极值

在数学中，极值（extremum）是极大值（maximum）与极小值（minimum）的统称，意指在一个域上函数取得最大值或最小值的点的函数值。而使函数取得极值的点（的横坐标）被称作极值点。这个域既可以是一个邻域，又可以是整个函数域（这时极值称为最值、全局极值、绝对极值）。

定义

局部（相对）最大值：如果存在一个 $\varepsilon >0$ ，使得所有满足 $|x-x^{*}|<\varepsilon$ 的 $x$ 都有 $f(x^{*})\geq f(x)$ ，我们就把点 $x^{*}$ 对应的函数值 $f(x^{*})$ 称为一个函数 $f$ 的局部最大值。从函数图像上看，局部最大值就像是山顶。
局部（相对）最小值：如果存在一个 $\varepsilon >0$ ，使得所有满足 $|x-x^{*}|<\varepsilon$ 的x都有 $f(x^{*})\leq f(x)$ ，我们就把点 $x^{*}$ 对应的函数值 $f(x^{*})$ 称为一个函数f的局部最小值。从函数图像上看，局部最小值就像是山谷的底部。
全局（绝对）最大值：如果点 $x^{*}$ 对于任何 $x$ 都满足 $f(x^{*})\geq f(x)$ ，则点 $f(x^{*})$ 称为全局最大值。
全局（绝对）最小值：如果点 $x^{*}$ 对于任何 $x$ 都满足 $f(x^{*})\leq f(x)$ ，则点 $f(x^{*})$ 称为全局最小值。

极值的概念不仅仅限于定义在实数域上的函数。定义在任何集合上的实数值函数都可以讨论其最大最小值。为了定义局部极值，函数值必须为实数，同时此函数的定义域上必须能够定义邻域。邻域的概念使得在 $x$ 的定义域上可以有 $|x-x^{*}|<\varepsilon$ 。

局部最大值（最小值）也被称为极值（或局部最优值），全局最大值（最小值）也被称为最值（或全局最优值）。

求极值的方法

求全局极值是最优化方法的目的。对于一元二阶可导函数，求极值的一种方法是求驻点（亦称为静止点，停留点，英語：stationary point），也就是求一阶导数为零的点。如果在驻点的二阶导数为正，那么这个点就是局部最小值；如果二阶导数为负，则是局部最大值；如果为零，则还需要进一步的研究。

一般地，如果在驻点处的一阶、二阶、三阶......直到N阶导数都是零，而 $N+1$ 阶导数不为零，则当 $N$ 奇数且 $N+1$ 阶导数为正时，该点为极小值；当 $N$ 是奇数且 $N+1$ 阶导数为负时，该点为极大值；如果 $N$ 是偶数，则该点不是极值。

如果这个函数定义在一个有界区域内，则还要检查局域的边界点。如果函数在定义域内存在不可导点，则这些不可导点也可能是极值点。

例子

函数 $x^{2}$ 有惟一最小值，在 $x=0$ 处取得。
函数 $x^{3}$ 没有最值，也没有极值，尽管其一阶导数 $3x^{2}$ 在 $x=0$ 处也为0。因为其二阶导数( $6x$ )在该点也是0，但三阶导数不是零。
函数 $\cos(x)$ 有无穷多个最大值，在 $x=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\cdots$ ，与无穷多个最小值在 $x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\cdots$ 。