Benutzer:Gunther/Tensorprodukt

Tensorprodukt von Vektorräumen

Sind V und W zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper K, so ist das Tensorprodukt

$V\otimes W$

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist $\{e_{i}\}$ ($i=1,\ldots ,n$) eine Basis von V und $\{f_{j}\}$ ($j=1,\ldots ,m$) eine Basis von W, dann ist $V\otimes W$ der Vektorraum mit der Basis

$\{e_{i}\otimes f_{j}\mid i=1,\ldots ,n;j=1,\ldots ,m\}.$

Das Symbol $\otimes$ hat dabei keine tiefere Bedeutung, die Basisvektoren "bestehen" einfach aus jeweils einem Basisvektor von V und W. Elemente eines Tensorproduktes heißen Tensoren.

Man kann sich das Tensorprodukt zweier Vektorräume vorstellen als n×m-Matrizen, der Eintrag an der Stelle (i,j) entspricht dem Koeffizienten des Basisvektors $e_{i}\otimes f_{j}$.

Die Dimension von $V\otimes W$ ist gleich dem Produkt der Dimensionen von V und W.

Zu je zwei Vektoren v aus V und w aus W gibt es ein Element $v\otimes w$ in $V\otimes W$, dessen Koordinaten die Produkte der jeweiligen Koordinaten von v und w sind:

Ist $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ und $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$, so ist

$v\otimes w=v_{1}w_{1}\cdot (e_{1}\otimes f_{1})+\ldots +v_{i}w_{j}\cdot (e_{i}\otimes f_{j})+\ldots +v_{n}w_{m}\cdot (e_{n}\otimes f_{m}).$

In der Veranschaulichung als Matrix bedeutet das: der Eintrag an der Stelle (i,j) ist die i-te Koordinate von v mal der j-ten Koordinate von w. Die Spalten sind Vielfache von v, die Zeilen sind Vielfache von w. (In der Sprache der Matrizen nennt sich diese Konstruktion "dyadisches Produkt", siehe Matrix (Mathematik).)

Für das Symbol v$\otimes$w gelten folgende Rechenregeln:

• $(v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$
• $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
• $(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$    ($\lambda$ ein Element des Grundkörpers K)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt.

Nichts miteinander zu tun haben jedoch

$v\otimes w$ und $w\otimes v$,

selbst wenn V = W ist; andernfalls gehören sie sogar unterschiedlichen Vektorräumen an.

Tensorprodukt und Bilinearformen

Bilinearformen $V\times W\to K$ entsprechen linearen Abbildungen $V\otimes W\to K$.

Es sei B: V × W → K eine Bilinearform. Dann kann man zeigen, dass

$V\otimes W\to K,\qquad v\otimes w\mapsto B(v,w)$

eine wohldefinierte lineare Abbildung ist.

Ist umgekehrt

$\lambda \colon V\otimes W\to K$

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

$V\times W\to K,\qquad (v,w)\mapsto \lambda (v\otimes w)$

bilinear.

Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von V und W also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen V × W → K definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist der folgende: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

$U\times V\times W\to K$

für drei K-Vektorräume U, V, W, die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

$U\otimes V\otimes W\to K$,

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

$U\otimes V\otimes W$

die Räume

$U\otimes (V\otimes W)$ bzw. $(U\otimes V)\otimes W$,

die mithilfe von

$u\otimes (v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w$

kanonisch identifiziert werden können. Diese Indentifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

$U\times V\times W\to K$

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus U eine Bilinearform

$V\times W\to K$,

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus W eine Bilinearform

$U\times V\to K$

erhalten kann.

Lineare Abbildungen und (r,s)-Tensoren

Ist V endlichdimensional, so entsprechen Elemente von

$V^{*}\otimes W$

linearen Abbildungen V → W: Einem Tensor

$\lambda _{1}\otimes w_{1}+\ldots +\lambda _{k}\otimes w_{k}$

wird die lineare Abbildung

$v\mapsto \lambda _{1}(v)\cdot w_{1}+\ldots +\lambda _{k}(v)\cdot w_{k}$

zugeordnet. Man kann zeigen, dass diese Zuordnung bijektiv ist, d.h.

$V^{*}\otimes W=\mathrm {Hom} (V,W)$.

Analog gilt (V sei weiterhin endlichdimensional): Elemente von

$(V^{*})^{\otimes r}\otimes V^{\otimes s}\qquad (V^{\otimes s}:=V\otimes \ldots \otimes V)$

entsprechen r-multilinearen Abbildungen

$V\times \ldots \times V\to V^{\otimes s}$.

Sie heißen (r,s)-Tensoren oder Tensoren der Stufe (r,s). Beispielsweise sind (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums, (1,0)-Tensoren Linearformen, (1,1)-Tensoren Endomorphismen von V und (2,0)-Tensoren Bilinearformen auf V.

Ordnet man einem (1,1)-Tensor

$\lambda \otimes v\in V^{*}\otimes V$

die Zahl

$\lambda (v)$

zu, so setzt sich dies zu einer Abbildung

$\mathop {\mathrm {End} } V=V^{*}\otimes V\to K$

fort, der Spur. Entsprechend gibt es Abbildungen vom Raum der (r,s)-Tensoren in den Raum der (r−1,s−1)-Tensoren, die Kontraktion oder Spurbildung genannt werden.

Erweiterung der Skalare

Ist V ein Vektorraum über K und L ein Erweiterungskörper von K, so kann man das Tensorprodukt

$V_{L}:=V\otimes _{K}L$

bilden, indem man auch L als K-Vektorraum auffasst; dies wird durch $\otimes _{K}$ symbolisiert. V_L wird zu einem Vektorraum über L, wenn man

$\lambda \cdot (v\otimes \mu ):=v\otimes (\lambda \mu )\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in V,\lambda ,\mu \in L$

setzt. Die Dimension von V_L als L-Vektorraum ist gleich der Dimension von V als K-Vektorraum: ist {e_i} eine K-Basis von V, so bildet die Menge

$\{e_{i}\otimes 1\}$

eine L-Basis von V_L.

Tensorprodukt über einem Ring

Die Grundkonstruktion

Es sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N ein R-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe $M\otimes _{R}N$ definiert als der Quotient der freien abelschen Gruppe in den Erzeugern $m\otimes n$ (als Symbole) für alle Elemente m von M und n von N nach der Untergruppe, die von

• $(m_{1}+m_{2})\otimes n-m_{1}\otimes n-m_{2}\otimes n\qquad (m_{1},m_{2}\in M;n\in N)$
• $m\otimes (n_{1}+n_{2})-m\otimes n_{1}-m\otimes n_{2}\qquad (m\in M;n_{1},n_{2}\in N)$
• $mr\otimes n-m\otimes rn\qquad (m\in M;n\in N;r\in R)$

erzeugt wird.

Spezialfälle

• Ist M ein S-R-Bimodul mit einem weiteren Ring S, so ist

$M\otimes _{R}N$

ein S-Linksmodul.

• Ist R kommutativ, so ist

$M\otimes _{R}N$

ein R-Modul; die Moduloperation ist gegeben durch

$r(m\otimes n)=(rm)\otimes n=m\otimes (rn).$

Die Moduln

$M\otimes _{R}N$ und $N\otimes _{R}M$

sind natürlich isomorph.

• Ist A eine R-Algebra, so ist

$A\otimes _{R}N$

ein A-Linksmodul; die Moduloperation ist gegeben durch

$b(a\otimes n)=(ba)\otimes n$ für a, b in A.

• Ist R ein kommutativer Ring, und sind A und B R-Algebren, so ist

$A\otimes _{R}B$

eine R-Algebra; die Multiplikation ist gegeben durch

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}a_{2})\otimes (b_{1}b_{2}).$

Klären, wie Algebren definiert sind.

Kategorielle Eigenschaften

• Ist R ein Ring, S eine R-Algebra, M ein R-Linksmodul und N ein S-Linksmodul, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{S}(S\otimes _{R}M,N)=\mathrm {Hom} _{R}(M,N)$.

• Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und M, N, P drei R-Moduln, so gilt:

$\mathrm {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\mathrm {Hom} _{R}(M,\mathrm {Hom} _{R}(N,P))$.

• Das Tensorprodukt ist das Koprodukt in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement.

Die Tensoralgebra

Zu einem Modul M über einem kommutativen Ring R mit Einselement (also insbesondere auch zu einem Vektorraum über einem Körper) kann man die so genannte Tensoralgebra

$\mathrm {T} M=\bigoplus _{n\geq 0}M^{\otimes n}=R\oplus M\oplus (M\otimes M)\oplus \ldots$

bilden. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, bildet sie eine graduierte, assoziative, jedoch nicht kommutative R-Algebra.

Verwandte Konstruktionen

• Graßmann-Algebra oder äußere Algebra: Die äußere Algebra

$\bigwedge M=\mathrm {T} M/\langle a\otimes a\rangle$

ist der Quotient der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form

$a\otimes a$

für Elemente a von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird

$a\wedge b$

geschrieben, und es gilt

$a\wedge b=(-1)^{\deg a\deg b}\cdot b\wedge a$

für homogene Elemente a, b. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te äußere Potenzen

${\bigwedge }^{k}M$

von M.

• Die symmetrische Algebra

$\mathrm {S} M=\mathrm {T} M/\langle a\otimes b-b\otimes a\rangle$

ist der Quotient der Tensoralgebra nach den zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form

$a\otimes b-b\otimes a$

für Elemente a,b von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird durch Nebeneinanderschreiben oder einen Punkt symbolisiert. SM ist eine kommutative R-Algebra. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te symmetrische Potenzen S^kM von M.

Beispiele

Ist M ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, so ist TM isomorph zum Ring der nichtkommutativen Polynome in n Unbestimmten über K, die äußere Algebra über M ist eine 2ⁿ-dimensionale K-Algebra (die Dimension in Grad k ist $n \choose k$), und die symmetrische Algebra SM ist isomorph zu einem gewöhnlichen Polynomring in n Unbestimmten über K.

Weiterführende Begriffe

In der Differentialgeometrie:

• Tensorfeld
• Differentialform
• Vektorbündel

In der Algebra:

• Flachheit
• Brauergruppe