Ring (Algebra)

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

Namensgebung

Der Name Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin. Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt. In speziellen Situationen ist neben der Bezeichnung Ring auch die Bezeichnung Bereich geläufig. So findet man in der Literatur eher den Begriff Integritätsbereich statt Integritätsring.

Definitionen

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei inneren binären Verknüpfungen $+$ und $\cdot$, sodass

• $\left(R,+\right)$ eine abelsche Gruppe,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe
• und die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ für alle $a,b,c\in R$ erfüllt sind.

Das neutrale Element $0$ von $\left(R,+\right)$ heißt Nullelement des Rings $R$. Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring. Hat die Halbgruppe $(R,\cdot )$ zusätzlich ein neutrales Element $1$, ist also ein Monoid, dann nennt man $(R,+,\cdot )$ einen Ring mit Eins oder unitären Ring.

Ist die Halbgruppe $(R\setminus \left\{0\right\},\cdot )$ ebenfalls eine Gruppe, so spricht man von einem Schiefkörper; ist sie sogar eine kommutative Gruppe, so spricht man von einem Körper.

Abschwächung der Axiome

Wenn ein Ring eine Eins besitzt, dann muss nicht gefordert werden, dass die Addition kommutativ ist. Diese Eigenschaft folgt dann aus den restlichen Ringaxiomen. Für alle $a,b\in R$ gilt:

${\begin{aligned}a+a+b+b&=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=(1+1)\cdot a+(1+1)\cdot b\\&=(1+1)\cdot (a+b)=1\cdot (a+b)+1\cdot (a+b)=a+b+a+b\end{aligned}}$

Addiert man diese Gleichung von links mit $(-a)$ und von rechts mit $(-b)$, so erhält man:

$a+b=b+a$

Insgesamt wurden mit Ausnahme des Assoziativgesetzes der Multiplikation alle Axiome eines unitären Rings benutzt. Die Argumentation ist also auch für nicht-assoziative unitäre Ringe gültig.

Unterring

Eine nichtleere Untermenge $U$ eines Ringes $R$ heißt Unterring von $R$, wenn $U$ zusammen mit den beiden auf $U$ eingeschränkten Verknüpfungen von $R$ wieder ein Ring ist. $U$ ist genau dann ein Unterring von $R$, wenn $U$ eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und $U$ abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d.h.

$x\cdot y\in U$, wenn $x\in U$ und $y\in U$

Auch wenn $R$ ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in $U$ enthalten sein! $U$ kann auch ein Ring ohne Eins sein - etwa $2\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z}$ - oder eine andere Eins haben.

Natürlich ist - wie bei Untergruppen - der Durchschnitt von Unterringen wieder ein Unterring, und wie dort wird auch der von $A\subseteq R$ erzeugte Unterring definiert, nämlich als Durchschnitt aller $A$ umfassenden Unterringe von $R$.

Grundring

In einem Ring mit Eins wird der von $1$ erzeugte Unterring als der Grundring bezeichnet. Aus der Mächtigkeit des Grundringes ergibt sich die Charakteristik des Ringes.

Oberring

Ein Ring $S$ heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes $R$, wenn $R$ ein Unterring von $S$ ist.

Teilbarkeit

→ Hauptartikel: Teilbarkeit

Von zwei Elementen $a,b\in R$ heißt $a$ linker Teiler von $b$, falls ein $x\in R$ mit $b=a\cdot x$ existiert. Dann ist auch $b$ rechtes Vielfaches von $a$. Entsprechend definiert man rechten Teiler und linkes Vielfaches.

In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Deshalb ist hier das Symbol $a\mid b$ (mit $a$ als Teiler und $b$ als Vielfachem) verbreitet.

Nullteilerfreier Ring

In einem nullteilerfreien Ring ist ein Produkt genau dann $0$, wenn mindestens einer der beiden Faktoren $0$ ist. Daraus folgen die Kürzungsregeln:

$a\neq 0\;\;\wedge \;\;a\cdot b=a\cdot c\quad \Rightarrow \quad b=c$

und

$a\neq 0\;\;\wedge \;\;b\cdot a=c\cdot a\quad \Rightarrow \quad b=c$.

Zu einem nullteilerfreien Ring gibt es einen (Schief)körper, seinen Quotientenkörper, in den er eingebettet werden kann.

Invertierbarkeit, Einheit

→ Hauptartikel: Einheit (Mathematik)

Existiert in einem Ring $R$ mit Eins zu einem Element $u$ ein Element $x$, so dass $xu=1$ (bzw. $ux=1$) gilt, so nennt man $x$ ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von $u$. Besitzt $u$ sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man $u$ invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes $R$ mit Eins wird gewöhnlich mit $R^{*}$ bezeichnet. $R^{*}$ bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes. Ist $R^{*}=R\backslash \left\{0\right\}$, so ist $R$ ein Schiefkörper, ist $R$ darüber hinaus kommutativ, so ist $R$ ein Körper.

In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) definiert man alternativ die Einheiten auch als diejenigen Elemente, die die Eins teilen. Dass $u$ die Eins teilt, heißt nämlich dass es $x$ gibt mit $xu=ux=1$.

Assoziiertheit

→ Hauptartikel: Assoziiertheit

Zwei Elemente $a$ und $b$ sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine Rechtseinheit $u$ gibt, sodass $au=b$. Links assoziiert bei $ua=b$ mit einer Linkseinheit $u$.

Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins 2 Elemente $a,b$ in der Beziehung $a\mid b$ und $b\mid a$ stehen, dann sind $a$ und $b$ zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden.

Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.

Irreduzibilität

Ein Element $q$, das weder Linkseinheit noch Rechtseinheit ist, heißt irreduzibel, falls es keine Nicht-Linkseinheit $a$ und keine Nicht-Rechtseinheit $b$ mit $q=ab$ gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass $a$ Linkseinheit oder $b$ Rechtseinheit ist.

Im kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass aus $q=ab$ stets $a\in R^{*}$ oder $b\in R^{*}$ folgt.

Primelement

Ist $p$ weder Linkseinheit noch Rechtseinheit, dann heißt $p$ prim (oder Primelement), falls für alle $a,b,w,x$ mit $p=ab$ und $wpx\neq a$ folgt, dass es $y,z$ gibt mit $ypz=b$.

Im kommutativen Ring genügt es zu fordern: Ist $p\,$ eine Nichteinheit ungleich 0, dann heißt $p\,$ prim (oder Primelement), falls gilt: Aus $p\mid ab$ folgt $p\mid a$ oder $p\mid b$ (s. auch Hauptartikel: Primelement).

In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel.

Ideal

→ Hauptartikel: Ideal (Ringtheorie)

Zu einem Ring $R$ heißt eine Teilmenge $I$ von $R$ Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:

• $I$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$.
• Für alle $a\in I$ und $x\in R$ ist ebenfalls $x\cdot a\in I$ (bzw. $a\cdot x\in I).$

Ist $I$ sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt $I$ Ideal.

Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz $R$. Da $R$ auch Ideal ist, ist $R$ das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält. $R$ und $\lbrace 0\rbrace$ sind die sogenannten trivialen Ideale.

Einfacher Ring

Ein Ring $R$, der nicht $\{0\}$ ist, wird einfach genannt, wenn die trivialen Ideale $R$ und $\{0\}$ die einzigen beidseitigen Ideale sind. Ein kommutativer einfacher Ring mit Eins ist ein Körper.

Ringhomomorphismus

→ Hauptartikel: Ringhomomorphismus

Für zwei Ringe $R$ und $S$ heißt eine Abbildung

$\varphi \colon R\to S$

Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle $x,y\in R$ gilt:

$\operatorname {\varphi } (x+y)=\operatorname {\varphi } (x)+\operatorname {\varphi } (y)$ und

$\operatorname {\varphi } (x\cdot y)=\operatorname {\varphi } (x)\cdot \operatorname {\varphi } (y).$

Die Verknüpfungen auf der linken Seite sind jene in $R$, die auf der rechten jene in $S$.

Der Kern $\operatorname {ker} \operatorname {\varphi } :=\lbrace x\in R\mid \operatorname {\varphi } (x)=0\rbrace$ eines Ringhomomorphismus ist ein zweiseitiges Ideal in $R$.

Faktorring

Ist $I$ ein Ideal in einem Ring $R$, dann kann man die Menge der Nebenklassen

$R/I:=\{x+I\mid x\in R\}$

bilden. Die Verknüpfung $+$ lässt sich wegen ihrer Kommutativität immer auf $R/I$ fortsetzen; die Verknüpfung $\cdot$ jedoch nur, wenn $I$ ein zweiseitiges Ideal in $R$ ist. Ist dies der Fall, dann ist $R/I$ mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring $R/I$ genannt – gesprochen: $R$ modulo $I$.

Der Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\to R/I$,

der einem Element $x$ seine Nebenklasse $x+I$ zuordnet, hat $I$ zum Kern.

Isomorphie

→ Hauptartikel: Isomorphismus

Zwei Ringe $R$ und $S$ heißen isomorph, wenn es einen bijektiven Ringhomomorphismus von $R$ nach $S$ gibt. Beide Ringe können dann von ihrer Ringstruktur her als gleichwertig angesehen werden.

Beispiele

Das wichtigste Beispiel eines Ringes ist die Menge $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ der ganzen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation. Es handelt sich dabei um einen nullteilerfreien kommutativen Ring mit Einselement, also einen Integritätsring.

Ebenso bildet $({\mathbb {Q}},+,\cdot )$ der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Ring. Da in diesem Fall nicht nur $({\mathbb {Q}},+)$, sondern auch $({\mathbb {Q}}\setminus \{0\},\cdot )$ eine abelsche Gruppe bildet, liegt sogar ein Körper vor; es handelt sich dabei um den Quotientenkörper des Integritätsringes $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$.

Kein Ring ist die Menge $(\mathbb {N} ,+,\cdot )$ der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.

Weitere wichtige Beispiele von Ringen sind Restklassenringe, Polynomringe und quadratische Matrizen mit fixer Dimension. Insbesondere Restklassenringe und quadratische Matrizen liefern Beispiele von Ringen, die nicht nullteilerfrei sind. Quadratische Matrizen sind darüber hinaus ein Beispiel eines Rings, bei dem die Multiplikation nicht kommutativ ist.

Ein Beispiel eines Rings ohne Eins sind die geraden ganzen Zahlen, ebenso bilden alle ganzen Zahlen, die Vielfache einer gegebenen ganzen Zahl größer eins sind, einen Ring ohne Eins. Allgemein ist jedes echte Ideal eines Rings ein Ring ohne Eins.

Bemerkungen

• Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition. Ein Term $a-b$ versteht sich also als $a+b^{\prime }$, wenn $b^{\prime }$ das bezüglich der Addition inverse Element zu $b$ ist.
• Jeder Ring $R$ ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring $R$ sind gerade die Untermoduln dieses Moduls $R$.

Spezialfälle

Idempotenter Ring

Ein idempotenter Ring ist ein Ring, in dem zusätzlich das Idempotenzgesetz $a\cdot a=a$ für alle Elemente erfüllt ist. Jeder idempotente Ring ist kommutativ.

Boolescher Ring

Ein Boolescher Ring ist ein idempotenter Ring mit Eins.

Lokaler Ring

Ein lokaler Ring ist ein Ring, in dem es genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) gibt. Nicht wenige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.

Integritätsring

Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einer Eins, die verschieden ist von der Null. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.

Faktorieller Ring, ZPE-Ring

Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen.

Hauptidealring

Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.

Euklidischer Ring

In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Verallgemeinerungen

Halbring

Bei einem Halbring ist $\left(H,+\right)$ keine abelsche Gruppe sondern nur eine Halbgruppe, die auch oft (je nach Definition) kommutativ und/oder ein Monoid $\left(H,+,0\right)$ sein soll, für den nicht $a\cdot 0=0\cdot a=0$ für alle $a\in R$ gelten muss (die Definitionen sind nicht einheitlich).

Fastring

Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94269-6.
• Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
• Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
• Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Ein Handbuch für Studium und Forschung. Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.