Levi-Civita-Zusammenhang

In der Mathematik, insbesondere in der riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie, versteht man unter einem Levi-Civita-Zusammenhang einen Zusammenhang (Differentialgeometrie) auf dem Tangentialbündel einer semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, der in gewisser Weise mit der Metrik der Mannigfaltigkeit verträglich ist. Der Levi-Civita-Zusammenhang spielt beim modernen Aufbau der riemannschen Geometrie eine zentrale Rolle. Er stellt dort eine Verallgemeinerung der klassischen Richtungsableitung aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung in euklidischen Räumen dar, und ist geeignet um die Richtungsänderung eines Vektorfeldes in Richtung eines weiteren Vektorfeldes zu quantifizieren. Der Begriff des Levi-Civita-Zusammenhangs ist äquivalent zum Paralleltransport im Sinne Levi-Civitas und daher ein Mittel um Tangentialräume in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen, woher die Bezeichnung Zusammenhang rührt. Da die riemannsche Geometrie ein wesentlich Werkzeug zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie ist, findet der Levi-Civita-Zusammenhang auch in dieser ihre Anwendung.

Formale Definition

Es sei $(M,g)$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert genau ein Zusammenhang $\nabla$ auf dem Tangentialbündel $TM$ von $M$ mit den folgenden Eigenschaften:

1. „$\nabla$ ist torsionsfrei“, d.h. es gilt
   $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$
   für alle Vektorfelder $X$, $Y$. Dabei bezeichnet $[X,Y]$ die Lie-Klammer der Vektorfelder $X$ und $Y$.
2. „$\nabla$ ist verträglich mit der Metrik $g$“, d.h. es gilt
   $Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$
   für alle Vektorfelder $X$, $Y$ und $Z$.

Dieser Zusammenhang $\nabla$ heißt der Levi-Civita-Zusammenhang (nach Tullio Levi-Civita) oder auch riemmansche Zusammenhang von $(M,g)$. Die Aussage über seine Existenz wird in der Literatur häufig als Hauptsatz der riemannschen Geometrie bezeichnet, da der Levi-Civita-Zusammenhang ein wesentliches Hilfsmittel zum Aufbau der riemannschen Krümmungstheorie ist (siehe Riemannscher Krümmungstensor). Der Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla$ ist eindeutig beschrieben durch die sogenannte Koszul-Formel (benannt nach Jean-Louis Koszu)

$g(\nabla _{X}Y,Z)={\frac {1}{2}}(X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))-g(Y,[X,Z])-g(Z,[Y,X]+g(x,[Z,Y]))$

Diese gibt eine implizite, globale Beschreibung von $\nabla$, die sich vorallem für einen abstrakten Existenzbeweis von $\nabla$ eignet. Man kann zur Konstruktion von $\nabla$ aber auch von einer lokalen Beschreibung ausgehen. Eine lokale Beschreibung von $\nabla$ erhält man wie folgt. Ein Zusammenhang auf einem Vektorbündel ist lokal durch seine Zusammenhangskoeffizienten beschrieben. Die Zusammenhangskoeffizienten des Levi-Civita-Zusammenhangs sind die klassischen Christoffelsymbole zweiter Art $\Gamma _{i,j}^{k}$. Dies bedeutet im Einzelnen, dass bezüglich einer Karte $(U,h)$ von $M$

$\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{i,j}^{k}\,\partial _{k}$

mit

$\Gamma _{i,j}^{k}={\frac {1}{2}}\sum _{l=1}^{n}g^{k,l}\,(\partial _{i}g_{j,l}+\partial _{j}g_{i,l}-\partial _{l}g_{i,j})$

gilt. Hierbei ist die inverse Matrix des Riemannschen Fundamentaltensors $(g_{k.l})$ und $(\partial _{1},\ldots ,\partial _{n})$ die Koordinatenbasis der Karte $(U,h)$.

Beziehungen zur Richtungsableitung

Es seien $(M,g)$ eine (semi-)riemannsche Mannigfaltigkeit und $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang von $(M,g)$. Außerdem seien $X$, $Y$ Vektorfelder auf $M$. Dann lässt sich $\nabla _{X}Y$ wie folgt als Verallgemeinerung des Begriffs der Richtungsableitung für Vektorfelder des $\mathbb {R} ^{n}$ auffassen.

1. Es sei $p\in M$ ein Punkt. Dann hängt $\nabla _{X}Y$ nur vom Tangentialvektor $X(p)$ und dem Vektorfeld $Y$ ab. Wählt man eine glatte Kurve $\alpha \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\rightarrow M$ mit $\alpha (0)=0$ und $\alpha '(0)=X(p)$ und bezeichnet mit $P^{\alpha }$ den Paralleltransport entlang $\alpha$ im Sinne von Levi-Civita, so gilt
   $(\nabla _{X}Y)(p)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {P_{t}^{\alpha }(Y\circ \alpha )-P_{0}^{\alpha }(Y\circ \alpha )}{t}}.$
   Das heißt, $(\nabla _{X}Y)(p)$ ergibt sich wie die klassische Richtungsableitung als Grenzwert eines Differenzenquotienten, wobei das „Verpflanzungsgesetz“ (Weyl) von $T_{\alpha (0)}M$ nach $T_{\alpha (t)}M$ durch die Parallelverschiebung im Sinne Levi-Civitas gegeben ist.
2. Es sei $p\in M$ ein Punkt. Dann existiert eine Karte $(U,h)$ um $p$, so dass der metrische Fundamentaltensor $(g_{i,j})$ bzgl. $(U,h)$ durch $(\delta _{i,j})$ gegeben ist (Normalkoordinaten). Bezüglich einer solchen Karte gilt
   $(\nabla _{X}Y)_{|U}=\sum _{i,j=1}^{n}X_{i}\,{\frac {\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}}\,\partial _{j},$
   wenn $X_{i}$ und $Y_{j}$ die lokalen Koordinaten von $X$ und $Y$ bezüglich $(U,h)$ sind. D.h. bezüglich normaler Koordinaten lautet die lokale Definition von $(\nabla _{X}Y)(p)$ genau so wie im „flachen Fall“ des $\mathbb {R} ^{n}$ mit der Standardmetrik.

Der Levi-Civita-Zusammenhang besitzt eine besonders einfache Beschreibung in dem Fall, in dem $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist, die dadurch entsteht, dass man die Standardmetrik des $\mathbb {R} ^{n}$ auf eine Untermannigfaltigkeit $M$ des $\mathbb {R} ^{n}$ einschränkt. In diesem Fall der Levi-Civita-Zusammenhang $\nabla$ von $(M,g)$ wie folgt gegeben. Es gilt

$(\nabla _{X}Y)(p)={\text{proj}}_{T_{p}M}^{\perp }((D_{\tilde {X}}{\tilde {Y}})(p)).$

Dabei sind $X$, $Y$ Vektorfelder auf $M$, ${\tilde {X}}$, ${\tilde {Y}}$ Fortsetzungen dieser Vektorfelder zu Vektorfelder auf ganz $\mathbb {R} ^{n}$ und $D_{\tilde {X}}{\tilde {Y}}$ die Richtungsableitung von ${\tilde {Y}}$ entlang des Vektorfeldes ${\tilde {X}}$.

Siehe auch

• Chern-Zusammenhang
• Weyl-Zusammenhang
• Weitzenböck-Zusammenhang

Literatur

• Isaac Chavel: Riemannian Geometry: A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2006. ISBN 0521619548.

• John M. Lee: Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature. Springer-Verlag, 1997. ISBN 0387983228.

• Barrett O'Neill: Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity. Academic Press, 1983. ISBN 0125267401.

• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit. Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Vieweg-Verlag, 2004. ISBN 3528269170.

• Hermann Weyl: Raum, Zeit, Materie. Springer-Verlag.