Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis ist die Höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, eine fundamentale Ungleichung für L^p-Räume: Sei S ein Maßraum, 1 ≤ p, q ≤ ∞ mit 1/p + 1/q = 1, sei f aus L^p(S) und g aus L^q(S). Dann ist auch fg aus L¹(S) und

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Ist S die Menge {1,...,n} mit dem Zählmaß, erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen x₁,...,x_n, y₁,...,y_n. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für p = q = 2 erhält man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Die Höldersche Ungleichung wird verwendet, um die Minkowski-Ungleichung, das ist die Dreiecksungleichung im L^p, zu beweisen und um zu beweisen, dass der L^p der duale Raum zu L^q ist.

Siehe auch

• Minkowski-Ungleichung