Benutzer:NikelsenH/Spielwiese

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Symmetrische einfache Irrfahrt

Die symmetrische einfache Irrfahrt (auf $\mathbb {Z}$) ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Wahrscheinlichkeitstheorie und das einfachste Beispiel eines Random Walk. Anschaulich ist eine symmetrische einfache Irrfahrt ein stochastischer Prozess, der bei 0 startet und dann mit jedem neuen Zeitschritt von der aktuellen Position entweder auf die nächstgrößere oder die nächstkleinere ganze Zahl springt. Dabei ist die Wahrscheinlichekeit, nach oben oder nach unten zu springen gleich groß, also bei einhalb.

Die symmetrische einfache Irrfahr ist einerseits ein Standardbeispiel der Theorie stochastischer Prozesse, da sie einfach zu behandeln ist und einige typische Eigenschaften aufweist, andererseits modelliert sie auch ein einfaches Spielsystem. Durch Anpassung der Einfachen symmetrischen Irrfahrt lassen sich dann aufbauend komplexere Spielverläufe bis hin zum Cox-Ross-Rubinstein-Modell konstruieren und untersuchen.

Zugrunde liegende Idee

Der symmetrischen einfachen Irrfahrt liegt die Idee eines Spieles mit einer Münze zugrunde. Die Münze ist als fair angenommen, zeigt also mit einer Wahrscheinlichkeit von $p={\tfrac {1}{2}}$ Kopf und mit der selben Wahrscheinlichkeit Zahl. Der Spieler wirft die Münze wiederholt. Dabei erhält der Spieler einen Punkt, wenn die Münze "Kopf" zeigt und verliert einen Punkt, wenn sie "Zahl" zeigt. Zu Beginn besitzt der Spieler null Punkte. Der zeitiche Punktestand des Spielers ist dann die symmetrische einfache Irrfahrt. Die Bezeichnung als symmetrisch rührt daher, dass "Kopf" und "Zahl" gleich wahrscheinlich sind, der Punktestand des Spielers befindet sich daher symmetrisch verteilt um den Startpunkt.

Definition

Gegeben sein eine unabhängig und identisch verteilte Folge von Zufallsvariablen $(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, wobei

$P(Y_{n}=-1)={\frac {1}{2}}=P(Y_{n}=1)$

ist, die $Y_{n}$ sind also Rademacher-Verteilt.

Dann heißt der zeitdiskrete stochastische Prozess $X=(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ mit Werten in $\mathbb {Z}$ definiert duch

$X_{0}=0$

sowie

$X_{n}=\sum _{i=0}^{n}Y_{n}$

die symmetrische einfache Irrfahrt. Äquivalent kann der Prozess auch durch die Startverteilung $P(X_{0}=0)=1$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten

$P(X_{n+1}=i|X_{n}=j)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}&{\text{ falls }}i=j+1\\{\tfrac {1}{2}}&{\text{ falls }}i=j-1,\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

definiert werden.

Eigenschaften

Bei der symmetrischen einfachen Irrfahrt handelt es sich um einen zeitdiskreten stochastischen Prozess, da er die Indexmenge $T=\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,\dots ,\}$ besitzt. Der Prozess nimmt nur Werte in $\mathbb {Z}$ an, da er bei null startet und immer nur die Werte -1 und 1 aufsummiert.

Ist $Z\sim \operatorname {Ber} (p)$, also Bernoulli-Verteilt, so lassen sich die $Y_{n}$ durch Reskalierung und Verschiebung aus $Z$ gewinnen, denn es ist

$X_{n}\sim 2Z-1$

als Markow-Kette

Die symmetrische einfache Irrfahrt ist eine Markow-Kette in diskreter Zeit mit Zustandsraum $\mathbb {Z}$. Dies folgt direkt aus der Definition mittels Übergangswahrscheinlichkeiten. Genauer ist sie eine Homogene Markow-Kette (da sich die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht ändern) und eine Markow-Kette erster Ordnung, da die Übergangswahrscheinlichkeiten nur von dem aktuellen Zustand abhängt und nicht noch von weiteren, vorher besuchten Zuständen beeinflusst wird.

Irreduzibilität

Die symmetrische einfache Irrfahrt ist eine irreduzible Markow-Kette, das heißt für zwei beliebige, vorgegebene ganze Zahlen $i,j$ ist die Wahrscheinlichkeit positiv, dass sich die Irrfahrt von $i$ nach $j$ bewegt. Wäre beispielsweise $i=2$ und $j=10$, so könnte der Prozess in 8 Zeitschritten von 10 nach 2 wandern, indem er sich achtmal nach links bewegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür wäre $2^{-8}$ und damit positiv.

Aus der Irreduzibilität fogt direkt, dass die symmetrische einfache Irrfahrt keine absorbierenden Zustände besitzt.

Periodizität

Ebenso ist die symmetrische einfache Irrfahrt eine periodische Markow-Kette mit Periode Zwei. Verfügt man dementsprechend über die Information des Zeitpunktes, so kann man Rückschlüsse über den Aufenthalt des Prozesses ziehen. Aus dieser Sicht ist der Prozess nicht vollständig zufällig, da er sich

• zu geraden Zeitpunkten $n=0,2,4,6,\dots$ immer auf den geraden Zahlen $\{\dots ,-4,-2-0,2,4,\dots \}$ befindet.
• zu ungeraden Zeitpunkten $n=1,3,5,7\dots$ immer auf den ungeraden Zahlen $\{\dots ,-3,-11,3,\dots \}$ befindet.

Rückkehr zum Nullpunkt

Wichtige Fragestellungen bei allen Irrfahrten sind

• Kehrt der Prozess zum Startpunkt zurück?
• Wenn ja, mit welcher Wahrscheinlichkeit?
• Wie groß ist die durchschnittliche Wartezeit bis zu einer Rückkehr?
• Wie oft kehrt er im Schnitt zurück?

Dass die symmetrische einfache Irrfahrt zum Nullpunkt zurückkehrt, folgt bereits aus der Irreduzibilität (vgl. oben). Denn von jedem vorgegebenen Punkt aus ist die Wahrscheinlichkeit, zur null zurückzukehren positiv.

Zur Untersuchung der zweiten und dritten Frage definiert man

$\tau _{0}:=\inf\{n>0|X_{n}=0\}$

als Wartezeit bis zur ersten Rückkehr in die null.

Aufgrund der Periodizität ist für die ungerade Zahlen $2\mathbb {Z} +1$ immer

$P(\tau _{0}\in (2\mathbb {Z} +1))=0$,

da eine Rückkehr immer nur zu geraden Zeitpunkten möglich ist.

Ungleichungen (Stochastik)

Schmidt: Cantelli Tschebyscheff Markow Kolmogoroff, Maximale Ungleichung 430

Rüschendorf: Burkholder-Davis-Gundy-, 368 Chapman-Robbins-, 138 Cram´er-Rao-, 139, 159, 160 Lenglart-, 366

Kusolitsch: Cramer-Lundberg 297, Maximalungleichung von Kolmogorov 154, Maximal-Ungleichung in diskreter Zeit 327 in stetiger Zeit 387 Informationsungleichung 472

Klenke: Ungleichung – Azuma 202 – Bernstein-Chernov 112 – Cauchy-Schwarz 107 – Chebyshev 110 – Chernov siehe Bernstein-Chernov – Doob 222 – Etemadi 125 – H¨older 154 – Jensen 152 – Kolmogorov 122 – Markov siehe Chebyshev

Matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilung

blblb

Umgebungsbasis, Subbasis und Basis überprüfen. Der Begriff der Umgebungsbasis erlaubt eine bequeme Charakterisierung der Stetigkeit: Sind $(X,{\mathcal {T}})$ und $(Y,{\mathcal {Y}})$ topologische Räume und ist $f$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$, dann ist $f$ genau dann stetig im Punkt $x$ aus $X$, wenn für Umgebungsbasen ${\mathcal {U}}(x,{\mathcal {T}})$ in $X$ bzw. ${\mathcal {U}}(f(x),{\mathcal {Y}})$ in $Y$ gilt:

Zu jeder Basismenge $V$ aus ${\mathcal {U}}(f(x),{\mathcal {Y}})$ gibt es eine Basismenge $U$ aus ${\mathcal {U}}(x,{\mathcal {T}})$, die von $f$ ganz in $V$ abgebildet wird.

Für den Spezialfall, in dem $X$ und $Y$ metrische Räume sind und als Umgebungsbasen die ε-Umgebungen gewählt werden, ist dies die „ε-δ-Definition der Stetigkeit“, die in der elementaren Analysis gegenüber der allgemeineren topologischen Definition bevorzugt wird.

Sammelstelle

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• V.V. Sazonov: Borel Measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Radon Measure. In: MathWorld (englisch).

Literatur Geologie

• Gregor Markl: Minerale und Gesteine. Mineralogie – Petrologie – Geochemie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-44627-0, doi:10.1007/978-3-662-44628-7. 
• Martin Okrusch, Siegfried Matthes: Mineralogie. Eine Einführung in die spezielle Mineralogie, Petrologie und Lagerstättenkunde. 9. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-34659-0, doi:10.1007/978-3-642-34660-6. 

Literatur Mathe

Optimierung

• Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2. 
• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5. 
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online). 

Analysis

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 11., erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00316-6, doi:10.1007/978-3-658-00317-3. 
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im $\mathbb {R} ^{n}$, gewöhnliche Differentialgleichungen. 10., verbesserte Auflage. Springer Spektum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02356-0, doi:10.1007/978-3-658-02357-7. 
• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-40371-X. 

Ordnungstheorie

• Rudolf Berghammer: Ordnungen und Verbände. Grundlagen, Vorgehensweisen und Anwendungen. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02710-0, doi:10.1007/978-3-658-02711-7. 
• Steven Roman: Lattices and Ordered Sets. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78900-2, doi:10.1007/978-0-387-78901-9. 

Funktionalanalysis

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0. 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, doi:10.1007/978-3-642-21017-4. 

Stochastik und Maß

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0. 
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3. 
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8. 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8. 
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. 
• Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3. 
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3. 
• Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1. 

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.