Trägheitstensor

Der Trägheitstensor eines Körpers gibt seine Trägheitsmomente, also die Trägheit des Körpers bezüglich Drehungen an. Er spielt damit für Drehungen die Rolle, die die träge Masse für lineare Bewegung spielt.

Da unsymmetrische Körper für Drehungen in verschiededene Richtungen verschiedene Trägheitsmomente aufweisen (beispielsweise läßt sich die Drehung eines homogenen zigarrenförmigen Körpers leichter um seine Längsachse als um seine Querachse ändern), reicht – anders als bei der trägen Masse – für die Beschreibung des Trägheitsmoments nicht aus, sondern es muss ein Tensor verwendet werden.

Ist eine Gesamtmasse gegeben durch einzelne Massenpunkte, so ist der Trägheitstensor gegeben durch:

$I_{\alpha \beta }=I_{\beta \alpha }=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{i\alpha }x_{i\beta })=$

$={\begin{pmatrix}\sum _{i}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-\sum _{i}m_{i}x_{i}y_{i}&-\sum _{i}m_{i}x_{i}z_{i}\\-\sum _{i}m_{i}y_{i}x_{i}&\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})&-\sum _{i}m_{i}y_{i}z_{i}\\-\sum _{i}m_{i}z_{i}x_{i}&-\sum _{i}m_{i}z_{i}y_{i}&\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\\\end{pmatrix}}$

Ist die Masse kontinuierlich im Körper verteilt und die Massendichte $\rho ({\vec {r}})$ bekannt, so geht man zur Integration über:

$I_{\alpha \beta }=\int _{V}\rho ({\vec {r}})(r^{2}\delta _{\alpha \beta }-x_{\alpha }x_{\beta })dV$