Raumzeit

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einem einheitlichen vierdimensionalen Gebilde verschmolzen, in dem die räumlichen und zeitlichen Koordinaten bei Transformation in andere Bezugssysteme gegeneinander vermischt werden können. Zwar lässt sich ein absolut gültiger Abstandsbegriff für Raumzeitpunkte ("Ereignisse") definieren, jedoch ist es vom Bewegungszustand des Beobachters abhängig, was davon als räumlicher und zeitlicher Abstand erscheint.

In der Speziellen Relativitätstheorie werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten (x,y,z) um eine Zeitkomponente ict erweitert, also (x,y,z,ict). Dieses Koordinatensystem kennzeichnet die Raumzeit. Die Zeitkomponente wird als komplexe Zahl dargestellt. Kennzeichen einer komplexen Zahl mit rein imaginärem Anteil wie ict ist, dass ihr Quadrat negativ ist. Im Falle von ict ist das Quadrat -c²t². Bewegt sich ein Bezugssystem gegenüber demjenigen eines Beobachters beispielsweise in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v, so erscheinen die Koordinaten in diesem System zu dem Originalsystem in der x-ict-Ebene gedreht, und zwar um den Winkel

$\alpha =\arccos {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Die x-Koordinate ist daher um den Faktor $cos\alpha$ verkleinert (Längenkontraktion), eine zusätzliche Zeitkomponente mit dem Faktor $sin\alpha$ tritt hinzu (Zeitdilatation). Ein Teil der Raumkomponente ist also in die Zeitkomponente übergegangen. Der vierdimensionale Abstand (Wurzel der Summe aller Quadrate der Koordinaten) beträgt in beiden Bezugssystemen $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}}$ und bleibt daher konstant (das Minuszeichen ergibt sich aus der komplexen Eigenschaft von ict). Für Licht, das sich vom Ursprung mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, gilt für alle Zeiten und Bezugssysteme r=0. Daraus ergibt sich die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie (siehe auch Minkowski-Diagramm).

Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit (x,y,z,ict) in der Allgemeinen Relativitätstheorie sind die nichteuklidischen Geometrien. Die Koordinatenachsen sind hier gekrümmt. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise keine Gerade mehr. Sie wird Geodäte genannt, im Falle einer Kugeloberfäche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im - aus Geodätenabschnitten bestehenden - Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Die Raumkrümmung wird durch Massen verursacht, die daraus resultierende krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang der Geodäten wird der Gravitationsbeschleunigung bzw. -kraft zugeschrieben, die damit zur Scheinkraft wird. In einem kleinen Raumabschnitt ist das erzeugte Gravitationsfeld näherungsweise konstant. Dies wird durch eine konstante Raumkrümmung mit dem Faktor g/c² beschrieben. Die Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurve in der Raumzeit) aller kräftefreien Körper in diesem Raumabschnitt ist gleich.

Im normalen, dreidimensionalen Raum ist die Projektion der Weltlinien auf die Bewegungsebene sichtbar. Hat der Körper die Geschwindigkeit v, so ist die Weltlinie schief zur senkrechten Zeitachse, und zwar um den Winkel $\tan \alpha =v/c$. Die Projektion der Bahn ist jedoch um den Faktor $\sin \alpha$ kürzer, die Krümmungsradius ebenfalls um den Faktor $\sin \alpha$ kleiner. Die Krümmung ist daher um den Faktor $1/\sin ^{2}\alpha$ größer.

Mit

$\sin \alpha ={\frac {v/c}{\sqrt {1+v^{2}/c^{2}}}}$

folgt dann aus der Weltlinienkrümmung g/c² für die Bahnkrümmung im dreidimensionalen Raum

${\frac {g}{v^{2}}}\cdot (1+v^{2}/c^{2})$.

Für kleine Geschwindigkeiten v<<c ist das g/v² und entspricht damit dem Wert bei einer klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c entspricht die Krümmung dem doppelten Wert 2g/v². Die Winkelabweichung von Sternenlicht von Fixsternen in der Nähe der Sonne sollte also doppelt so groß sein wie im klassischen Fall. Dies wurde durch die Expedition zu einer Sonnenfinsternis von 1919 durch Arthur Eddington als Erstem verifiziert. Wegen der geringen Abweichung von klassischen Wert sind die Planetenbahnen auch keine exakten Ellipsen mehr, sondern Rosetten.

Die Raumzeit ist charakterisiert durch eine Anzahl von Symmetrien, die sehr wichtig für die darin geltende Physik sind. Zu diesen Symmetrien zählen neben den Symmetrien des Raumes (Translation, Rotation) auch die Symmetrien unter Lorentztransformationen (Wechsel zwischen Bezugssystemen verschiedener Geschwindigkeit). Letzteres stellt das Relativitätsprinzip sicher.