Plummer-Potential

Das Plummer-Potenzial ist ein abstraktes mathematisches Potenzial, das z. B. in der numerischen Behandlung von Problemen nützlich ist.

Durch seine nahe Verwandtschaft mit dem Coulomb- und Gravitationspotenzial – beides sind Spezialfälle des Plummer-Potenzials – finden sich die meisten Anwendungen dieses Potenzials in der Elektrodynamik und der Gravitationstheorie.

Die Potenzialfunktion besitzt die Form

\Phi (r,\epsilon )=\Phi _{\epsilon }(r)=-{\frac {\rm {const.}}{\sqrt {(r^{2}+\epsilon ^{2})}}}

Setzt man nun $\epsilon =0$ , so erhält man das klassische ${\frac {1}{r}}$ (Coulomb-)Potenzial, das in der Newtonschen Gravitationstheorie und in der Elektrodynamik eine wichtige Rolle spielt:

$\varphi _{G}=G{\frac {M}{r}}$ (Gravitations-P.) bzw. $\varphi _{C}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}$ (Coulomb-Potenzial)

Es bietet sich deshalb an, das Plummer-Potenzial und das Coulomb-Potenzial gegenüber zu stellen: Im Gegensatz zum Coulomb-Potenzial besitzt das Plummer-Potenzial an der Stelle $r=0$ keine Singularität, sondern hat einen endlichen Wert $\Phi (r=0,\epsilon )=-{\frac {\rm {const.}}{\epsilon }}$ ; das normale ${\frac {1}{r}}$ -Potenzial hingegen ergibt für $r=0$ den Wert ${\frac {1}{0}}$ , mit dem sich mathematisch schlecht rechnen lässt. Damit ist das Plummer-Potenzial im Nullpunkt stetig und differenzierbar, was für analytische Berechnungen interessant ist.

Anwendung

Eine wichtige Anwendung findet das Plummer-Potenzial in der Simulation von Gravitationskräften, sogenannten N-Body-Simulationen. In großen Simmulationen ist man oftmals nicht primär an den Kollisionen oder Beinahekollisionen von Körpern interessiert, sondern an den sich großräumig ausbildenden Strukturen. Da es praktisch unmöglich ist, solche Kollisionen schon bei den Anfangsbedingungen einer Simulation auszuschließen, greift man gerne auf das Plummer-Potenzial zurück, da es für große Abstände eine gute Approximation des Gravitationspotenzials ist und für kleine Abstände nicht über alle Grenzen wächst. Kommen sich zwei Körper nun zu nahe, dann fliegen sie praktisch durcheinander durch, ohne dass eine übermäßige Kraft auftritt.

Siehe auch