Zum Inhalt springen

Primzahl

Links bearbeiten
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Dies ist eine alte Version dieser Seite, zuletzt bearbeitet am 3. Mai 2004 um 13:39 Uhr durch Nikai (Diskussion | Beiträge) (+bg,id,lt). Sie kann sich erheblich von der aktuellen Version unterscheiden.

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Teiler hat - nämlich 1 und die Zahl p selbst. Diese Definition impliziert, dass die beiden Teiler voneinander verschieden sind (durch das Wort „genau“).

Falsch ist dagegen folgende, oft gehörte „Definition“: Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl, die „nur durch 1 und sich selbst teilbar ist“. Nach dieser Definition wäre 1 eine Primzahl (sie ist ja nur durch 1 und sich selbst teilbar), nach der korrekten Definition ist 1 jedoch keine Primzahl (da 1 und „sie selbst“ nicht zwei verschiedene Zahlen sind). Zu den Gründen, die 1 nicht als Primzahl zu definieren, siehe weiter unten.

So sind z.B. die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11 Primzahlen, die Zahl 10 jedoch nicht, weil sie 4 positive Teiler besitzt (1, 2, 5, 10). Eine Zahl, die größer als 1 und nicht Primzahl ist, nennt man zusammengesetzte Zahl. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.

Verallgemeinerungen des Begriffs Primzahl auf beliebige Ringe sind die Begriffe Primelement und irreduzibles Element. Zum Beispiel sind in den ganzen Zahlen auch die Negativen der Primzahlen Primelemente. Mit Ausnahme der 2 sind alle Primzahlen ungerade, denn alle geraden Zahlen lassen sich ja durch 2 teilen. Zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen, die beide Primzahlen sind, heißen Primzahlzwillinge, z.B. 11 und 13.

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (siehe Primfaktorzerlegung), die in dieser Darstellung auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl.

Primzahlen besitzen vor allem aufgrund dieses Satzes eine besondere Stellung in der Mathematik. Alexander K Dewdney bezeichnet ihre Stellung als ähnlich den Elementen der Chemie.

Eine wichtige Rolle spielen sie z.B. in der Kryptologie: Einige Verschlüsselungssysteme basieren darauf, dass man zwar relativ schnell große Primzahlen erzeugen und mit ihnen rechnen kann, dass es aber (noch) kein schnelles Verfahren gibt, um große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen (große Zahlen sind hier Zahlen mit mehr als hundert Stellen).

Größte Primzahl

Der Satz von Euklid zeigt, dass es keine größte Primzahl gibt, also gibt es unendlich viele Primzahlen. Neben dem Satz von Euklid gibt es noch eine ganze Reihe anderer Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Die derzeit größte bekannte Primzahl ist , eine Zahl mit 6.320.430 Dezimalstellen, gefunden im November 2003. Für den ersten Primzahlbeweis einer Zahl mit mehr als 10 Millionen Stellen hat die Electronic Frontier Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar ausgeschrieben.

Verfahren zur Prüfung der Primalität einer Zahl

Spezielle Primzahlen

Warum ist die 1 keine Primzahl?

Die einfachste (und von Mathematikern gern gegebene) Antwort zitiert die Definition:

  • Die Zahl 1 hat nur einen natürlichen Teiler (die 1). Eine natürliche Zahl ist genau dann Primzahl, wenn sie genau 2 natürliche Teiler hat.

Eine Motivation für diese Definition geben dagegen diese Antworten:

  • Damit man eine eindeutige Primfaktorzerlegung bekommt (man hätte sonst beliebig viele 1-Faktoren mit drin).
  • Weil 1 eine Einheit ist (siehe den Artikel Primelement).
  • Weil man ansonsten bei nahezu allen Aussagen über Primzahlen schreiben müsste: „Für alle Primzahlen mit Ausnahme der 1 gilt...“. Beispielsweise in der Theorie der endlichen Körper.

Siehe auch

Abgerufen von „https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Primzahl&oldid=1212863“