden. In der Einsteinschen Theorie bestimmt das Gravitationsfeld die Metrik der Raum-Zeit und somit die Gestalt des Metrischen Tensors. Anders ausgedrückt: "Das Gravitationsfeld schreibt der Materie vor, wie sie sich zu bewegen hat".

Die Verwendung der Differentiale $ds$ und $dx^{k}$ entstammt der Differentialgeometrie, man benutzte diesen Formalismus ursprünglich um Abstände auf krummlinigen Kurven und Flächen zu berechnen. Er beinhaltet, dass sich diese krummlinigen Gebilde linear approximieren lassen. $ds^{2}$ wird manchmal auch als das Quadrat eines infinitesimal kleinen Abstandes bezeichnet. Durch Integration über die infinitesimalen Größen kann man reale Abstände berechnen.

$dx^{k}$ beschreibt das Differential der k-ten Komponente des Vierervektors $(x^{k})$.

Die angegebene Darstellung wurde der so genannten klassischen Differentialgeometrie entnommen, die von vielen Physikern favorisiert wird.

Daneben gibt es einen rein mathematischen Zweig, der zum Teil eine völlig hiervon verschiedene Symbolik benutzt, der Kalkül der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Die vorangehenden Überlegungen gelten sowohl für die spezielle als auch für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Spezielle Darstellungen des Metrischen Tensors werden durch die nachfolgend angegebenen Links referenziert.

• Metrischer Tensor der speziellen Relativitätstheorie