Gaußsche Quadraturformeln

Eine Gaußsche Quadraturformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist eine Quadraturformel besonders hoher Genauigkeit. Sie ist von der Gestalt:

$\int _{-1}^{1}f(x){\mbox{d}}x\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

d. h. die Funktion $f(x)$ wird auf dem Intervall $[-1,1]$ unter Benutzung von Stützstellen $x_{i}$ und Gewichten $w_{i}$ näherungsweise integriert. Über die Beziehung

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x={\frac {b-a}{2}}\cdot \int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {b+a}{2}}\right)\,{\mbox{d}}x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot \sum _{i=1}^{n}w_{i}\cdot f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {b+a}{2}}\right)$

kann man eine Gauß-Formel auf beliebige endliche Intervalle $[a,b]$ anwenden.

Im Gegensatz z. B. zu den Newton-Cotes-Formeln erhält man die Stützstellen $x_{i}$ nicht durch eine äquidistante Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Stattdessen werden hier die Nullstellen der Legendre-Polynome benutzt. Während interpolatorische Quadraturformeln $n$-ten Grades (also mit $n$ Stützstellen) - wie z. B. die Newton-Cotes-Formeln - lediglich Polynome maximal $(n-1)$-ten Grades korrekt integrieren können, erreichen Gaußformeln Exaktheit auf dem Raum der Polynome $(2n-1)$-ten Grades. Durch diese Eigenschaft kann man die Gaußformeln charakterisieren.

Bestimmung der Stützstellen und Gewichte

Zunächst werden die Stützstellen $x_{i}$ aus den Nullstellen des Legendre-Polynoms $n$-ten Grades gebildet, wobei $n$ die Anzahl der Stützstellen und damit die Genauigkeit des Integrals bestimmt.

Die Gewichte $w_{i}$ können mit Hilfe des Lagrange-Polynoms und der Stützstellen $x_{i}$ berechnet werden:

$w_{i}=\int _{-1}^{1}\prod _{m=1}^{i-1}\left({\frac {x-x_{m}}{x_{i}-x_{m}}}\right)\cdot \prod _{j=i+1}^{n}\left({\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right)dx$

Stützstellen und Gewichte sind stets symmetrisch. Für die ersten fünf Formeln ergeben sich die Werte:

Anzahl der Punkte, n	Wichtung, wi	Punkte, xi
1	2	0
2	1, 1	$-{\sqrt {\textstyle {\frac {1}{3}}}}$, ${\sqrt {\textstyle {\frac {1}{3}}}}$
3	$\textstyle {\frac {5}{9}}$, $\textstyle {\frac {8}{9}}$, $\textstyle {\frac {5}{9}}$	$-{\sqrt {\textstyle {\frac {3}{5}}}}$, $0$, ${\sqrt {\textstyle {\frac {3}{5}}}}$
4	$\textstyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$, $\textstyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$, $\textstyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$, $\textstyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$	$-{\sqrt {\textstyle {\frac {15+2{\sqrt {30}}}{35}}}}$, $-{\sqrt {\textstyle {\frac {15-2{\sqrt {30}}}{35}}}}$, ${\sqrt {\textstyle {\frac {15-2{\sqrt {30}}}{35}}}}$, ${\sqrt {\textstyle {\frac {15+2{\sqrt {30}}}{35}}}}$
5	$\textstyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$, $\textstyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$, $\textstyle {\frac {128}{225}}$, $\textstyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$, $\textstyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$	$-{\sqrt {\textstyle {\frac {35+2{\sqrt {70}}}{63}}}}$, $-{\sqrt {\textstyle {\frac {35-2{\sqrt {70}}}{63}}}}$, 0, ${\sqrt {\textstyle {\frac {35-2{\sqrt {70}}}{63}}}}$, ${\sqrt {\textstyle {\frac {35+2{\sqrt {70}}}{63}}}}$

Ab der sechsten Formel sind Stützstellen und Gewichte i. a. nicht mehr geschlossen darstellbar.

Zusammengesetzte Gauß-Formel

Im Gegensatz zu der oben genannten einfachen Quadraturformel liefert die zusammengesetzte Formel eine wesentlich höhere Genauigkeit. Dazu wird das Intervall $[a,b]$ in Teilintervalle $[a_{j},b_{j}]$ unterteilt. Diese werden jeweils separat mit der Gauß-Formel integriert. Die so gewonnenen Zwischenwerte werden (aufgrund der Additivität des Integrals) anschließend aufsummiert. Ist $f$ hinreichend oft differenzierbar, so besitzt die zusammengesetzte Gauß-Formel mit $n$ Stützstellen die Konsistenzordnung $2n$.

Beispiel

Für die näherungsweise Berechnung von ln 2 mittels der (einfachen) dritten Gauß-Formel ergibt sich

$\ln ~2=\int _{1}^{2}{\frac {{\mbox{d}}x}{x}}=\int _{-1}^{1}{\frac {{\mbox{d}}x}{x+3}}\approx {\frac {5}{9}}\cdot {\frac {1}{-{\sqrt {\frac {3}{5}}}+3}}+{\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{0+3}}+{\frac {5}{9}}\cdot {\frac {1}{{\sqrt {\frac {3}{5}}}+3}}={\frac {131}{189}}=0,69312169...$

Der exakte Wert ist $\ln 2=0,69314718...$, die Formel liefert hier also bereits vier gültige Stellen.

Siehe auch: Gauß-Quadratur