User:Jackliao93/虛擬樂器建模

虛擬樂器建模(virtual instrument modeling)是一種將真實樂器的聲音、反應和演奏特性模擬出來，使其能夠在電腦或數位音樂製作系統中被彈奏或編輯的技術。這項技術廣泛應用於音樂製作、電影配樂、遊戲音效設計和虛擬實境中。

現今針對虛擬樂器建模的處理方式有兩大主流，一個是取樣(Sampling)，透過錄音的方式，將真實樂器在各種音高、力度、奏法下的聲音錄製下來，優點是聲音真實度高，但需要大量儲存空間，且動態變化或過渡音效較難重現；另一個是物理建模，使用數學方程式模擬樂器物理結構與振動行為（如琴弦、空氣柱、共鳴箱的動態）以產生聲音，靈活地反映演奏者動作，且相比於取樣，佔用空間小，但需要複雜的數學與聲學知識。

物理建模

弦樂器的物理建模

弦樂器的波動方程如下：

${\partial ^{2}y(x,t) \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}y(x,t) \over \partial x^{2}}$

其中，$y(x,t)$是弦在位置$x$與時間$t$的位移；$c$是波速，定義為${\sqrt {T \over \mu }}$，$T$是繩張力，而$\mu$為線密度。

對於兩端的弦，邊界條件如下

$y(0,t)=y(L,t)=0$

解完偏微分方程式後將得到駐波解

$y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {{n\pi x} \over L}\cos {(\omega _{n}t+\phi _{n})}$

然而，上述解還僅是理想情況下，如果是真實的情況還得考慮阻尼及摩擦力，情況會複雜許多。

管樂器的物理建模

空氣柱的壓力變化也可以用波動方程來描述：

${{\partial ^{2}p(x,t)} \over {\partial t^{2}}}=c^{2}{{\partial ^{2}p(x,t)} \over {\partial x^{2}}}$

其中，$p(x,t)$為空氣柱內的壓力；$c$為聲速，取決於溫度。

邊界條件如下

${{\partial p} \over {\partial x}}=0$，此時為壓力極大點；$p=0$，此時為壓力節點。

有限差分法(FDTD)

有限差分法是通過有限差分來近似導數，從而尋求微分方程式的近似解。從而尋求微分方程式的近似解。

在使用FDTD時，第一步要先將問題離散化，將問題用均勻網格分割。而波動方程很難有封閉解，因此常使用數值法離散化：

${{{y_{i}^{n+1}}-2{y_{i}^{n}}+{y_{i}^{n-1}}} \over {\Delta t^{2}}}=c^{2}{{{y_{i+1}^{n}}-2{y_{i}^{n}}+{y_{i-1}^{n}}} \over {\Delta x^{2}}}$

這可在時間域上模擬弦的振動，輸出數據再進行濾波與轉換即可生成聲音。以上的式子為其中一種解法，叫做顯式解法，利用在時間$t_{n}$的前向差分，以及在位置$x_{j}$的二階中央差分，細節的作法可至有限差分法的維基百科或其他網頁了解。

取樣

取樣是將訊號從連續時間域上的類比訊號轉換到離散時間域上的離散訊號的過程，以取樣器實現。通常取樣與量化聯合進行，類比訊號先由取樣器按照一定時間間隔取樣獲得時間上離散的訊號，再經類比數位轉換器（ADC）在數值上也進行離散化，從而得到數值和時間上都離散的數位訊號。

在虛擬樂器處理方面，本質是將真實樂器在各種演奏條件下的聲音錄音保存，然後透過數位方式根據 MIDI 指令回放對應聲音檔。每個聲音樣本可表示為：

$s(t)=$ 錄音音訊 $\in {\mathbb {R} ^{N}}$

其中 $s(t)$為離散時間的數位音訊樣本（WAV檔、AIFF 等），每個樣本與音高、演奏強度、奏法(legato、staccato、pizzicato)和輸出通道。

設計概念

可抽象為一個三或四維索引表：

$S[i,j,k,l]=$ 第 i 個音高，第 j 個力度，第 k 種奏法，第 l 種麥克風位置

時間與音高的彈性處理

並非所有樂器會錄製所有音高，這時轉換音高時，會透過相位聲碼器等時間頻率處理工具改變。

Shifted Sample $=FFT(s)\longrightarrow$ Frequency Rescale $\longrightarrow IFFT(s)$

或是透過時間伸縮的方式改變樣本長度。

範例：鋼琴的建模模擬

將實體鋼琴（如 Steinway D, Yamaha C7）用高品質麥克風在不同條件下錄製下來：

• 每一個 MIDI 音符錄 8～32 層不同 velocity 的打鍵
• 為每顆音錄製不同奏法（如 pedal on/off）
• 加上 release samples、resonance samples 等補充聲效

優點是聲音真實，因為直接來自鋼琴錄音，且插入即用，對系統負擔較低；缺點是檔案非常大，常常動輒10GB以上，且缺乏彈性，難以動態調整音色。

外部連結

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