Lagrange-Multiplikator

In der mathematischen Optimierung ist die Lagrange-Multiplikatorenregel (nach Joseph-Louis Lagrange) eine Methode, Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen umzuformulieren. Ein Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen ist die Aufgabe, ein lokales Extremum einer Funktion in mehreren Veränderlichen mit einer oder mehreren Nebenbedingungen zu finden, wobei die Nebenbedingungen durch Setzen von Funktionen auf gegebene Werte definiert seien. Diese Methode führt eine neue unbekannte skalare Variable für jede Nebenbedingung ein, die Lagrange-Multiplikatoren, und definiert eine Linearkombination die die Multiplikatoren als Koeffizienten einbindet. Das reduziert das Nebenbedingungsproblem auf ein Problem ohne Nebenbedingung. Damit kann es dann durch die gewöhnliche Gradientenmethode gelöst werden.

Um zu erklären, warum das funktioniert betrachtet man den zweidimensionalen Fall. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion f(x,y) die wir maximieren wollen, sowie die Nebenbedingung g(x,y)=c für eine gegebene Konstante c. Damit können wir die Höhenlinien von f durch f(x,y)=d für verschiedene Werte von d darstellen. Die Nebenbedingung bedeutet, auf einer der Höhenlinien von g zu bleiben, die durch Festhalten der Werte von g=c bestimmt ist. Angenommen wir wandern entlang dieser Linie bei g=c. Da die Konturen von f und g ungleich sind, wird man beim Verfolgen der g=c-Höhenlinie viele der Höhenlinien von f kreuzen. Betrachten wir jetzt die verschiedenen Linien von f=d, die wir für verschiedene Werte von d kreuzen. Wenn wir die Höhenlinie senkrecht queren, können wir den Wert von f erhöhen indem wir „bergab“ gehen, was gleichbedeutend dazu ist, f in ansteigender Richtung zu folgen. Nur wenn die Höhenlinie f=d (die wir kreuzen wollen) die Linie g=c (auf die wir beschränkt sind) tangential berührt, ist dieses Aufsteigen nicht möglich. Bei einem Maximum unter einer Nebenbedingung ist das der Fall.

Ein bekanntes Beispiel kann man den Wetterkarten mit ihren Höhenlinien für Temperaturen und Druck entnehmen, wobei die Extrema unter der Nebenbedingung dort auftreten, wo sich beim Überlagern der Karten Linien berühren. Geometrisch übersetzen wir die Tangentenbedingung in dem wir sagen, dass f und g beim Maximum parallele Vektoren sind. Bei Einführen eines unbekannten Skalaren λ ist der Gradient von

f − λg

0 für bestimmte λ. Das in geometrische Form gebracht entspricht der Multiplikatorenregel:

f − λg

muss „fest“ sein, wobei der Multiplikator λ eine neue Variable an einem lokalen Extremum ist.

Die Methode der Lagrange Multiplikatoren

Es sei f(x) eine in einer offenen Teilmenge {x ∈ Rⁿ} definierte Funktion. Wir definieren s voneinander unabhängige Nebenbedingungen g_k (x) = 0, k=1,...,s und sehen (sofern die Nebenbedingungen tatsächlich erfüllt sind), dass

h(\mathbf {x} ,\mathbf {\lambda } )=f+\sum _{k}^{s}\lambda _{k}g_{k}

Wir schauen uns nun das Extremum von h an

{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}=0,

was äquivalent ist mit

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=-\sum _{k}^{s}\lambda _{k}{\frac {\partial g_{k}}{\partial x_{i}}}.

Wir ermitteln die unbekannten Multiplikatoren λ_k mit Hilfe unserer Nebenbedingungsgleichungen und haben damit ein Extremum von h gefunden, die gleichzeitig den Nebenbedingungen genügen (g_k=0), was impliziert, dass f maximiert wurde.

Weblinks

Für Referenzen zu Lagranges original Arbeiten gibt es einen Zugang in

Earliest known uses of some of the words of mathematics: L

Für zusätzliche Texte und interaktive Applets