Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

Formulierung

Es seien $H$ ein Hilbertraum und $T:H\rightarrow H$ ein symmetrischer (hermitescher) linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle $x,\,y\in H$ die Gleichung

$\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle$

erfüllt. Dann ist $T$ stetig.

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, folgendes zu zeigen: Ist $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}$. dann ist $y=0$. Verwendet man die Stetigkeit des Skalarproduktes auf $H$, dann folgt

$\langle y,y\rangle =\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle =\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle =\langle 0,Ty\rangle =0,$

also $y=0$.

Folgerungen

• Da der Operator $T$ linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
• Jeder symmetrische (hermitesche), überall auf $H$ definierte Operator ist selbstadjungiert.
• Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)