Diskussion:Quaternion

Fraktal

Kann jemand erläutern, was genau das Bild darstellt? Wäre nett. --Night Ink 21:09, 20. Jul 2004 (CEST)

Ich vermute, dass es ein Fraktal ist, zu dessen Erstellung Quaternionen benutzt werden. Den Hochlader dieses Bildes, Benutzer:Asb, hab ich gefragt, und warte auf seine Antwort hier. --SirJective 21:40, 20. Jul 2004 (CEST)

Ja, die Vermutung ist richtig. Ob die Visualisierung korrekt oder sinnvoll ist, kann ich allerdings nicht beurteilen; interessant für mich war hauptsächlich die Möglichkeit der Visualisierung eines dreidimensionalen "Sub-Space" aus einem vierdimensionalen "Quaternion-Space"; das machen nämlich andere Fraktalgeneratoren i.d.R. nicht, weil die Berechnung viel aufwändiger, also sowohl algorothmisch komplizierter umzusetzen als auch bei der Berechnung viel länger dauernd ist.

Das Quaternion-Fraktal ist mit der Windows-Freeware "ChaosPro" von Martin Pfingstl (http://www.chaospro.de/) gerechnet, deren Hilfe-Datei auch sehr ausführlich auf die vordefinierten Fraktaltypen wie Julia- und Mandelbrotmengen, aber eben auch IFS und Quaternionen eingeht. Neben der Theorie wird dort sogar der mathematische Anteil erörtert, mit dem ich allerdings nichts anfangen kann ("The product of q1q2 is: q1q2 = [(s1s2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (s1x2 + s2x1 + y1z2 - y2z1)i + (s1y2 + s2y1 + z1x2 - z2x1)j + (s1z2 + s2z1 + x1y2 - x2y1)k]"...), deshalb wäre es auch Unsinn, wenn ich mehr zu diesem Fraktal erörtern wollte. Wer sich dafür interessiert, sollte sich das Programm und die Hilfedatei einfach selbst anschauen. asb 01:09, 21. Jul 2004 (CEST)

Singular oder Plural

Singular oder Plural?? Wäre es nicht konsequent, diesen Artikel Quaternionen zu nennen, nachdem die Artikel über die anderen Zahlen auch rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen heissen? — Nol Aders 2. Jul 2005 23:25 (CEST)

Uff! Es ist spät! — Die haben alle einen #REDIRECT auf den Singular; wäre schon konsequent! — Nol Aders 2. Jul 2005 23:28 (CEST)

Es ist eine Konvention, die Artikel im Singular zu betiteln. Nach einer ausführlichen Konvention hatte man sich darauf geeinigt, dass diese Konvention auch für Zahlen-Artikel zur Anwendung kommen soll.--MKI 3. Jul 2005 11:15 (CEST)

Komplexe Zahlen

Zu jedem Quaternion $J=x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k}$ mit $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ definiert

$a+b\mathrm {i} \mapsto a+bJ$

eine Einbettung $\mathbb {C} \to \mathbb {H}$. Wenn man das in den Artikel aufnimmt, sollte man das in einen geeigneten Kontext einbetten: Kommutative Unteralgebren, Grad einzelner Elemente über $\mathbb {R}$.--Gunther 20:13, 10. Dez 2005 (CET)

Rotation im Hyperkomplexen Raum

Im Artikel steht, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Das Grundprinzip habe ich hoffentlich verstanden - Eine Methode die man scheinbar auch in der Quantenphysik anwendet. Allerdings sollte man ein wenig erläutern wie dies funktioniert.

Ich persönlich arbeite gerade an dem Artikel Quantengatter und benötige dabei etwas unterstützung bei der Mathematik.

Beispielsweise sollte man die Matrixdarstellung in eine (Hyper-)Polardarstellung, und zurück, konvertieren können:

$\left|1\right\rangle \cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\to \left|1\right\rangle \cdot e^{i{\frac {\pi }{\pi }}}\cdot e^{j{\frac {\pi }{\pi }}}\cdot e^{k{\frac {\pi }{\pi }}}$

Wobei es sich bei $\left|1\right\rangle$ um einen Einheitsvektor im hyperkomplexen Raum in Bra-Ket-Notation handelt.

Außerdem gibt es afaik die Möglichkeit der Darstellung als periodische Schwingung:

$\left|1\right\rangle \cdot \sin \varphi +\left|1\right\rangle \cdot \cos \varphi +j\cdot \left|1\right\rangle \cdot \sin \theta +j\cdot \left|1\right\rangle \cdot \cos \theta$

Allerdings weiß ich weder wie die korrekte Syntax aussieht, noch wie die entsprechende Transformation funktioniert.

Kann mir hier jemand weiterhelfen? MovGP0 22:13, 12. Dez 2005 (CET)

Problem gelöst: Quaternion#Achsenwinkel Darstellung

MovGP0 22:01, 18. Jan 2006 (CET)

Rotation versus Drehung

Rotation im hiesigen Zusammenhang ist ein Anglizismus. Siehe auch Diskussion:Drehmatrix#Rotationsmatrix_versus_Drehmatrix. --Wolfgangbeyer 00:26, 15. Jan 2006 (CET)

Funktionen

Dieser Teil wirkt auf mich etwas ausufernd. Natürlich kann man Quaternionen in jede komplexe Funktion formal einsetzen, aber wozu?--Gunther 19:42, 18. Jan 2006 (CET)

Ich habe es aus der englischen Wikipedia übernommen, um anderen Wikipedia-Lesern das Nachschlagen in der englishen Wikipedia zu ersparen. Ich weiß zwar keinen konkreten Anwendungsfall, finde die Vorgehensweise aber interessant - immerhin dachte ich bis zum Lesen des englischen Artikels, dass trigonometrische Funktionen nur für skalare Werte definiert sind...

Zudem kannte ich bis jetzt keinen Unterschied zwischen der Multiplikation und dem Punktprodukt, da sich im Fall der Skalare der selbe Wert ergibt. Das Punktprodukt hatte ich bisher zur besseren Lesbarkeit in Verwendung.

MovGP0 21:56, 18. Jan 2006 (CET)

Dann kann man ja einmal erklären, wie man Funktionen auf die Quaternionen fortsetzt und welche Probleme sich aus der Nichtkommutativität ergeben, aber alle möglichen einzelne Funktionen aufzuzählen, ist überflüssig und für den Leser auch nicht interessant.

Das Skalarprodukt mit einem Punkt zu bezeichnen halte ich für eine ganz schlechte Idee; wir müssen nicht jeden Unsinn aus der en-WP übernehmen.--Gunther 22:18, 18. Jan 2006 (CET)

Ich möchte dich nicht davon abhalten - ich selbst weiß leider nicht, wie man die Funktionen entsprechend fortsetzt.

Auch im Artikel Skalarprodukt wird der Punkt als alternative Schreibweise zu den spitzen Klammern verwendet - es dient zumindest der Lesbarkeit. Wenn du einen besseren Vorschlag anzubieten hast, würde ich mich über ein Beispiel freuen.

thx, MovGP0 19:33, 19. Jan 2006 (CET)

Punkte bezeichnen Multiplikation, Skalarprodukte kann man mit spitzen Klammern schreiben, wenn es dazu irgendetwas zu sagen gibt.--Gunther 22:56, 19. Jan 2006 (CET)

Vorschlag:

• $q_{1}\,q_{2}=q_{1}\cdot q_{2}$ für das Grassman Produkt
• $\langle q_{1},q_{2}\rangle =q_{1}\bullet q_{2}$ für das Skalarprodukt (Euklidsches gerades Produkt).

Zusätzlich müsste man den Artikel Wikipedia:Tabelle mathematischer Symbole entsprechend erweitern, wenn wir uns auf einen Standard einigen können. MovGP0 20:20, 21. Jan 2006 (CET)

Mal ganz grundsätzlich:

• Entweder wir stellen eine allgemein übliche Notation vor. Dann müssen wir recherchieren, was denn tatsächlich allgemein verwendet und verstanden wird (dazu gehören definitiv $a\cdot b$ für die Multiplikation, ${\bar {a}}$ für die Konjugation und $|a|$ oder $\|a\|$ für den Betrag; viel mehr wird es nicht sein). Da müssen nicht wir uns einigen, sondern das gibt uns der Rest der Welt vor.
• Oder es geht nur um die Belange dieses Artikels. Dann brauchen aber auch nur die Konstruktionen eine Bezeichnung, die nochmal vorkommen. Das trifft auf die exotischen Produkte momentan nicht zu; für sie könnte man ohnehin statt einer Bezeichnung den expliziten Ausdruck verwenden.

Für das Skalarprodukt würde ich spitze Klammern verwenden: Das ist in der Mathematik generell die Standardnotation, die dicken Punkte kenne ich nur aus Schulbüchern.--Gunther 20:47, 21. Jan 2006 (CET)

Frage:

Normierte Quaternionen werden im Artikel so beschrieben, dass $\|q_{n}\|=1$ gelten muss für ${\|q\|}={\|a+i\,b+j\,c+k\,d\|}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$. Im Abschnitt über die Rotationsmatrix eines Quaternions steht nun als Vorraussetzung, dass das Quaternion normiert sein muss... aber die Bedingung die dort vermerkt ist lautet aber $w+x+y+z=1$. Ich würde da ${\sqrt {w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=1$ erwarten... Ist da evtl. ein Fehler?

Ja, Du hast recht.--Gunther 16:39, 29. Jan 2006 (CET)

Aufteilung?

Was man relativ gut abspalten könnte, wäre der Themenkomplex Einheitsquaternionen und Drehungen; das hat mit der additiven Struktur nur noch wenig zu tun. Ein geeignetes Lemma müsste allerdings erst noch gefunden werden.--Gunther 16:42, 29. Jan 2006 (CET)

Fermionen

Auch nach Fermion ist Fermion ein Elementarteilchen, wieso steht dann weiter unten:

Gilt nicht für Fermionen. Diese benötigen eine 720° Drehung um in die Ausgangslage zurück zu kommen.

(nicht signierter Beitrag von 84.176.243.69 (Diskussion) 00:31, 1. Feb 2006)

Die ganze Tabelle ist mir unklar, was sind $q_{A},q_{B}$?--Gunther 00:39, 1. Feb 2006 (CET)

Die Tabelle soll ausdrücken wie sich die Konjugation und Negation auf die Drehrichtung auswirkt.

Eine konjungierte Drehung von Punkt A nach Punkt B ergibt eine Drehung von Punkt B nach Punkt A. Hierbei ist:

q_r: Ein Rotations-Quaternion.

q_A: Eine, durch einen Vektor beschriebene, Position im Raum.

q_A: Eine andere, durch einen Vektor beschriebene, Position im Raum.

Fermionen: Fermionen sind Elementarteilchen mit einem nicht ganzzahlingen Spin. Diese benötigen bei einer Drehung - im Gegensatz zu Elementarteilchen mit ganzzahligem Spin bzw. Objekten im makroskopischen Maßstab - nicht 360° sondern 720° um wieder in die Ausgangslage zurückzukehren. Da jedoch bei der Negation das Quaternion nur um -360° "verdreht" wird, gelten die entsprechenden Formel nicht für Fermionen.

MovGP0 10:40, 2. Feb 2006 (CET)

Bei diesem Effekt geht es aber nicht um Raumpunkte.--Gunther 22:17, 2. Feb 2006 (CET)

afaik ist aber die dazugehörige Mathematik die selbe. Aber villeicht könntest du mich auch in diesem Punkt eines besseren belehren. -- MovGP0 00:22, 3. Feb 2006 (CET)

Grob gesagt: Im Raumanteil verhalten sich Fermionen genau wie andere Teilchen auch, aber sie haben noch den Spin-Anteil; in Quaternionen dürfte das $x\mapsto qx{\bar {q}}$ für den Raumanteil $x$, aufgefasst als reines Quaternion, und $y\mapsto qy$ für den Spin-Anteil sein. (Aber ich bin kein Physiker, also ohne Gewähr.)--Gunther 00:54, 3. Feb 2006 (CET)

Gerades Produkt

Ich denke ich habe hier einen Übersetzungsfehler. Übersetzt man "Euklid odd Product" besser mit "gerades euklidsches Produkt" oder mit "euklisches Geradenprodukt"? Das selbe gilt natürlich auch für die Grassman- bzw. [U|u]ngeraden-Produkte. MovGP0 23:03, 18. Feb 2006 (CET)

Brücke in Dublin

Sollte man erwähnen, dass er seine Entdeckung in die "Broom Bridge" in Dublin eingeschnitzt hat, wo auch eine Plakette als Denkmal angebracht ist.

Geschlecht: Die oder das Quaternion?

Mir ist aufgefallen, dass der Begriff des Quaternions nicht mit einheitlichem Geschlecht verwendet wird. Viele sagen offensichtlich auch "die Quaternion" (so auch mein Dozent), was sich auch durch eine entsprechende Google-Suche bestätigen lässt. Allerdings scheint das Neutrum verbreiteter zu sein. Dem Duden scheint das Wort ohnehin nicht bekannt zu sein. Vielleicht wäre ein Hinweis auf diese Problematik im Artikel angebracht?

Hinweis

Ich versuche mich gerade an einer grundlegenden Überarbeitung, Änderungen sind also derzeit nicht sinnvoll.--Gunther 01:24, 14. Okt. 2006 (CEST)

Abgeschlossen. Bei Bedarf kann ich auch gerne ein bisschen erklären, was warum jetzt wie anders ist.--Gunther 03:33, 15. Okt. 2006 (CEST)

Euler-Winkel Darstellung Umkehrung

Habe die hinterlegte Formel (EulerWinkel -> Quadernion) mit mehrmals durchgerechnet und die Ergebnisse mit existierenden Anwendungen vergleichen. Die Zahlenwerte stimmen überein, es schein nur die falsche Reigenfolge zu sein Q(w,x,y,z) -> Q(w,y,z,x) => Drehung um Euler ZYX. Auch mit den Vorzeichen komme ich laut Definition Vz=q/|q| nicht auf die richtigen Werte...vielleicht wäre ein Beispiel zur Umrechnung mit gegebenen Euler Winkel hilfreich. (nicht signierter Beitrag von Hawk8977 (Diskussion | Beiträge) 14:11, 14. Okt. 2006)

Ich werde es bei der Überarbeitung (s.o.) mit kontrollieren, danke für den Hinweis.--Gunther 14:14, 14. Okt. 2006 (CEST)

Ich habe es auf die Z-X'-Z''-Konvention umgeschrieben, das schien mir insgesamt nicht zu stimmen.--Gunther 03:01, 15. Okt. 2006 (CEST)

Hallo Gunther! Der Ansatz war nicht schlecht, nur schienen die Winkel irgendwie verdreht (s.o.)->Gibt es hierzu eine Literaturempfehlung wo man das ganze mal erörtern könnte?

Noch eine wichtige Frage (bin noch nirgends auf eine Antwort gestoßen): Gibt es eine Möglichkeit einen Einheitsvektor (bzw. seine Winkel zu den Ebenenen XYZ) irgendwie direkt oder über den Eulerwinkel auf Quaternionen umzurechnen? -> Vielen Dank für einen Tipp!.--Hawk8977