Fourierreihe

Als Fourierreihe einer Funktion f(x) bezeichnet man deren Entwicklung in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden das bekannteste Beispiel für ein orthogonales Funktionensystem.

Darstellungsformen

allgemeine Form (reelle Fourierreihe):

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t))$

Dabei ist

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$

$a_{0}$ der Gleichanteil (wechsellose Größe oder auch Anteil der Frequenz $f_{0}=0$)

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)cos(n\omega t)dt\;\;\;{\mbox{und}}\;\;\;b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)sin(n\omega t)dt$

Amplituden-Phasen-Notation:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos(n\omega t+\phi _{n}))$

Dabei ist

$A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ und $\phi _{n}=\arctan {\frac {b_{n}}{a_{n}}}$

komplexe Fourierreihe:

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\omega t}$

Hierbei gilt

$c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}$

$c_{n}={\frac {(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})}{2}}{\mbox{ für }}n>0$

$c_{n}={\frac {(a_{-n}+\mathrm {i} b_{-n})}{2}}{\mbox{ für }}n<0$

Beispiele

Dreieckpuls

$f(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}{\begin{bmatrix}{\cos {\omega t}+{\frac {1}{3^{2}}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\cos {5\omega t}+\ldots }\end{bmatrix}}$

Sägezahnpuls

$f(t)=-{\frac {2}{\pi }}{\begin{bmatrix}{\sin {\omega t}+{\frac {1}{2}}\sin {2\omega t}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega t}+\ldots }\end{bmatrix}}$

Siehe auch: Diskrete Fourier-Transformation