Abelscher Grenzwertsatz

Der Abelsche Grenzwertsatz beschreibt unter welchen Bedingungen sich eine als Potenzreihe definierte Funktion stetig auf die Ränder des Konvergenzintervalls fortsetzen lässt.

Sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ gleichmäßig auf dem Interval $[0,1]$ und die durch sie definierte Funktion $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ ist stetig auf $[0,1]$ mit $f(1)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ .

Anwendung

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall $(0,1)\subset (-1,1)$ die folgende Darstellung als Potenzreihe: $\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ .

Die Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{2n+1}}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium und somit liefert der Abelsche Grenzwertsatz die Identität:

{\frac {\pi }{4}}=\arctan(1)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{2n+1}}

Literatur

Kurt Endl,Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung.7-Auflage, Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S.205.
Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 1. 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S.367
Vieweg Mathematik Lexikon,Vieweg-Verlag (1988).

Weblinks