Das Gleichgewicht in korrelierten Strategien (auch Correlated equilibrium-Konzept[1]) ist ein vom Mathematiker Robert Aumann entwickeltes Lösungskonzept, durch welches im Rahmen der Spieltheorie eine Harmonisierung der Strategien möglich wird.[2] Im Gegensatz zum Nash-Gleichgewicht, welches weder bindende Verträge noch Kommunikation vor dem Entscheidungstreffen der beteiligten Spieler zulässt und somit die Strategiewahl des einen von der Strategiewahl des anderen Spielers unberührt bleibt, ermöglicht das Gleichgewicht in korrelierten Strategien eine Korrelierung der Strategien untereinander.
Einführung
Die Grundidee erlaubt die Betrachtung der gemeinsamen Randomisierungen der Spielerinnen über die Strategiemenge S und die Offenlegung der korrelierten Strategien (eng. correlated strategies).[1] Zu Anschaungszwecken wird sehr oft ein öffentlicher Wahrscheinlichkeitsmechanismus unterstellt (eng. correlation device)[1], an das die Spieler ihre Strategie ausrichten. Dies kann zum Beispiel ein einfacher Münzwurf sein.
Das Aumannsche Konzept stellt ein stärkeres Gleichgewichtskonzept als das von John Nash dar. Für die Spieler resultiert, selbst im Falle, dass keine bindenden Verträge möglich sind, ein höheres Auszahlungspotential. Ein Gleichgewicht nach Nash in gemischten Strategien kann demnach als eine stabile Situation begriffen werden, welche die Randomisierung der Strategien auf unkorrelierte Art und Weise, also im statistisch unabhängigen Modus impliziert.
Der große Verdienst von Aumann besteht darin, dass er die Starrheit von Nash aufgehoben hat und zwar durch seine Beweisführung, dass eine Randomisierung der Spieler, die einem gemeinsamen Zufallsmechanismus folgt und somit die Randomisierung der Strategien im statistisch abhängigen Modus korreliert, beide Spieler besser stellen kann.[3] Vorausgesetzt, die Beteiligten sind gewillt sich auf einen gemeinsamen Mechanismus bezüglich der Definition der Strategienmischung zu einigen und sofern unter dieser Prämisse keine Verbesserung durch das Zurückgreifen auf unkorrelierte Strategien möglich ist, spricht man von einem Gleichgewicht in korrelierten Strategien.
Beispiel
Wir illustrieren das Gleichgewicht in korrelierten Strategien am Beispiel des Problems „Kampf der Geschlechter“.
Modellannahmen
Das Modell geht zunächst von der Annahme aus, dass beide Spieler an einem ihnen wohlbekannten Spiel teilnehmen. Bevor dieses beginnt, bekommen beide ein Signal zugewiesen, dass die Nutzeneinheiten selbst nicht verändert, sehr wohl aber, da beide Spieler ihre Strategien korrelieren, d.h. aufeinanderabstimmen können, den Ausgang des Spieles und somit den erhaltenen Nutzen jeden Spielers.[4]
Von entscheidender Bedeutung bei dem Konzept von Aumann ist die Existenz eines unabhängigen Koordinators, der jedem Spieler seine Strategie zuweist. Diesem vertrauen beide Spieler, denn sie haben in dem Modell schließlich die Gewissheit, dass es sich bei der vorgeschlagenen Strategie um ein Gleichgewicht handelt. Somit ist es für keinen Spieler lohnenswert sich nicht an die vorgeschlagene Strategie zu halten.[5]
Modell
Wir schauen uns jetzt gemeinsam das bekannte Spiel Kampf der Geschlechter anhand einer Bimatrix an:
| Mann\Frau | Fußball (s21) | Ballett (s22) |
|---|---|---|
| Fußball (s11) | (3,1) | (0,0) |
| Ballett (s12) | (0,0) | (1,3) |
Die reinen Nash-Gleichgewichte sind {Fußball,Fußball} und {Ballett, Ballett}. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Spieler mit seiner Vermutung, welches der beiden obigen Gleichgewichte vom anderen Spieler gewählt wird, richtig liegt, ist in einer Welt ohne Absprache gering.
Abweichung davon ist beispielsweise in einer Umgebung möglich, in der die Männer die Frauen dominieren, so dass sich das Ehepaar immer auf den Besuch des Fußballspieles einigt; dieser sogenannte Focus-Punkt-Effekt (eng. focal-point effect) wurde von dem US-amerikanischen Ökonomen und Nobelpreisträger Thomas Schelling in seinem einflussreichen Buch über die Sozialtheorie Strategy of Conflict(1960) beschrieben und somit auf den Einfluss von Umwelt- und Kulturfaktoren auf das rationale Verhalten hingewiesen[6].
Möglichkeiten zur Modellierung von strategischer Unsicherheit
Wie im obigen Abschnitt erläutert, liegt strategische Unsicherheit bei einem Spiel dann vor, wenn weder die Möglichkeit expliziter, d.h. verbaler noch impliziter Kommunikation, wie sie zum Beispiel im kulturellen Kontext durch Gewohnheiten mehr oder minder stark determiniert ist, existiert. Dies macht den Rückgriff auf alternative Lösungskonzepte notwendig.
Die erste Lösungsmöglichkeit geht auf John Nash zurück und stellt die klassische Betrachtung eines Gleichgewichtes in gemischten Strategien dar. In der obigen Bimatrix liegt ein Gleichgewicht in gemischten Strategien nach Nash in und vor, jedoch beträgt die erwartete Auszahlung hierbei nur 0,75, und zwar sowohl für den Mann als auch für die Frau.[7] Somit bekommt jeder weniger als das, was in den beiden Nash-Gleichgewichten beim Spielen von reinen Strategien möglich ist.
Gegeben dem Fall also, dass sich die Spieler, in diesem Fall das Paar darauf einigen könnte, zusammen eines von zweien Nash-Gleichgewichten in reinen Strategien zu spielen und sich somit jeweils einen erwarteten Nutzen von 2 zu sichern, so wäre die Absprache und zwar auch ohne einen bindenden Vertrag stabil, denn weder der Mann noch die Frau hätten einen Anreiz abzuweichen. Die Kommunikation erweist sich somit als äußerst vorteilhaft und ebnet uns den Weg zu der zweiten Lösungsmöglickeit, nämlich dem Gleichgewicht in korrelierten Strategien, dem Kernstück von Aumanns Arbeit.
Dieses kann über verschiedene Mechanismen implentiert werden. Zum einen kann sich das Ehepaar im Vorfeld darauf einigen bei schönem Wetter zu einem Fußballspiel und bei schlechtem Wetter ins Ballett zu gehen oder um auf den Münzwurf zu Beginn zurückzukommen, das Vorhandensein eines vertrauenswürdigen Vermittlers, bei dem beide davon ausgehen können, dass die vorgeschlagene Strategie ein Gleichgewicht ist und der dem Ehepaar bei Kopf zum Fußball und bei Zahl zum Ballett rät, also zum Spielen von oder alternativ .
Da die Wahrscheinlichkeit sowohl für Kopf als auch für Zahl im Falle einer perfekten Münze jeweils ist, sind demnach und , bevor Kopf oder Zahl gefallen ist, gleich wahrscheinlich.
Mathematische Darstellung
Vorüberlegungen zu privaten und nicht privaten Signalen
Wie in den obigen Abschnitten bereits erläutert worden ist, kann das Konzept des Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien zur Modellierung von Spielen mit nicht deterministischen Spielerstrategien und vorgeschriebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dieser Strategien verwendet werden.[8] Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien darf folglich als eine stationäre Situation aufgefasst werden, in der die Spieler ihre reinen Strategien von einem von außen kommendem, privaten und voneinander unabhängigen Signal abhängig machen.[9]
Aumanns Arbeit geht dagegen von der Prämisse aus, dass es in korrelierten Gleichgewichten Abhängigkeiten zwischen den Spielersignalen gibt, da diese nicht mehr privat sind.[10]Dies impliziert die Optimalität der reinen Strategie eines jeden Spielers, sobald die Informationen der Spieler bekannt sind.
Definition
Literatur
- Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einführung in die Spieltheorie. 6., überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2006, ISBN 3-540-27880-X.
Weblinks
- Professor Rieck's Spieltheorie-Seite - Einstiegsseite zur Spieltheorie
- Sektion von Robert Aumann der Hebrew University of Jerusalem
- Lehrstuhl für Wirtschaftstheorie II der Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg mit aktuellen Papers zur Spieltheorie
- Yale University-Vorlesungen zur Spieltheorie (24 x 75 Minuten)
- Gametheory.net - Schönes Java-Applet zur Lösung von Normalformspielen mit Möglichkeit der Vowahl von bekannten Spielen (englisch)
- Gambit - Software zur Analyse von endlichen, strategischen und extensiven Spielen
- Spieltheorie-Software.de - Java-Software zur umfangreichen Analyse von 2-Personen Spielen
Einzelnachweise
- ↑ a b c Aumann, Robert: Subjectivity and Correlation in Randomized Strategies. Journal of Mathematical Economics 1 (1974): S. 67-96.
- ↑ Holler, Manfred/ Illing, Gerhard: Einführung in die Spieltheorie. 6., überarbeitete Auflage, Springer Verlag, Berlin und Heidelberg, 2006. S. 87ff.
- ↑ Aumann, Robert: "Correlated Equilibrium as an Expression of Bayesian Rationality," Econometrica, Econometric Society, vol. 55(1) (1987): S. 1-6.
- ↑ Holler, Manfred/ Illing, Gerhard: Einführung in die Spieltheorie. 6., überarbeitete Auflage, Springer Verlag, Berlin und Heidelberg, 2006. S. 88.
- ↑ Hart, Sergiu: Robert Aumann's Game and Economic Theory. Scandinavian Journal of Economics, Vol. 108, No. 2, S. 202, July 2006. Verfügbar auf SSRN: http://ssrn.com/abstract=924486
- ↑ Myerson, Roger: Learning from Schelling's strategy of conflict. Department of Economics, University of Chicago, S. 5, latest version April 2009. Verfügbar auf http://home.uchicago.edu/~rmyerson/research/stratofc.pdf
- ↑ [1] Java-Aplett zur Lösung von Normalformspielen
- ↑ Osborne, Martin J./ Rubinstein, Ariel: A Course in Game Theory. MIT Press Books, The MIT Press, edition 1, volume 1, number 0262650401 (1994): S.31, 32, 38.
- ↑ Osborne, Martin J./ Rubinstein, Ariel: A Course in Game Theory. MIT Press Books, The MIT Press, edition 1, volume 1, number 0262650401 (1994): S.39-41.
- ↑ Hart, Sergiu: Robert Aumann's Game and Economic Theory. Scandinavian Journal of Economics, Vol. 108, No. 2, S. 202-204. July 2006.