„Smith-Diagramm“ – Versionsunterschied

Das Smith-Diagramm (Synonym: smithsches Kreisdiagramm) ist ein Hilfsmittel der komplexen Wechselstromrechnung, mit dem Berechnungen komplexer Widerstände (Impedanzen) auf eine geometrische Konstruktion zurückgeführt werden können. Es wurde im Jahre 1939 von Phillip Smith (1905-1987) entwickelt.

Das Diagramm ist kreisförmig und ist mit einem komplexen Koordinatensystem versehen.

Das Smith-Diagramm wird ebenfalls in der Leitungstheorie zur einfachen Widerstandstransformation verwendet. Das dort verwendete Smith-Diagramm unterscheidet sich lediglich durch die Interpretation der Achsen bzw. die Achsenbeschriftung von dem hier gezeigten.

Es beruht auf der konformen Abbildung

$w(z)={{z} \over {z+1}}$

der komplexen Ebene auf sich selbst. Bei dieser Abbildung wird die rechte Halbebene auf einen Kreis vom Radius 0,5 um den Mittelpunkt 0,5 abgebildet.Die linke Halbebene ist dabei ohne Bedeutung, da sie negativen ohmschen Widerständen entspricht, welche bei passiven Bauteilen nicht auftreten. In der Mathematik ist diese Transformation einer Ebene in eine andere auch unter der Möbiustransformation bekannt.Sie gehorcht der allgemeinen Form

$f(z)={az+b \over {cz+d}}$ .

Datei:Smithdiagramm Abbildung.PNG

Die Abbildung besitzt die besondere Eigenschaft, dass das Bild einer Zahl z (z.B. z=2+j) und ihres Kehrwertes (z.B. 1/z=1/(2+j)=0,4-0,2j) spiegelsymmetrisch zum Kreismittelpunkt liegen (In der Wechselstromlehre wird j für die imaginäre Einheit verwendet, da das in der Mathematik hierfür übliche i mit dem Symbol für die Stromstärke verwechselt werden könnte).

Bei der Berechnung einer Parallelschaltung ergibt sich der Kehrwert des Gesamtwiderstandes als Summe der Kehrwerte der Teilwiderstände. Diese Kehrwertbildung (im Komplexen) wird also im Smith-Diagramm geometrisch durch eine Spiegelung ersetzt.

Im Smith-Diagramm wird immer mit normierten Grössen gearbeitet. Daraus ergibt sich der Vorteil, dass man unabhängig von Grössen wie der echten Frequenz, Wellenlänge oder Impedanz ist.

In der Leitungstheorie, z.B. bei Impedanzanpassungsproblemen, lassen sich der Reflexionsfaktor und das SWR einfach aus dem Smith-Diagramm ohne komplexe Rechnung bestimmen. Dazu misst man die Länge der Verbindungslinie zwischen Mittelpunkt und des Schnittpunkts der beiden Kreise der normierten Impedanz. Die Phase des Reflexionsfaktors kann auf der Verlängerung der Linie auf der äusseren Skala des Smith-Diagramms abgelesen werden. Das SWR lässt sich indirekt über den Reflexionsfaktor bestimmen, kann jedoch direkt auch direkt aus dem Smith-Diagramm abgelesen werden als Schnittpunkt des Kreises, welcher durch den Betrag des Reflexionsfaktors gegeben ist und der reellen Achse rechts vom Mittelpunkt.

Möchte man nun den Reflexionsfaktor an einer beliebigen Stelle auf einer Leitung berechnen so entspricht dies einer Drehung des Relexionsfaktors um die normierte Leitunslänge am Leitungsende auf dem Reflexionsfaktor-Kreis entweder hin zum Generator, also im Uhrzeigersinn oder hin zur Last, also im Gegenuhrzeigersinn.

Beispiel:

Ein ohmscher Widerstand R = 150 Ω und ein Kondensator C = 10 μF sind in Reihe geschaltet, parallel hierzu liegt eine Spule L = 0,5 H. Die Schaltung ist an einen Generator angeschlossen, dessen Frequenz f = 79,6 Hz beträgt.

Die Kreisfrequenz ist dann ω = 2 π f = 500 s^-1.

Für den komplexen Widerstand (die Impedanz) des Kondensators folgt

$X_{\mathrm {C} }={{1} \over {\mathrm {j} \omega C}}=-200\mathrm {j} \Omega$,

für die Impedanz der Spule errechnet man

$X_{\mathrm {L} }=\mathrm {j} \omega L=250\mathrm {j} \Omega$.

Bei der Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator werden die Werte einfach addiert und ergeben

$X_{1}=150\Omega -200\mathrm {j} \Omega$.

Um die Werte ins Smith-Diagramm eintragen zu können, in dem sich große Zahlen nicht mehr darstellen lassen, normiert man mit einem geeigneten Bezugswiderstand, z.B. Z₀=100Ω, indem man alle Werte durch ihn dividiert. Dann wird

$X_{1}=1,5-2\mathrm {j}$ (Widerstand und Kondensator)

und

$X_{2}=2,5\mathrm {j}$ (Spule).

Datei:Smithdiagramm1.PNG

Diese beiden Widerstände sind parallel geschaltet. Für die Gesamtimpedanz X ist also

${1 \over X}={1 \over X_{1}}+{1 \over X_{2}}$.

Diese Kehrwerte werden im Smith-Diagramm durch Spiegelung am Kreismittelpunkt gewonnen.

Datei:Smithdiagramm2.PNG

Sie betragen

${1 \over X_{1}}=0,24+0,32\mathrm {j}$ und ${1 \over X_{2}}=-0,4\mathrm {j}$ .

Die Addition der beiden Kehrwerte erfolgt rechnerisch oder im Smithdiagramm durch "Abzählen" am Koordinatengitter.

Datei:Smithdiagramm3.PNG

Man erhält

${1 \over X}=0,24-0,08\mathrm {j}$

Um die Gesamtimpedanz X zu bestimmen, ist hiervon wieder der Kehrwert zu bilden. Man spiegelt also den soeben erhaltenen Punkt wieder am Kreismittelpunkt.

Datei:Smithdiagramm4.PNG

Als Ergebnis findet man

X = 3,75 + 1,25j .

Da man zuvor durch 100 Ω dividiert hat, muss man nun wieder damit multiplizieren. Endgültig beträgt die Impedanz der Gesamtschaltung somit

X = 375 Ω + 125 j Ω .

Sie kann daher ersatzweise durch eine Reihenschaltung aus einem Widerstand von 375 Ω und einer Spule von 125 j Ω dargestellt werden (bei ω = 500 s^-1 entspricht das einer Induktivität von 0,25 H).

Siehe auch

• komplexe Zahlen
• komplexe Wechselstromrechnung
• Zeigerdiagramm

Weblinks

• Smith-Diagramm als PDF, EE 468G - Spring 1999
• Kurzanleitung zum Smith-Diagramm
• Englisches Smith-Diagramm
• Java Programm, zur Darstellung von Smith-Charts, frei erhältlich