Антипараллельные прямые

Определения

Две данные прямые $m_{1}$ и $m_{2}$, прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ называются антипараллельными соответственно к $m_{1}$ и $m_{2}$, если $\angle 1=\angle 2$ на Fig.1. Если $l_{1}$ и $l_{2}$ антипараллельны соответственно к $m_{1}$ и $m_{2}$, то $m_{1}$ и $m_{2}$ также являются также антипараллельными соответственно к $l_{1}$ и $l_{2}$.

У любого четырёхсторонника, вписанного в окружность, любые две противоположные стороны антипараллельны. Также антипараллельны и две другие противоположные стороны (Fig.2).

Две прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ антипараллельными соответственно сторонам угла, тогда и только тогда, когда они образуют один и тот же угол $\angle APC$ в противоположных направлениях с биссектрисой угла (Fig.3).

Fig.1: Две данные прямые $m_{1}$ и $m_{2}$, прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ называются антипараллельными соответственно к $m_{1}$ и $m_{2}$, если $\angle 1=\angle 2$.

Fig.2: У любого четырёхсторонника, вписанного в окружность, любые две противоположные стороны антипараллельны. Также антипараллельны и две другие противоположные стороны.

Fig.3: Две прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ являются антипараллельными соответственно сторонам угла, тогда и только тогда, когда они образуют один и тот же угол $\angle APC$ в противоположных направлениях с биссектрисой угла. Заметим, что предыдущие два угла 1 и 2 также равны.

Fig.4: Если две прямые $m_{1}$ и $m_{2}$ совпадают с прямыми $l_{1}$ и $l_{2}$, то говорят, что они антипараллельны соответствующей прямой линии.

Fig.5. Антипараллелограмм

Если четырёхугольник является антипараллелограммом, то его две пары противоположных сторон антипараллельны. Действительно вершинами антипараллелограмма являются вершины равнобедренной трапеции, около которой всегда можно описать окружность (признак антипараллельности противоположных сторон). То есть боковые стороны равнобедренной трапеции антипараллельны, также антипараллельны диагонали равнобедренной трапеции (Fig.5).

Антипараллельные векторы

В евклидовом пространстве два направленных отрезка прямой (в прикладной математике часто называемые векторами) называются антипараллельными, если они лежат на двух параллельных прямых и имеют противоположные направления. В этом случае один из векторов получается из другого умножением на отрицательное число.

Родственные вопросы

1. Прямая, соединяющая основания двух высот треугольника, антипараллельна третьей стороне (любые чевианы, которые 'видны' с третьей стороны под одним и тем же углом, образуют антипараллельные линии).
2. Касательная к описанной окружности треугольника, проведенная в его вершине, антипараллельна противоположной стороне.
3. Радиус описанной окружности треугольника, проведенный в его вершине, перпендикулярен всем прямым, антипараллельным противоположным сторонам.

См. также

• Антипараллелограмм
• Параллелограмм
• Параллельность
• Трансверсаль (геометрия)

Источники

• A.B. Ivanov, Encyclopaedia of Mathematics — ISBN 1-4020-0609-8
• Weisstein, Eric W. Antiparallel (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.