Parallel (Notation)

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Grafische Interpretation des Parallelitätsoperators mit $a\|b=c$

Der Parallelitätsoperator $\|$ (sprich: „parallel“) ist eine mathematische Funktion, die vor allem als Kurzschreibweise in der Elektrotechnik zur Anwendung kommt. Er bildet hierbei den Kehrwert einer Summe von Kehrwerten und ist definiert durch

${\begin{array}{rlcl}\|:\ &{\overline {\mathbb {C} }}\times {\overline {\mathbb {C} }}&\to &{\overline {\mathbb {C} }}\\&(a,b)&\mapsto &a\|b={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}\end{array}}$

wobei ${\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ die erweiterten komplexen Zahlen (mit den dort üblichen Rechenregeln) sind.

Er ergibt also genau die Hälfte des harmonischen Mittels der beiden Zahlen a und b.

Als Spezialfall gilt für alle $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$:

$a\|a={\frac {a}{2}}$.

Es gilt weiters für alle $a,b\in {\overline {\mathbb {C} }}$:

$a\neq b\iff \left|a\|b\right|>{\tfrac {1}{2}}\min(|a|,|b|)$

wobei $\left|a\|b\right|$ hier für den Absolutbetrag von $a\|b$ steht.

Sind ferner $a$ und $b$ positive reelle Zahlen, so gilt auch $\left|a\|b\right|<\min(a,b)$.

Rechenregeln

Aufgrund der Addition folgt der Parallelitätsoperator dem Assoziativgesetz:

$\left(a\|b\right)\|c=a\|\left(b\|c\right)=a\|b\|c$

und dem Kommutativgesetz:

$a\|b=b\|a$.

Der Parallelitätsoperator besitzt $\infty$ als neutrales Element und für $a\in {\overline {\mathbb {C} }}$ die Zahl $-a$ als inverses Element. Damit bildet $({\overline {\mathbb {C} }},\|)$ eine abelsche Gruppe.

Beispiele

Beispiel 1

Frage:

Ein Maurer baut eine Ziegelwand in 5 Stunden. Ein zweiter Maurer baut dieselbe Ziegelwand in 7 Stunden. Wie lange dauert es, wenn beide Maurer an der Ziegelwand gleichzeitig arbeiten?

Lösung:

$t_{M1}\|t_{M2}=5\,\mathrm {h} \|7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\frac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\frac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2{,}917\,\mathrm {h}$

Es dauert also knapp 3 Stunden.

Beispiel 2

Frage:

Drei Widerstände ${}_{R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } }$, ${}_{R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }$ und ${}_{R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }$ werden in Parallelschaltung geschaltet. Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung?

Antwort:

$R_{1}\|R_{2}\|R_{3}=270\,\mathrm {k\Omega } \|180\,\mathrm {k\Omega } \|120\,\mathrm {k\Omega } ={\frac {1}{{\frac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\frac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\frac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\approx 56{,}842\,\mathrm {k\Omega }$

Die Schaltung besitzt also einen Gesamtwiderstand von rund 57 kΩ.