Diskussion:Umtauschparadoxon

Die Löschung der Seite „Umtauschparadoxon“ wurde ab dem 17. November 2006 diskutiert und abgelehnt. Für einen erneuten Löschantrag müssen gemäß den Löschregeln neue Argumente vorgebracht werden.

Automatische Archivierung

Auf dieser Seite werden Abschnitte automatisch archiviert, deren jüngster Beitrag mehr als 30 Tage zurückliegt und die mindestens einen signierten Beitrag enthalten.

Archiv

2005 2006 2007 2008

Wie wird ein Archiv angelegt?

Themenaufbereitung verbesserungsbedürftig

Ich halte diesen Artikel trotz seiner ausschweifenden Diskussions-Historie noch für dringend verbesserungsbedürftig. Mich stören weniger die inhaltlichen Aussagen, als die Art ihrer Aufbereitung. Folgende Punkte sind meiner Meinung nach problematisch:

• Im Artikel werden verschiedene Varianten des Austauschparadoxons abgehandelt, aber nicht klar voneinander abgegrenzt. Und zwar:

1. Die Ursprungsversion, bei der die Geldbeträge in den Umschlägen unbekannt aber fest (d. h. nicht zufällig) sind, wird in den Abschnitten Das Paradoxon und Die Denkfalle behandelt.
2. Eine Version, bei der die Geldbeträge zufällig sind und einer bekannten statistischen Verteilung folgen, wird in den Abschnitten Die Lösung und Beispiel behandelt. Es fehlt aber der explizite Hinweis darauf, dass dort ein anderer Sachverhalt diskutiert wird.
3. Eine Art randomisierte Umtausch-Strategie, bei der die statistische Verteilung der Geldbeträge unerheblich ist, wird im Abschnitt mit dem irreführenden Titel Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels abgehandelt.

• Ich halte eine grobe Strukturierung des Artikels für sinnvoller, bei der die Überschriften explizit die drei inhaltlichen Varianten des Paradoxons kennzeichnen.
• Die Notation im Artikel ist inkonsistent. Die Variable Z wird oben im Artikel für den kleineren Geldbetrag und weiter unten für die Zufallsvariable der randomisierten Strategie verwendet, während dort der Geldbetrag mit n bezeichnet wird.
• Den Abschnitt Die Umtauschsitutaion finde ich etwas zu blumig. Dass die Herren Lemke und Schmidt auf einer Party sind und Alkohol getrunken haben, trägt nichts zur Erhellung des Problems bei. Besser fände ich eine nüchterne Einleitung der Art: "Einem Probanden werden zwei Briefumschläge mit Geld präsentiert, von denen einer einen doppelt so hohen Geldbetrag enthält wie der andere ..." Außerdem suggeriert der Text bereits den Spezialfall, bei dem die Geldbeträge zufällig bestimmt werden. Dies entspricht aber nicht der ursprünglichen Formulierung des Problems.
• Die ursprüngliche Version des Paradoxons und seine Lösung werden nur sehr rudimentär behandelt. Es wird insbesondere nicht hinreichend erklärt, was genau an der Rechnung im ersten Abschnitt falsch ist.
• Den Abschnitt Die Lösung halte ich in der Form für unbrauchbar. Zunächst mal wird nicht erwähnt, dass dies nicht die Lösung des ursprünglichen Umtauschparadoxons ist, sondern die Betrachtung einer anderen Variante, bei der der Geldbetrag einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt. Die verwendeten Ereignisse werden gar nicht oder nicht korrekt definiert, z. B. $S_{n/2}$, so dass der ganze Abschnitt sachlich nicht nachvollziehbar ist. Es wird auch überhaupt nicht definiert, was in diesem Beispiel die Zufallsvariablen sein sollen. Erst beim Lesen des darauf folgenden Abschnitts kann man sich zusammenreimen, dass es wohl die zufällige Verteilung des Geldbetrages sein soll. Ich glaube auch nicht, dass die umständlichen Rechnungen notwendig sind. Wenn ich es richtig sehe, sollte die Lösung formal ziemlich simpel sein, etwa so: Sei N die Zufallsvariable, nach der der kleinere Geldbetrag bestimmt wird und x der Geldbetrag im gewählten Umschlag. Tauschen ist genau dann sinnvoll, wenn P(N=x | x ist der kleinere Betrag) > P(N=x | x ist der größere Betrag) ist. Bei der Unterscheidung, ob x der kleinere oder der größere Betrag ist, handelt es sich strenggenommen nicht um statistische Ereignisse, sondern um einen Vergleich verschiedener Szenarien, von denen eines wahr und eins falsch ist, wir wissen nur nicht welches. Deshalb ist der Terminus "Bedingte Wahrscheinlichkeit" hier zumindest fragwürdig. Es handelt sich viel mehr um einen Vergleich zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter der Annahme verschiedener Szenarien (vergleichbar mit der Maximum-Likelihood-Methode). (Denkfehler meinerseits --Ulrich Kaltenborn 19:53, 22. Mär. 2010 (CET))
• Die im Abschnitt Beispiel aufgestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist grob fehlerhaft. Auch wenn es für eigentliche Aussage irrelevant ist, ein einfacheres aber dafür korrekt gerechnetes Beispiel, sowie eine klare inhaltliche Erläuterung dazu wären besser.
• Der Abschnitt Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels sollte besser Randomisierte Umtausch-Strategie heißen. Im Abschnitt wird darauf hingewiesen, dass diese Strategie unabhängig von der Verteilung von N ist. Das Beispiel rechnet aber mit der explizit vorgegebenen Verteilung aus dem vorigen Abschnitt. Das ist zwar formal ok, ich finde es aber eher verwirrend. Es hat bei mir dazu geführt, dass ich erst mal gedacht habe: Schwachsinn, das kann nicht sein. Auch hier fände ich eine einfacheres Beispiel zur Illustration besser, das vor allem nicht mit Verweis auf den vorangehenden Abschnitt Verwirrung stiftet. Außerdem wird auf die recht überraschende Kernaussage der Strategie inhaltlich nicht eingegangen: dass nämlich jede Nennung eines beliebigen Geldbetrages in einem Umschlag einen (wenn auch ggf. geringen) Informationsgewinn enthält. Mit dieser Idee im Kopf lässt sich die Strategie dann auch sachlogisch motivieren, so dass sie auch dann glaubwürdig ist, wenn man die Wahrscheinlichkeiten nicht alle explizit nachrechnet.

Wenn es keine Inhaltlichen Einwände gegen meine Kritkpunkte gibt, werde ich nach und nach meine Verbesserungsvorschläge einarbeiten und den Artikel so umbauen, dass er hoffentlich etwas klarer und strukturierter wird. --Ulrich Kaltenborn 22:47, 21. Mär. 2010 (CET)

Antwort 1

Sorry, aber einen konkreten Verbesserungsvorschlag kann ich noch nicht erkennen. Ein paar Bemerkungen zu den Kritikpunkten: ad1) Du schreibst zu den Geldbeträgen in den Umschlägen, dass sie unbekannt aber fest (d. h. nicht zufällig) seien. "Unbekannt aber fest" heißt nicht, dass sie nicht zufällig sind - wir wissen einfach nur nicht, wie sie zustande gekommen sind. Das ist doch der Clou an der Geschichte. ad2(Es fehlt aber der explizite Hinweis...): Steht doch genau vor dem Absatz: Der folgende Abschnitt geht der Frage auf den Grund, ob bei einer bekannten oder geschätzten Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Tausch für gewisse Beträge sinnvoll sein kann, und ob es überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung geben kann, bei der ein Tausch immer angezeigt ist. ad3(Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels) Was ist an dem Titel irreführend? Deinen Vorschlag zur Umbenennung in "randomisierte Umtausch-Strategie" kann ich hingegen nicht folgen. Können Strategien randomisiert werden? --Rebiersch 23:57, 21. Mär. 2010 (CET)

Mit "unbekannt aber fest" meine ich, dass ein Wert im Kontext einer Modellbetrachtung als vorgegeben angesehen wird, egal ob er schon immer fest war oder irgendwann mal als Ergebnis eines Zufallsvorgangs realisiert wurde. Entscheidend ist, dass wir nichts über einen solchen Zufallsvorgang wissen. Das ist die Situation im ursprünglichen Umtauschparadoxon. Und genau diese Tatsache, dass es keinen uns bekannten Zufallsvorgang gibt, ist notwendig um das Paradoxon aufzulösen. Deshalb finde ich den Satz über die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch irreführend, weil er im Abschnitt die Denkfalle nicht das Thema ist. Sinnvoll fände ich es, stattdessen den folgenden Absatz mit einer Formulierung zu beginnen, wie z. B. "Geht man anders als in der ursprünglichen Formulierung des Paradoxons davon aus, dass die Geldbeträge in den Umschlägen einem Zufallsprozess folgen, dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig bekannt ist, dann, usw bla bla. Irgendwas in der Art. Vor allem kann der Abschnitt nicht "Die Lösung" heissen, als ob er die Lösung des ursprünglichen Paradoxons enthielte, das behauptet, es lohne sich immer zu tauschen, auch wir keine zusätzlichen Informationen haben. Zum Randomisieren: Das Wort randomisiert bedeutet im wesentlichen zufällig gemacht. Ein randomisiertes Verfahren ist eines, bei dem man bewußt einen Zufallseinfluss einfließen lässt. Der Titel "Randomisierte Umtausch-Strategie" beschreibt also ziemlich präzise den Inhalt des Abschnitts. Offensichtlich kann man die Strategie zwar auch auf das Zwei-Zettel-Spiel anwenden. Der Inhalt des Abschnitts ist aber nicht eine Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels, auf das im übrigen auch gar nicht weiter eingegangen wird. Insofern ist der Titel nicht nur irreführend, sondern sachlich falsch.--Ulrich Kaltenborn 19:53, 22. Mär. 2010 (CET)

• Zum "Zufallsvorgang": Herr Schmidt ist offensichtlich der Meinung, dass er Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Problem anwenden kann. "Geht man anders als in der ursprünglichen Formulierung des Paradoxons davon aus, dass die Geldbeträge in den Umschlägen einem Zufallsprozess folgen, dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig bekannt ist, dann ..." trifft es nicht. Es geht nicht um die Frage, ob die Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt oder unbekannt ist, sodern vielmehr um die Frage, ob überhaupt irgendeine Wahrscheinlichkeitsverteilung existiert, bei der die Rechnung von Herrn Schmidt (es lohne sich immer zu tauschen) korrekt ist.
• Das Stichwort Randomisierter Algorithmus kann man von mir aus unterbringen; da müssten wir genauer schauen, ob und wo es wirklich passt.
• Der Zusammenhang mit dem Zwei-Zettel-Spiel wird auch in der Literatur hergestellt (Dov Samet, Iddo Samet, and David Schmeidler). Soweit ich es historisch nachvollziehen kann, hat Thomas M. Cover das Umschlagparadoxon nicht gekannt, als er das Zwei-Zettel-Spiel präsentierte, und die Verwandtschaft der Probleme ist erst später entdeckt worden. Die Hintergrundstruktur, die zumindest ich beim Aufbau des Artikels im Kopf habe, ist folgende:

1. Zunächst geht es um die Frage, unter welchen Annahmen die Rechnung von Herrn Schmidt korrekt sein kann. Da stellt sich heraus, dass es keine solchen Annahmen gibt. Damit wäre die Sache erledigt mit dem (wenig überraschenden) Ergebnis, dass sich Tauschen nicht lohnt.
2. Dann stellt sich heraus, dass es bei bekannter Verteilung durchaus (deterministische) Strategien gibt, bei denen sich (überraschenderweise) Tauschen (allerdings abhängig vom Inhalt) tatsächlich lohnt.
3. Dann kommt natürlich der Einwand, dass das nicht hilft, weil eben nicht "die Geldbeträge in den Umschlägen einem Zufallsprozess folgen, dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig bekannt ist". Hier kommt dann eben das (historisch anscheinend unabhängig entdeckte) Zwei-Zettel-Spiel, dessen Lösung hier als, wie Du es nennst, "Randomisierte Umtausch-Strategie" einsetzbar ist und auch bei unbekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung eine lohnende Tauschstrategie liefert.

Wenn's was hilft, kann ich durchaus versuchen, diese Struktur deutlicher herauszuarbeiten. --NeoUrfahraner 07:01, 23. Mär. 2010 (CET)

Ich denke schon, dass es notwendig ist, die inhaltiche Struktur und die Ideen weiter herauszuarbeiten. Da wir ja wohl, was die Inhalte angeht, etwa auf einer Linie liegen, sollten die genauen Formulierungen auch nicht das Problem sein. Ich bestehe z. B. nicht auf dem Wort "randomisiert". Finde ich zwar sehr treffend, ist aber andererseits so ein Fachterminus, den im Zweifel keiner versteht. Und meine Formulierung mit den Zufallsprozessen kann man in der Tat so misverstehen, als gäbe es immer einen Prozess, nur vielleicht mit unbekannter Verteilung. Vielleicht sollten wir auch die erklärenden Sätze und/oder Beispiele einfach direkt im Artikel ein paar mal hin- und her iterieren, und nur wenn es einen echten Dissens gibt hier weiter diskutieren (sofern das im Einklang mit den Gepflogenheiten bei Wikipedia steht ((ich bin neu hier)), aber mir fällt es immer leichter, einen Änderungsvorschlag im Gesamtkontext zu sehen, um ihn beurteilen zu können).--Ulrich Kaltenborn 21:40, 23. Mär. 2010 (CET)

Doch, es gibt immer einen Prozess, wie die Beträge in die Umschläge kommen. Weil Herrn Schmidt den Prozess nicht kennt, modelliert er ihn mit Wahrscheinlichkeitsrechnung. Siehe meinen Beitrag unten: die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nur ein Modell, mit dem Herrn Schmidt seine Unwissenheit beschreibt. Welches Modell sollte Hr. Schmidt denn sonst wählen, um seine Unwissenheit zu modellieren? --NeoUrfahraner 18:54, 24. Mär. 2010 (CET)

Das Gegenteil ist richtig: Genau dann wenn Her Schmidt den (Wahrscheinlichkeits)-Prozess kennt (nicht aber dessen Ergebnis natürlich), dann liegt es daran, dass er eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann. Kennt Herr Schmidt den Prozess nicht, dann kann auch keine Verteilung angeben. Hat er keine Verteilung, hat er auch keine Zufallsvariable und keine Wahrscheinlichkeiten. Stattdessen (wenn er gar nichts weiss) kann und muss er das (unbekannte) Ergebnis n des Geldbetrages als vorgegebenen Wert betrachten. Siehe dazu auch die aktuelle Version des Artikels (Indifferenz versus Unwissenheit). Wahrscheinlichkeiten sind ein Modell für Prozesse, deren Ergebnis sich nicht vorhersagen lässt, deren "Ablaufschema" (was passiert mit welcher Wahrscheinlichkeit) aber sehr wohl bekannt sein muss. --Ulrich Kaltenborn 21:21, 28. Mär. 2010 (CEST)

Schau Dir die Kolmogorow-Axiome an. Wahrscheinlichkeiten sind spezielle Maße im Sinne der Maßtheorie. Die Maßtheorie kennt kein "Ablaufschema". --NeoUrfahraner 21:09, 29. Mär. 2010 (CEST)

Antwort 2

Ergänzend zu den Anmerkungen von Rebiersch:

1. "Die Notation im Artikel ist inkonsistent": Dieser Punkt ist berechtigt; ich werde es mir genauer ansehen.
2. "Die im Abschnitt Beispiel aufgestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist grob fehlerhaft ... ein einfacheres aber dafür korrekt gerechnetes Beispiel ... dazu wären besser": Was genau soll denn fehlerhaft sein? Welches einfache Besipiel schlägst Du vor? --NeoUrfahraner 06:25, 22. Mär. 2010 (CET)

Wenn ich nichts übersehen habe, so ist die Notation jetzt einheitlich. --NeoUrfahraner 13:54, 22. Mär. 2010 (CET)

Ah Super! Mit der neuen Notation konnte zumindest ich mir jetzt auch einen Reim auf die Berechnungen im Abschnitt "Die Lösung" machen. Mit meiner eigenen Idee zu dem Thema hatte ich wohl zu kurz gedacht. Was das Rechenbeispiel angeht: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen "Augensumme von zwei unabhängig geworfenen Würfeln" ist falsch. Ich würde mich aber unabhängig davon nochmal mit einer Idee für ein einfacheres Beispiel melden, wenn ich eins ausformuliert habe.--Ulrich Kaltenborn 19:53, 22. Mär. 2010 (CET)

Danke für den Hinweis. Das war 85.179.58.95 am 26. Jan. 2010. Ich korrigier's gleich. --NeoUrfahraner 20:03, 22. Mär. 2010 (CET)

Was genau falsch ist

Zu "Es wird insbesondere nicht hinreichend erklärt, was genau an der Rechnung im ersten Abschnitt falsch ist.": Gefällt Dir die Erklärung "Es ist ein Trugschluss, den Inhalt des Umschlags nur in die Berechnung der Gewinnhöhe einzubeziehen, nicht aber in die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeiten" in der Version vom 19. März 2008 diesbezüglich besser? --NeoUrfahraner 16:15, 23. Mär. 2010 (CET)

Hmm, ich bin mir nicht sicher, ob ich den Satz überhaupt verstehe. Er scheint mir auch zu suggerieren, es gäbe es auf jeden Fall so etwas wie eine Gewinnwahrscheinlichkeit. Das was das Paradoxon hervorruft, ist meiner Meinung nach die mangelnde Unterscheidung zwischen physikalischen Wahrscheinlichkeiten (ex ante, der Zufall wirkt in der Zukunft) und subjektiven "Wahrscheinlichkeiten" (ex post-Plausibilitätsabschätzungen, alles ist schon gelaufen und es ist nicht gesagt ob der Zufall überhaupt gewirkt hat). Ich würde gerne in den nächsten Tagen mal einen etwas längeren erklärenden Text im Abschnitt "Das Paradoxon" unterbringen, der auch für statistisch nicht Gebildete nachvollziehbar ist, sozusagen als Diskussionsgrundlage. --Ulrich Kaltenborn 21:40, 23. Mär. 2010 (CET)

Einschub "mangelnden Unterscheidung"

Zur "mangelnden Unterscheidung": Verwechsle nicht das Modell mit der Wirklichkeit. Die Ansicht, es gäbe so etwas wie physikalischen Wahrscheinlichkeiten ist naiver Realismus. Der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es völlig egal, ob Du damit "echten" Zufall (was immer das bloß sein soll) oder subjektive Unsicherheiten modellierst. Die Wahrscheinlichkeitsrechung ist nur insofern objektiv, als zwei Personen mit gleichen Methoden und gleichem Wissensstand zu gleichen Ergebnissen kommen. Zwei Personen mit unterschiedlichem Wissensstand kommen zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten. --NeoUrfahraner 18:41, 24. Mär. 2010 (CET)

Weiter bei "Was genau falsch ist"

Jetzt noch inhaltlich zur Erklärung was falsch ist: Bezeichnen wir mit X den Betrag im ersten Umschlag und mit Y den Betrag im zweiten Umschlag, so ist die Frage, was Hr. Schmdit ausrechnet. Berechnet er den Erwartungswert von Y unter Vernachlässigung/Unkenntnis von X oder berechnet er den Erwartungswert von Y unter Berücksichtigung von X. Anscheinend will Hr. Schmdit den Erwartungswert von Y unter Berücksichtigung von X ausrechnen. Das kann er, dann muss er aber die richtige Formel wählen, die berücksichtigt, dass X und Y nicht unabhängig sind. So weit klar? --NeoUrfahraner 20:47, 24. Mär. 2010 (CET)

Anfang des Artikels geändert

Ich habe den Anfang des Artikels umgeschrieben:

• Die ursprüngliche Version des Paradoxons (Geldbetrag ist vorgegeben und wird nicht als Zufallsprozess modelliert) ist jetzt wesentlich ausführlicher beschrieben, inklusive Auflösung.
• Den Abschnitt "Die Denkfalle" habe ich in "Anwendung des Indifferenzprinzips" umbenannt und komplett umgeschrieben, da er in der bisherigen Form unverständlich war.
• Die Überschriften der danach folgenden Abschnitte habe ich (wie oben in der Diskussion angekündigt) auch geändert, die Inhalte aber erst mal nicht angefasst. Auf den Begriff "randomisiert" habe ich erst mal verzichtet.
• Das Beispiel mit Herrn Lemke und Herrn Schmidt habe ich noch nicht rausgenommen, weil weiter unten im Artikel mehrfach darauf Bezug genommen wird. Der Text ist dadurch zwar im Moment etwas redundant, aber bevor das Beispiel gelöscht werden kann, müssen auch die anderen Texte so umgebaut werden, dass sie ohne Bezug auf das Beispiel nachvollziehbar sind.--Ulrich Kaltenborn 21:04, 28. Mär. 2010 (CEST)

Naja, jetzt haben wir einen Bearbeitungskonflikt. Ich werde mir Deine Version in Ruhe ansehen müssen. Wenn Du zuerst auf die Diskussion oben eingegangen wärst, wäre die Sache einfacher gewesen. --NeoUrfahraner 21:35, 28. Mär. 2010 (CEST)

Der Satz "Beide Möglichkeiten sind nachträglich gleichermaßen plausibel, weil unser Auswahlprozeß W ebenfalls gleiche Wahrscheinlichkeiten hat" ist jedenfalls falsch. "nachträglich" bedeutet eben, dass es sich um die bedingte Wahrscheinlichkeit den kleineren/größeren Betrag gewählt zu haben nachträglich unter der Bedingung, einen gewissen Betrag vorgefunden zu haben. --NeoUrfahraner 21:43, 28. Mär. 2010 (CEST)

Man sollte wohl besser schreiben "Aufgrund des Auswahlprozesse W sind beide Möglichkeiten gleich wahrscheinlich". Dass die Betrachtung erst nachträglich stattfindet, nachdem der Zufallsprozess "physikalisch" beendet ist, ist für die weiteren Berechnungen unerheblich. Insbesondere hat "nachträglich" nichts mit "bedingt" zu tun. Es gibt in dieser Betrachtung auch überhaupt keine Zufallsvariable, auf die ich bedingen könnte. Der einzige Zufallsprozess betrifft die Auswahl der Umschläge.--Ulrich Kaltenborn 22:39, 28. Mär. 2010 (CEST) Nachtrag: Stimmt natürlich nicht ganz, X und Y sind auch definiert. Worauf ich hinauswollte ist, dass ich keine bedingte Wahrscheinlichkeit von n gegeben x angebe, weil kein Zufallsprozess Z definiert ist, der zu einem Geldbetrag n führt. Das passiert erst weiter unten.--Ulrich Kaltenborn 22:55, 28. Mär. 2010 (CEST)

Doch, die nachträgliche Betrachtung hat etwas mit bedingter Wahrscheinlichkeit zu tun. Außerdem ist die Überschrift "Strategie bei bekannten Wahrscheinlichkeiten" falsch, da in diesem Abschnitt die Wahrscheinlichkeiten nicht als bekannt vorausgesetzt werden. Ich habe das jetzt nochmals ausdrücklich im Artikel betont. An welcher Stelle wird denn Deiner Meinung nach diese Voraussetzung verwendet? Lediglich beim angegebenen Beispiel wird eine konkrete Verteilung verwendet. Den Abschnitt "Die Denkfalle" habe ich vorerst entfernt. Was davon erhalten bleiben soll, können wir noch genauer ansehen.

Ansonsten: Du hast zu Recht kritisiert, dass der Artikel uneinheitliche Notation verwendet. Ich habe darauf die Notation vereinheitlicht. Wenn Du die gleiche Notation verewendest, werden die Unterschiede und Gemeinsamkeiten in den Betrachtungsweisen deutlicher. Ich habe also wieder auf die vorige Version zurückgestellt. Erklär jetzt bitte nochmals, was genau falsch/unverständlich/fehlend ist, dann können wir es leichter verbessern, als wenn Du den Artikel komplett umschreibst.

Zuletzt: bitte beachte WP:Q --NeoUrfahraner 07:11, 29. Mär. 2010 (CEST)

Nein, eine nachträgliche Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und eine bedingte Wahrscheinlichkeit sind zwei komplett verschiedene Dinge. Und ja, wenn in den hergeleiteten Formeln so etwas wie $p_{n}$ steht, anhand der ich eine Entscheidung fällen kann, dann bedeutet das ganz genau, dass die Wahrscheinlichkeiten als bekannt vorausgesetzt werden. Und nein, ich habe den Artikel nicht komplett umgeschrieben, sondern den Anfang des Artikels erweitert und dabei den recht kurzen Abschnit "Die Denkfalle" ersetzt. Ich habe übrigens selbstverständlich eine zum Rest des Artikels konsistente Notation gewählt. Falls mir doch noch ein paar Inksonsitenzen durchgerutscht sein sollten (ich habe keine gefunden), dann hättest Du sie auch im Text korrigieren oder mich darauf hinweisen können. Das ist kein Grund, meine Änderungen einfach komplett wegzuwerfen. Ich habe meinen Standpunkt in einem neuen Abschnitt nochmal ausführlich dargestellt.--Ulrich Kaltenborn 13:40, 29. Mär. 2010 (CEST)

Zur "nachträglichen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten": Wenn Du im Umschlag x=100 findest, so gibt es keinen zwingenden Grund zur Annahme, dass die Fälle x=n (also n=100) und x=2n (also n=50) gleich wahrscheinlich sind. --NeoUrfahraner 16:41, 29. Mär. 2010 (CEST)

Rücknahme meiner Änderungen

Ich habe am 28. März 2010 diesen Artikel erweitert. Die Änderungen wurden vom Benutzer NeoUrfahraner am nächsten Tag komplett rückgängig gemacht. Ein von mir stark veränderter Abschnitt ist nun gar nicht mehr enthalten. Ich möchte hier noch einmal zusammenfassen, warum ich meine Änderungen für sinnvoll und notwendig halte, die Gründe für die Rücknahme der Änderungen dagegen für nicht stichhaltig.

Was ist überhaupt das Umtauschparadoxon

In der bisherigen Version des Artikels (vor meinen Änderungen) wurde überall vorausgesetzt, der Grundbetrag (also der kleinere Betrag) in den Briefumschlägen würde als Realisation einer Zufallsvariablen entstehen. Diese Annahme wurde an keiner Stelle explizit erwähnt. Das ist höchst problematisch, weil in der Formulierung des Paradoxons nicht die Rede davon ist, dass die Geldbeträge zufällig sind. Es wird auch keine (implizite oder explizite) Annahme über irgendeine derartige Verteilung gemacht. Zufällig ist in dieser Version nur die Auswahl der Umschläge.

Im Rahmen des Paradoxons kann man allerdings zwei unterschiedliche Betrachtungen anstellen. Die ursprüngliche Betrachtungsweise setzt den unbekannten Grundbetrag, n, als gegeben voraus. Eine andere Betrachtungsweise unterstellt die Existenz einer Zufallsvariablen, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung als bekannt vorausgesetzt wird. Zumindest muss die Betrachtungsweise mit gegebenem n in dem Artikel behandelt werden. Sind beide Betrachtungen enthalten, so müssen beide gesondert behandelt werden, die jeweiligen Annahmen müssen klar benannt werden. Diese Unterscheidung beider Varianten wird auch in der im Artikel angegebenen Literatur (http://www.tau.ac.il/~samet/papers/one-observation.pdf) in der gleichen Form vorgenommen.

Wo findest Du die Dir fehlende Variante in der angegebenen Literatur (Dov Samet, Iddo Samet, and David Schmeidler)? --NeoUrfahraner 17:03, 29. Mär. 2010 (CEST)

Was war an der bisherigen Einführung nicht in Ordnung

Im folgenden wiederhole ich in Kursivschrift den Inhalt der bisherigen Abschnitte "Das Paradoxon" und "Die Denkfalle". Eingerückt erscheint meine Kritik daran.

Wenn die Rechnung von Herrn Schmidt für jeden beliebigen Betrag das Ergebnis liefert, dass sich Tauschen lohnt, so braucht er den Umschlag gar nicht zu öffnen, sondern kann gleich den anderen Umschlag nehmen. Es kann aber nicht sein, dass der andere Umschlag immer besser ist, da ja beide Umschläge vor dem Öffnen offensichtlich gleichwertig sind.

Dies ist eine sehr knappe und saloppe Beschreibung des Paradoxons, die keinen Ansatz zur Auflösung des Paradoxons bietet. Damit könnte ich leben, wenn diese Version der Paradoxons, also ohne Annahme einer statistischen Verteilung der Geldbeträge, irgendwann im Artikel näher erläutert werden würde.

Unser Wahrnehmungs- und Denkapparat ist ständig dabei, Strukturen zu suchen und zu erkennen. Das ist ein Erfolgsrezept. Diese Strukturerwartung drückt sich in der uns angeborenen Prägnanztendenz aus. Die Prägnanztendenz bewirkt unter anderem, dass wir kleine Unterschiede einebnen und Symmetrien überbetonen. In diesem Sinne ist das Indifferenzprinzip eine Ausprägung der Prägnanztendenz. Der grundsätzlich nützliche Mechanismus der Prägnanztendenz schießt bisweilen über das Ziel hinaus. Er wird dann zur Denkfalle.

Das ist zwar ok, tut aber nicht wirklich was zur Sache. Es reicht, darauf hinzuweisen, dass das Indifferenzprinzip ein Versuch ist, die Annahme gleicher Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse zu begründen.

Beim Umschlagparadoxon tut sich eine solche Denkfalle auf. Das Indifferenzprinzip scheint anwendbar zu sein, denn mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit wird der Umschlag mit dem größeren Betrag und mit ebenfalls 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit der mit dem kleineren Betrag gewählt. Wenn wir den größeren Betrag 2Z und den kleineren Betrag Z nennen, gewinnt Herr Schmidt Z Euro oder verliert Z Euro durch den Tausch.

Das ist zumindest Irreführend. Die Zufallsvariable, auf die hier Bezug genommen wird, betrifft die Auswahl der Briefumschläge. Hier ist es völlig ok, beide für gleich wahrscheinlich zu halten, denn dieser Zufallsvorgang findet ja kontrolliert statt.

Um eine sinnvolle Tauschstrategie zu ermitteln, ist jedoch die bedingte Wahrscheinlichkeit erforderlich.

Erstens ist das nicht das Thema, sondern es geht darum, warum der Erwartungswert beim Tauschen nicht 125 Euro beträgt. Diese Rechnung wurde weder widerlegt, noch wurde erklärt, welcher Fehlschluss auf diese Rechnung führt. Zweitens wird hier nicht gesagt welche Zufallsvariable hier auf welches Ereignis welcher anderen Zufallsvariable bedingt wird. Drittens wird der Satz weder begründet, noch wird im folgenden erkennbar darauf eingegangen. Grund für die Verwirrung ist, dass mittem im Abschnitt stillschweigend das Thema gewechselt wird. Hier wird nämlich plötzlich unterstellt, der Geldbetrag n wäre das Ergebnis einer Zufallsvariablen mit als bekannt vorausgesetzter Verteilung. Ohne dass explizit auf den Unterschied zwischen einem fest vorgegebenen Wert n (wie in der Definition des Paradoxons) und n als Realisation einer Zufallsvariablen Z (wie hier implizit unterstellt) eingegangen wird, ist diese Aussage unsinnig.

Es geht hier erstens um die Wahrscheinlichkeit des Falles, dass 50 Euro in einem und 100 Euro im anderen Umschlag stecken und zweitens um die Wahrscheinlichkeit des Falles, dass es sich um 100 Euro und 200 Euro handelt. Nur wenn die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Fälle gleich sind, hat Herr Schmidt mit seinen Überlegungen recht.

Auch dieser Satz ist unsinnig, wenn nicht explizit eine Zufallsvariable Z eingeführt wird, deren Realisationen hier beschrieben werden.

Und über die Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle ist tatsächlich nichts bekannt. Da die Anzahl von denkbaren Fällen unendlich groß ist, können diese Wahrscheinlichkeiten gar nicht alle gleich sein. Das Indifferenzprinzip ist also ausgehend von einem aufgedeckten Betrag x auf die Ereignisse „doppelter Betrag“ (2x) und „halber Betrag“ (x/2) aus grundsätzlichen Erwägungen heraus nicht anwendbar. In der Denkfallen-Sammlung Denkfallen und Paradoxa wird das an ein paar Rechenbeispielen weiter verdeutlicht. Denkfallen und Paradoxa: Umtauschparadoxon (Briefumschlag-Paradoxon)

Die Nicht-Anwendbarkeit des Indifferenzprinzips (hier korrekt, wenn man akzeptiert, dass wir über die Variante mit zufälligem n reden) wird nicht begründet oder erklärt. Als ganzes geht der Abschnitt also komplett an der Fragestellung vorbei, die eben nicht voraussetzt, dass n das Ergebnis eines Zufallsprozesses Z ist.

Aus diesen Gründen habe ich die Abschnitte, wie ich es vorher in der Diskussion angekündigt und begründet habe, umgeschrieben und erweitert. In meiner Version sind, soweit ich es erkennen kann, alle gemachten Annahmen explizit angeführt, die Schlussfolgerungen sind sachlich korrekt und nachvollziehbar. Die Beispiele auch für Nicht-Statistiker verständlich. Insbesondere wird klar zwischen den beiden oben genanneten Betrachtunsweisen unterschieden. Den gesamten Rest des Artikels habe ich inhaltlich nicht verändert.

Antwort auf die Kritik an meiner Version

• Die Kritik aus der obigen Diskussion, nachträgliches Berechnen von Wahrscheinlichkeiten hätte etwas mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu tun, ist sachlich falsch. Nachträgliche Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten sind zwei komplett verschiedene Dinge. Ich habe auch in der Diskussion bereits mehrfach versucht, klarzumachen, dass die ursprüngliche Version des Paradoxons keinerlei Verteilungsannahmen macht, die einen Grund für das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten bieten würden.
• Die Kritik an meiner neuen Überschrift "Strategie bei bekannter Verteilungsfunktion" ist sachlich falsch. Natürlich wird die Verteilung als bekannt angesehen. Die Terme $p_{n}$ kommen direkt aus dieser Verteilung und tauchen in der Lösung auf, die am Ende meine Entscheidungsregel darstellt. Ohne $p_{n}$ zu kennen, kann ich auch nicht entscheiden. Insbesondere (auch hier wiederhole ich mich) sind die Ausführungen dieses Abschnitts nicht "Die Lösung" des Paradoxons.
• Selbstverständlich habe ich eine Notation gewählt, die zum Rest des Artikels passt. Auch wenn es noch Inkonsistenzen geben sollte (ich habe keine gefunden), so ist das mit Sicherheit kein Grund, die gesamten Änderungen einfach zu verwerfen.
• Ich habe den Artikel nicht komplett umgeschrieben, sondern nur dessen Anfang. Ich habe das in der Diskussion angekündigt und eine Reihe von Gründen dafür genannt. Ich weise nochmal darauf hin, dass in der bisherigen und jetzt wieder aktuellen Version überhaupt keine Auflösung des Paradoxons in seiner ursprünglichen Form enthalten ist. Ich kann auch nicht erkennen, welche inhaltlichen Konflikte meine Änderungen eigentlich hervorrufen. Meine gesamten Änderungen können problemlos vorne im Artikel stehen, ohne dass die späteren Abschnitte davon betroffen sind.

Deshalb werde ich meine Änderungen jetzt ein zweites Mal einstellen und hoffe, dass sie diesmal nicht wieder einfach gelöscht werden.--Ulrich Kaltenborn 13:40, 29. Mär. 2010 (CEST)

Nachtrag: Die Änderungen sind gespeichert. Dabei ist mir aufgefallen, dass in dem Abschnitt "Die Lösung" (in meiner Version "Strategie mit bekannter Verteilung") jetzt eine zusätzliche Notation für einen Fall auftaucht, in dem für Z eine Einpunkt-Verteilung unterstellt wird. Ich halte sowohl die Notation für nicht sinnvoll (in der Statistik wäre es üblich, das einfach mit $P(Z=n)=1$ zu beschreiben), als auch diesen Zusatz für inhaltlich nicht sinnvoll. Bei der Betrachtung von n als Zufallsvariable ist es ein eher uninteressanter Spezialfall, als Versuch den Fall zu subsummieren, in dem n als gegeben betrachtet wird, ist es ungeeignet. Es ist im Gegenteil wichtig, die beiden Betrachtunsgweisen begrifflich und logisch sauber voneinander zu trennen. Ich habe das im Artikel erst mal beibehalten, diese (erst heute neu hinzugekommene) Notation in meinen eigenen Ausführungen aber ignoriert. --Ulrich Kaltenborn 13:57, 29. Mär. 2010 (CEST)

1. Die Kritik an den Abschnitten "Das Paradoxon" und "Die Denkfalle" teile ich. Da ist eine Umarbeitung sinnvoll.
2. Zu "nachträgliches Berechnen von Wahrscheinlichkeiten" siehe oben (NeoUrfahraner 16:41, 29. Mär. 2010)
3. "Ohne $p_{n}$ zu kennen, kann ich auch nicht entscheiden". Richtig. Es geht aber gar nicht darum, zu entscheiden; daher ist es in diesem Abschnitt auch nicht nötig, $p_{n}$ zu kennen.
4. Zur Notation: es geht vor allem um die unnötige Einführung der Größen $W$, $k$ und $g$. Das lässt sich mit der bestehenden Notation ausdrücken.
5. Zur "Einpunkt-Verteilung": von mir aus kannst Du auch $P(Z={\bar {Z}})=1$ schreiben ($P(Z=n)=1$ nicht, denn $n$ hat bereits eine andere Bedeutung). Und ja, es ist ein eher uninteressanter Spezialfall, weil es eben unnötig ist, deterministisch (Einpunktverteilung) und nichtdegenerierte Verteilung zu trennen. While this distribution does not appear random in the everyday sense of the word, it does satisfy the definition of random variable. W --NeoUrfahraner 19:40, 29. Mär. 2010 (CEST)

• Ich stimme Dir insofern zu, dass Aussagen über eine Strategie nur erfordern, irgendeine Verteilung als gegeben anzunehmen. Was wäre denn mit dem Titel "Strategie bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten" oder irgendwas in der Art? Dann wird nichts darüber behauptet, ob die Wahrscheinlickeiten im Einzelfall tatsächlich bekannt sind oder nicht.
• Was die Zufallsvariable W angeht gebe ich dir auch recht, dass es formal betrachtet nicht notwendig ist, sie zu definieren. Ich könnte die Wahrscheinlichkeiten genauso gut gleich bei der Betrachtung von X einsetzen. Ich habe das an dieser Stelle aus rein didaktischen Gründen gemacht, weil es so leichter ist, die logischen Unterschiede bei der Betrachtung von X und Y zu veranschaulichen. Das möchte ich auch gerne beibehalten. Aber da Du ja im Abschnitt über die Strategien noch einmal alle betrachteten Größen hingeschrieben hast (finde ich übrigens eine gute Idee, nochmal einen kurzen Überblick zu geben, bevor es mit der Hardcore-Mathematik losgeht), könntest Du an dieser Stelle auf W einfach verzichten. Vermutlich wäre bei Deinen Berechnungen der didaktische Gewinn von W ohnehin geringer als die Konfusion, die man mit einer aufgeblähten Notation stiften würde. Man könnte noch darüber nachdenken, ob man das in einem kurzen Satz erwähnt (etwa: "auf die explizite Betrachtung von W wird ab hier im Interesse einer kompakteren Notation verzichtet").
• Über die Notation für die Einpunktverteilung will ich mich auch nicht streiten. Ich sehe ein, dass n keine so gute Idee ist. Für einen festen Wert einen Grossbuchstaben zu verwenden, finde ich aber auch nicht gut. Ich persönlich fände so etwas wie ${\bar {z}}$ am passensten.
• Nochmal zu den Wahrscheinlichkeiten für W: Bevor ich einen Umschlag wähle, sind meine Chancen den mit dem kleineren Betrag zu wählen 50:50. Nachdem ich den Umschlag ausgewählt aber noch nicht geöffnet habe, ist entweder der größere oder der kleinere Betrag darin. Subjektiv (bezüglich meines persönlichen Unwissens) sind die Chancen für den kleineren Betrag aber immer noch 50:50. Öffne ich den Umschlag und finde 100 Euro darin, ändert sich nichts daran, es sei denn der kleinere Betrag wird über einen Zufallsvorgang bestimmt, weil dann die bedingten Wahrscheinlichkeiten ins Spiel kommen. Insofern ist das natürlich auch nicht zwingender als mein Glaube an die Korrektheit des Modells für W. Und wie bei allen ex-Post-Betrachtungen mit Wahrscheinlickeiten besteht in der Praxis immer das Risiko, dass irgendwer anders mehr weiß als ich. Für meine theoretischen Überlegungen spielt das aber keine Rolle. Ich werde versuchen, das im Text etwas klarer rauszuarbeiten.
• In dem Artikel auf Seite 347 (der Seitenummerierung innerhalb des Pdf-Dokuments) unten ist die Version ohne Wahrscheinlichkeiten für n aufgeführt, unter dem Titel "To switch or not to switch". Auf Seite 348 oben kommt dann unter dem Titel "guessing which is larger" die Beschreibung des Zwei-Zettel-Spiels, von dem ja die Ausgangssituation des Umtauschparadoxons mit Wahrscheinlichkeiten ein Spezialfall ist.--Ulrich Kaltenborn 18:03, 30. Mär. 2010 (CEST)

OK, wir kommen einander näher. Mit dem vorgeschlagenen Titel bin ich fast einverstanden. Mein Vorschlag wäre aber "Analyse bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten", da eine Strategie nicht das Ziel ist, sondern nur als Nebenergebnis abfällt.

Die Notationen wie W und ${\bar {z}}$ können wir festlegen, wenn wir grundssätzliche Einigung über den Rest erzielt haben.

Der nächste Absatz kommt jetzt zum Kern der Sache: "Subjektiv (bezüglich meines persönlichen Unwissens) sind die Chancen für den kleineren Betrag aber immer noch 50:50 ... wie bei allen ex-Post-Betrachtungen mit Wahrscheinlickeiten besteht in der Praxis immer das Risiko, dass irgendwer anders mehr weiß als ich" Genau da wird meiner Meinung nach Deine Argumentation wackelig, weil Du später die 50:50 brauchst. Der Ansatz, "dass irgendwer anders mehr weiß als ich" kann aber weiterhelfen. Wenn wir bei der vorgegebenen Rahmenhandlung bleiben, könnte dieser "anderer" die Sekretärin von Herrn Lemke sein, die den Beträge kennt und nun die Geschichte als Kiebitz (Spielbeobachter) vom Nebentisch beobachtet. Ihre Sicht der Dinge widerlegt klar, dass die 50:50 zwingend und objektiv sind. Bei Bedarf mache ich einen Textvorschlag.

Zum Artikel: S 348 Mitte wird das Paradoxon mit "not consistent with any prior probability distribution" gelöst. Wir könnten aber tatsächlich auf die Verteilung verzichten, wenn wir die Sekretärin als Kiebitz einbauen. --NeoUrfahraner 19:13, 30. Mär. 2010 (CEST)

Was macht ihr denn hier aus dem zuvor verständlichen Artikel? Der Denkfallenabschnitt :

Beim Umschlagparadoxon tut sich eine solche Denkfalle auf. Das Indifferenzprinzip scheint anwendbar zu sein, denn mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit wird der Umschlag mit dem größeren Betrag und mit ebenfalls 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit der mit dem kleineren Betrag gewählt. Wenn wir den größeren Betrag 2Z und den kleineren Betrag Z nennen, gewinnt Herr Schmidt Z Euro oder verliert Z Euro durch den Tausch. Um eine sinnvolle Tauschstrategie zu ermitteln, ist jedoch die bedingte Wahrscheinlichkeit erforderlich. Es geht hier erstens um die Wahrscheinlichkeit des Falles, dass 50 Euro in einem und 100 Euro im anderen Umschlag stecken und zweitens um die Wahrscheinlichkeit des Falles, dass es sich um 100 Euro und 200 Euro handelt. Nur wenn die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Fälle gleich sind, hat Herr Schmidt mit seinen Überlegungen recht. Und über die Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle ist tatsächlich nichts bekannt. Da die Anzahl von denkbaren Fällen unendlich groß ist, können diese Wahrscheinlichkeiten gar nicht alle gleich sein. Das Indifferenzprinzip ist also ausgehend von einem aufgedeckten Betrag x auf die Ereignisse „doppelter Betrag“ (2x) und „halber Betrag“ (x/2) aus grundsätzlichen Erwägungen heraus nicht anwendbar.

sollte auf jeden Fall wieder aufgenommen werden, sonst kommt ein Leser noch auf die Idee, dass das Indifferenzprinzip nicht nur auf den einfachen und doppelten Betrag sondern auch für den halben und doppelten Betrag ausgehend vom aufgedeckten Umschlag angewendet werden dürfte. --Rebiersch 23:16, 30. Mär. 2010 (CEST)

Ja, ich fürchte auch, dass wir auf eine Verschlimmbesserung zusteuern. Der alte Text war im Wesentlichen in Ordnung --NeoUrfahraner 07:11, 31. Mär. 2010 (CEST)

Ich habe im Abschnitt "Was war an der bisherigen Einführung nicht in Ordnung" in der Diskussion bereits Schritt für Schritt und ausführlich dargelegt, warum der Denkfallenabschnitt keineswegs verständlich und/oder lehrreich war. Gestern hat NeoUrfahraner dem ebenfalls noch zukestimmt.

Was die jetzige Version angeht: Ich habe im Artikel die Überschrift über die Anwendung des Indifferenzprinzips ind "Eine unzulässige Anwendung des Indifferenzprinzips" umbenannt und einen abschließenden Satz eingefügt, der hoffentlich allen denkbaren Missverständnissen vorbeugt. Den von Rebiersch eingefügten Halbsatz im Artikel werde ich aus folgenden Gründen wieder löschen:

• Das Indifferenzprinzip ist an der Stelle wo es im Text auftaucht noch gar nicht definiert, damit ist der Halbsatz nicht verständlich
• Es ist nicht zu erkennen, was mit "Betrag" gemeint ist
• Der Halbsatz ist auch sachlich unsinnig. Das Indifferenzprinzip spielt hier überhaupt keine Rolle. Wenn überhaupt, dann könnte man es auf die Wahrscheinlichkeiten von W anwenden. Diese sind aber bereits oben als Voraussetzungen explizit vorausgesetzt. Ich habe also vielleicht das Indifferenzprinzip angewendet, als ich W modelliert habe. An der Stelle wo der Halbsatz steht, wende ich ausschliesslich W in inklusive vorher definierten Verteilung an. Eine andere Anwendung des Indifferenzprinzips gibt an dieser Stelle nicht.

Eine letzte Anmerkung zu den gleichen Wahrscheinlichkeiten von W und der Ex-Post-Betrachtung: Dass nachträglich betrachtete Wahrscheinlichkeiten immer das Problem eines individuell unterschiedlichen Informationsstandes bergen, ist ein grundsätzliches Problem der Statistik. Ebenso die Tatsache, dass Wahrscheinlichkeiten immer nur ein Modell sind, also niemals objektiv oder zwingend. Das alles hat mit dem Artikel hier nicht das geringste zu tun, es sollte deshalb auch nicht länger Bestandteil der Diskussion sein.

Mit der Überschrift "Analyse..." anstelle von "Strategie..." bin ich einverstanden, das trifft es in der Tat besser.--Ulrich Kaltenborn 18:00, 31. Mär. 2010 (CEST)

Ich habe den Halbsatz von Rebiersch wie angekündigt entfernt. Ausserdem habe ich den Text der Anmerkung am Ende des Abschnitts "Eine unzulässige Anwendung des Indifferenzprinzips" geändert, für den Fall dass die ursprüngliche Formulierung den falschen Eindruck erweckt haben sollte, das Indifferenzprinzip hätte irgendeine inhaltliche Bedeutung für die ursprüngliche Formulierung des Paradoxons (mit festem n).--Ulrich Kaltenborn 20:29, 31. Mär. 2010 (CEST)

Meine Haltung zu den Abschnitten "Das Paradoxon" und "Die Denkfalle" ist tatsächlich nicht eindeutig. Viel gravierender sind aber die Probleme in Deiner vorgeblichen "Auflösung":

1. "Aufgrund des Modells für den Auswahlprozess W wird ihnen wiederum jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 0.5 zugeordnet". Genau das ist die unzulässige Anwendung des Indifferenzprinzips. Jeder andere Wert ist genauso erlaubt.
2. "Diese Berechnung ist aber fehlerhaft, weil wir x hier wie eine Konstante verwenden". x ist aber gleich 100, also eine Konstante. Das wurde in der Einleitung klar festgelegt. --NeoUrfahraner 22:08, 31. Mär. 2010 (CEST)

Vor allem wird aber nicht deutlich, weshalb die Rechnung mit einer Variablen x fehlerhaft, die Rechnung mit der Variablen n aber richtig sei. Der Grund wird einem Erstleser vom Typ OMA nicht erläutert. Die aktuelle Entwurfversion folgt umständlich der Argumentation: Die Rechnung mit n und 2n (vor dem Öffnen) ist plausibel und wird auch nach dem Öffnen stimmen. Die Rechnung mit 0,5x und 2x führt zu einem unerwünschtem Ergebnis (1,25x), also ersetzen wir x durch n und erhalten (welch ein Wunder) wieder 1,5n. Momentan sehe ich nicht, dass der Artikel verständlicher geworden sei. --Rebiersch 01:22, 1. Apr. 2010 (CEST)

Der Text ist natürlich nur dann verständlich, wenn man ihn sorgfältig liest. Über n steht im Text "Dieser Wert sei im folgenden als Grundbetrag bezeichnet. Er wird als unbekannt, aber vorgegeben betrachtet". Ausserdem wird eine Zufallsvariable W definiert, die auf X und auf Y wirkt. Damit ist völlig eindeutig, dass in unserem Statistischen Modell n fest, X aber zufällig ist. Wenn ich einen Erwartungswert berechne, dann betrachte ich alle Fälle, die aufgrund des Zufalls möglich sind. Selbstverständlich ist dabei völlig unerheblich, welches Zahlenbeispiel ich in irgendwann mal in einem anderen Teil der Betrachtung für x eingesetzt habe. Ich gestehe gerne zu, dass die Kenntnis des Konzepts von Erwartungswerten auch Vorraussetzung für das Verständnis des Artikels ist. Ich werde den Begriff "Erwartungswert" also verlinken. --Ulrich Kaltenborn 09:13, 1. Apr. 2010 (CEST)

Nein, sorgfältig lesen hilft nicht. x ist keine Zufallsvariable, sondern die Realisierung der Zufallsavariable X, also eine fixe Konstante. Ich hoffe, der Unterschied zwischen einer Zufallsvariablen und deren Realisierung ist Dir klar. Wenn man so Deinen Text liest, gewinnt man aber den Eindruck, dass Deine vorgebliche Lösung darin besteht, diese klar getrennt definierten Begriffe zu vermischen: "Diese Berechnung ist aber fehlerhaft, weil wir x hier wie eine Konstante verwenden". Doch, man darf x wie eine Konstante verwenden, es ist ja die Realisierung der Zufallsvariablen. Ansonsten: Du bist immer noch die Erklärung schuldig, wieso für x=100 die Fälle n=50 und n=200 gleich wahrscheinlich sein sollten. --NeoUrfahraner 13:11, 1. Apr. 2010 (CEST)

Vielleicht ein Gedankenexperiment zur Verdeutlichung. Die Sekretärin sitzt am Nebentisch und beobachtet als Kiebitz die beiden Herren. Sie weiß, dass n=50 ist, dass also in den Kuverts die Beträge 50 und 100 sind. Die Zufallsvariable X nimmt also die Werte 50 und 100 mit je 1/2 an. Nun öffnet Hr. Schmidt das Kuvert, und die Sekretärin sieht, dass dieses Kuvert 100 Euro enthält, also x=100 für die Realisierung der Zufallsvariable X. Für die Sektretärin ist also klar, dass im anderen Kuvert der Betrag mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich 50 und mit Wahrscheinlichkeit 0 gleich 200 ist, also EY=1*50+0*200=50. Ist diese Rechnung fehlerhaft? Sie verwendet doch x als Konstante. --NeoUrfahraner 15:38, 1. Apr. 2010 (CEST)

Selbstverständlich, sie verwendet nämlich x als Konstante. EY=1*50+0*100=50 ist korrekt.--Ulrich Kaltenborn 19:03, 1. Apr. 2010 (CEST)

Und wieso soll dann Hr. Schmidt x nicht als Konstante verwenden dürfen? --NeoUrfahraner 20:58, 1. Apr. 2010 (CEST)

Zitat aus dem Artikel: "Tatsächlich nimmt aber x bei unseren Berechnungen [nämlich der Berechnung des Erwartungswerts] mal den Wert 2n und mal den Wert n an, wie wir an der Definition der Zufallsvariablen erkennen können". Ich schlage vor, Du liest den Artikel und guckst, wie die Zufallsvariable Y definiert ist.--Ulrich Kaltenborn 22:26, 1. Apr. 2010 (CEST)

Lassen wir die Sekretärin die Sache anschauen:

$Y=\left\{{\begin{matrix}2x&{\text{ falls }}x=n\\{\tfrac {x}{2}}&{\text{ falls }}x=2n\end{matrix}}\right.$

Wegen x=100 und n=50 ist also Y=x/2=n=50 mit Wahrscheinlichkeit 1. Der "vermeintliche" Erwartungswert ist also

$E\left(Y\right)=0*2x+1*{\tfrac {x}{2}}={\tfrac {x}{2}}=50$

Das ist auch korrekt, da waren wir uns einig. Deine von Dir im Artikel als korrekt bezeichnete Lösung liefert aber

$E\left(Y\right)=0.5*2n+0.5*n=1.5n=75$

Die vorgeblich korrekte Lösung ist also aus Sicht der Sekretärin falsch. --NeoUrfahraner 07:26, 2. Apr. 2010 (CEST)

An Ulrich Kaltenborn: Kommt zur derzeitigen Version http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Umtauschparadoxon&oldid=72667358 noch ein Kommentar? Inzwischen steht ja schon $E(Y|X=x_{0})$ dort. Von diesem Blickwinkel ausgehend sollte eine gemeinsam Sicht der Dinge möglich sein. --NeoUrfahraner 16:27, 2. Apr. 2010 (CEST)

Erst mal kurz zu oben: Wir sind uns nicht einig hinsichtlich dem "vermeintlichen" Erwartungswert von X. Es kommt darauf an, ob Du beim ersten Term für x 50 eingesetzt wird (richtig) oder 100 (falsch). Natürlich wissen wir, dass x (der beobachtete Wert) 100 ist, aber x (die Variable in der Definition des Erwartungswerts) ist mal 50 und mal 100. Deshalb muss dort x=50 stehen, die Wahrscheinlichkeit ist ja sowieso 0, aber nur so ist auch die Rechnung korrekt. (Wegen der x-x-Verwirrung habe ich auch mit der Notation x_0 angefangen, um den Unterschied klarzumachen. Im Moment ist die Notation im Artikel trotzdem noch nicht konsistent. Da muss ich nochmal ran.) Wenn Du beim ersten Erwartungswert das Vorwissen einsetzt, musst Du es natürlich beim zweiten Erwartungswert auch machen. Damit reduziert sich der ebenso zu

$E\left(Y\right)=0*2n+1*n=n=50$

Ist also alles richtig.

Die Änderungen im Artikel habe ich vorgenommen, weil mir aufgefallen ist, dass die Rechnung oben im Prinzip auch ein bedingter Erwartungswert ist, wenn auch einer der zu einer Konstanten degeneriert. Für gegebenes $x_{0}$ und unbekanntes n ergibt sich die Situation, dass der bedingte Erwartungswert genauso degeneriert, nur eben zu einer unbekannten Konstanten, nämlich n=x/2 oder zu 2n=2x. Beide Fälle könnten der Realität entsprechen, wir wissen aber nicht welcher und dürfen nun nicht den Fehler machen, hier auf dem Umweg über eine Plausibilitätsüberlegung Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen. Vielleicht ist das der Gedankengang, der Dir und evtl. Rebiersch gefehlt hat.--Ulrich Kaltenborn 22:05, 2. Apr. 2010 (CEST)

Der einzige, der bzgl. x verwirrt ist, bist Du. x hatte immer schon die Bedeutung, von dem, was Du jetzt als x_0 bezeichnest. --NeoUrfahraner 07:16, 3. Apr. 2010 (CEST)

Ich sehe es nicht ganz so. Vor dem "Losrechnen" sollte eigentlich die Plausibilitätsüberlegung stehen. In der aktuellen Version wird der Leser nur verwirrt. Die Betrachtungen ob x bzw n nun als Konstanten oder Variablen zu betrachten seien sind da wenig hilfreich. Halten wir uns an die Beschreibung unter "Umtauschsitation". Tatsächlich ist es so, dass erst beide Umschläge mit dem "einfachen" und "doppelten Betrag gefüllt werden. Folgt man dem Text, so kann mit gutem Recht das Indifferenzprinzip auf die Ereignisse "kleinerer Betrag" und "größerer Betrag" angewendet werden. Die Wahrscheinlichkeiten sind für beide Fälle 0,5. Hier sind wir uns wohl einig und so stand es auch in der ursprünglichen Version. Der Erwartungswert vor dem Öffnen kann mit 1,5 k angegeben werden. Schmidts Überlegung, dass die Ereignisse "halber Betrag" und "doppelter Betrag" ausgehend von 100 Euro gleich wahrscheinlich seien, erscheint vordergründig nachvollziehbar. Zu einem Widerspruch (hier als Paradoxon bezeichnet) der aufgedeckt werden muss, führt aber erst die Überlegung, dass die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse "halber Betrag" und "doppelter Betrag" für alle aufgedeckten Beträge 0,5 seien. Selbstverständlich führen auch andere Vermutungen für p(x/2) und p(2x) zum Widerspruch (bei p(x/2)= 2/3 bin ich mir allerdings nicht sicher), müssen aber nicht zwingend mitbetrachtet werden. Die "Gegenrechnung" also 50% Wahrscheinlichkeit für p(x/2) und p(2x) passt nur zu einer völlig anderen Vorgehensweise (ein Briefumschlag wird aufgedeckt und danach wird für den 2. Umschlag entweder halbiert oder verdoppelt) oder es müsste ein gewisses Vorwissen auf Seiten von Herrn Schmidt unterstellt werden, dass wiederum nicht für alle beliebigen aufgedeckten Beträge gelten kann. Lange Rede kurzer Sinn: diese Überlegungen müssen weit oben im Artikel auftauchen wie in den Versionen bis zum März diesen Jahres. Momentan kann ich keine Verbesserung des Artikels erkennen und schlage vor ihn auf eine der Ausgangsversionen zurückzusetzen. --Rebiersch 00:41, 3. Apr. 2010 (CEST)

Zurück auf Version 28. März 2010 um 20:42

Ich habe auf die Version 28. März 2010 um 20:42 zurückgestellt. Einverstanden?--NeoUrfahraner 07:21, 3. Apr. 2010 (CEST)

NeoUrfahrander, ich erwarte von Dir, dass Du mir zumindest die Chance gibst, das Ergebniss von zwei Wochen ausschweifender Diskussion in den Artikel einzuarbeiten, bevor Du alles einfach wegwirfst und durch eine Version ersetzt, die nichts zur Lösung des Paradoxons beiträgt und zudem unsinnig ist, weil sie mit undefinierten Begriffen operiert.--Ulrich Kaltenborn 13:08, 3. Apr. 2010 (CEST)

Ja, zwei Wochen Diskussion, in denen Du die wesentliche Frage nicht beantwortet hast (Zitat Deiner Version: "Aufgrund des Modells für den Auswahlprozess W wird ihnen wiederum jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 0.5 zugeordnet." Meine mehfrach gestellte Frage: "Wieso sollten für x=100 die Fälle n=50 und n=200 gleich wahrscheinlich sein?"). Dein bisheriger Vorschlag ist eine wesentlich schlechtere Version des Artikels. Auf die Mängel im Detail will ich nicht eingehen bevor obige Grundfrage geklärt ist. --NeoUrfahraner 15:42, 3. Apr. 2010 (CEST)

Rebiersch,

• im Abschnitt "Zweiter Schritt" steht eine Plausibilitätsüberlegung, die klar macht, dass die Rechnung falsch sein muss. Die Frage ist also nicht ob, sondern in welchem Punkt ist die Rechnung falsch. Das läßt sich konsequenterweise ohne Formeln nicht beantworten. Deine Kritik am "Losrechnen" ist also unsinnig.
• Das Indifferenzprinzip spielt keine Rolle, insbesondere verursacht es keinen Denkfehler beim Paradoxon. Der Einwand ist deshalb ärgerlich, weil das Thema in der Diskussion schon mehrere Male durchgekaut wurde.
• Die Betrachtungen ob x bzw n nun als Konstanten oder Variablen zu betrachten seien sind für die Auflösung und korrekte Einordnung im Gegenteil absolut essentiell.
• Insbesondere kann ich nur so korrekt folgern, dass das Paradoxon (anders als Du behauptest) dadurch aufelöst wird, dass es überhaupt keine Wahrscheinlichkeiten gibt, die ich nachträglich dem halben und doppelten Betrag zuweisen kann. Der Fall mit festem n (beim Paradoxon behandelt) ist logisch ein völlig anderer als der mit zufälligem n (beim Abschniit über das Indifferenzprip behandelt, Nachfolger des Denkfallenabschnitts).
• Warum der alte Denkfallen-Abschnitt unbrauchbar ist, habe ich bereits ausführlich begründet. Bitte mal die Diskussion lesen.--Ulrich Kaltenborn 13:08, 3. Apr. 2010 (CEST)

ad Ulrich Kaltenborn: Unter dem Abschnitt "Zweiter Schritt" steht: "Unter Annahme des Indifferenzprinzips auch für den halben und doppelten Betrag ist der Erwartungswert für den Inhalt des anderen, nicht geöffneten Umschlages..." Und das ist genau der Punkt. Nur unter Annahme des Indifferenzprinzips (oder nenne es Annahme einer 50%-Wahrscheinlichkeit, wenn es dir lieber ist) kommt die fehlerhafte Rechnung zustande.

ad NeoUrfahraner: Ja, meine volle Zustimmung zum Zurücksetzen auf die Version 28. März 2010 um 20:42. --Rebiersch 13:37, 3. Apr. 2010 (CEST)

Den Satz hast Du selber da reingeschrieben, schon vergessen? In der Diskussion kannst Du nachlesen, warum der Satz an dieser Stelle nicht sinnvoll ist. Wie angekündigt, habe ich den Satz entfernt, hatte ich vorher nur vergessen.--Ulrich Kaltenborn 17:26, 3. Apr. 2010 (CEST)

quetsch: ja sicher hatte ich die Ergänzung eingefügt. Wie nötig das war, sieht man nach deiner erneuten Änderung. Jetzt steht dort: Wie eben erwähnt, sind die Wahrscheinlichkeiten für das Auffinden des größeren Betrages und für das Auffinden des kleineren Betrages jeweils 0.5 . Das bedeutet aber nun einmal nicht, dass der Erwartungswert für den Inhalt des anderen, nicht geöffneten Umschlages demnach 0.5\tfrac{100}{2} +0.5(2*100) = 0.5*50+0.5*200=125 sei. Diese Rechnung wäre nur richtig, wenn ausgehend vom aufgedeckten Betrag die Wahrscheinlichkeit für den doppelten und halben Betrag 0.5 wäre. Das ist aber etwas völlig anderes. Zur Erklärung: wenn 2 Personen etwas auswürfeln (der höhere Wurf gewinnt, bei Gleichstand wird wiederholt) ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für beide zunächst einmal 50%. Solange beide Würfel noch verdeckt sind, kannst du sagen, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für beide 50% sein. A wird mit 50% Wahrscheinlichkeit am Ende des Spiels eine höhere Augenzahl als B gewürfelt haben. Sie bleibt natürlich nicht 50% für die Person B wenn Person A den Wurf aufgedeckt hat. --Rebiersch 00:06, 4. Apr. 2010 (CEST)

In dem Punkt bin ich völlig Deiner Meinung. Wenn man nicht annimmt, dass n zufällig ist und dass die bedingten Ereignisse $n=2x$ und $n={\tfrac {x}{2}}$ beide Wahrscheinlichkeit 0.5 besitzen, dann ist die Berechnung in der Tat nicht korrekt. Das behaupte ich auch nicht. Falls das im Text nicht klar genug zur Geltung gekommen ist: Ich habe das im Artikel noch etwas deutlicher herausgearbeitet (Version 19:16, 3. Apr. 2010, inzwischen von NeoUrfahraner wieder gelöscht). Ich behaupte auch nicht, dass man keine Ex-Post-Betrachtungen von Wahrscheinlichkeiten anstellen kann. Ich behaupte nur, dass in der Formulierung des Paradoxons nichts davon steht, dass Herr Schmidt n als zufällig betrachtet, und ein Wahrscheinlichkeitsmodell dafür zur Hand hat. Siehe dazu auch meine Einträge ganz am Ende.--Ulrich Kaltenborn 13:12, 5. Apr. 2010 (CEST)

An Ulrich Kaltenborn: Wenn Du mit Formeln losrechnen willst, können wir am gemeinsamen Punkt $E(Y|X=x_{0})$ beginnen. In jeder guten Formelsammlung ;-) (tatsächlich habe ich sie bisher nur in Ash gefunden, aber intuitiv ist sie leicht nachvollziehbar) gibt es dazu den Ausdruck

$E(Y|X=x_{0})={\frac {x_{0}}{2}}P\left(\left.Y={\frac {x_{0}}{2}}\right|X=x_{0}\right)+2x_{0}P\left(Y=2x_{0}|X=x_{0}\right)$ (die anderen Summanden verschwinden offensichtlich).

Sowohl Hr. Schmidt als auch die Sekretärin verwenden diese Formel. Sie rechnen also bis hierher völlig korrekt. Die Sekretärin setzt

$P\left(\left.Y={\frac {x_{0}}{2}}\right|X=x_{0}\right)=1$ und $P\left(Y=2x_{0}|X=x_{0}\right)=0$

für ihre subjektive Einschätzung der Lage (n=50, x0=100); Hr. Schmidt hingegen

$P\left(\left.Y={\frac {x_{0}}{2}}\right|X=x_{0}\right)={\frac {1}{2}}$ und $P\left(Y=2x_{0}|X=x_{0}\right)={\frac {1}{2}}$

für seine subjektive Einschätzung der Lage (n unbekannt, x0=100). Das Problem sind also nicht irgendwelche x, die "mal den Wert 2n und mal den Wert n" annehmen, sondern die Frage, ob und wie Hr. Schmidt die Wahl seiner Wahrscheinlichkeiten rechtfertigen kann. Bei der Sekretärin sind wir uns jedenfalls einig, dass ihre Wahl der Wahrscheinlichkeiten bei ihrem Informationsstand (sie hat es gut, sie hat volle Information) korrekt ist. --NeoUrfahraner 15:59, 3. Apr. 2010 (CEST)

Wenn im vorliegenden Modell $x_{0}$ fest vorgegeben ist und diese Information auch verwendet wird, dann ist alles fest, der Zufall wirkt gar nicht mehr. Frau Schmidt weiss einfach, dass im Umschlag 50 Euro liegen, Herr Schmidt weiss das nicht. Er hat aber auch (zunächst) keinen Zufallsprozeß, für den er irgendwelche Wahrscheinlichkeiten modellieren könnte. Siehe dazu die aktuelle Version des Artikels.--Ulrich Kaltenborn 17:26, 3. Apr. 2010 (CEST)

Ich habe eine neue Version eingestellt. Die Frage, wann und warum W für die Verwendung gleicher Wahrscheinlichkeiten verwendet wird, sollte damit geklärt sein (nämlich dann, wenn ich für Y eine unbedingte Verteilung unterstelle). Ich erwarte eine zügige Freischaltung der Änderungen, sofern mir keine groben sachlichen Fehler nachgewiesen werden.

Bevor sich die Diskussion zu sehr im Kreise dreht, nochmal der Hinweis: Die Formulierung des Paradoxons macht keine Annahmen über eine Zufälligkeit von n. Deshalb ist es schon aus sachlogischen Gründen notwendig, zuerst den Fall mit festem n abzuhandeln. Das taucht in der ursprünglichen Version überhaupt nicht auf. --Ulrich Kaltenborn 17:26, 3. Apr. 2010 (CEST)

Der einzig sachlich notwendige Teil Deiner Version ist der Abschnitt beginnend mit "Statt Y muss dann die bedingte Zufallsvariable $Y|X=x_{0}$ betrachtet werden" bis "Ohne zusätzliche Modellannahmen zu treffen, haben wir keine Möglichkeit zu entscheiden, welches der beiden möglichen Szenarien plausibler oder wahrscheinlicher ist." Man kann sich dann wie Du auf den Standpunkt stellen "Deshalb gibt es auch keine Ereignisse mehr, denen wir Wahrscheinlichkeiten zuordnen könnten."

Wie Du selber aber zugibst, ist "Die Lösung des Umtauschparadoxons, wie sie hierher formuliert wurde, ... unbefriedigend oder nicht intuitiv..., denn es ist nicht unmittelbar einleuchtend was uns daran hindern sollte, den möglichen tatsächlichen Werten für n bestimmte Plausibilitäten zuzuordnen und diese mit Wahrscheinlichkeiten zu bewerten".

Tatsächlich gehindert werden daran ja nur Leute, die, wie Du, einem naiven Relaismus anhängen. Für solche Leute mag gelten, dass es "Deshalb ... auch nicht zulässig [ist], den möglichen Werten von n Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen." Solche Leute geben sich vielleicht mit der naiven Lösung zufrieden, dass man eben gar nichts sagen kann. Für Leute aber, die der Meinung sind, dass Wahrscheinlichkeiten nur Modelle für Unwissenheit sind und denen es völlig egal ist, ob jetzt Zufallsvorgänge abgeschlossen sind oder noch nicht oder ob überhaupt eine "echter" (was immer das sein soll) Zufallsvorgang vorliegt (Wahrscheinlichkeit#Subjektivistische_Wahrscheinlichkeitsauffassung), ist es sehr wohl zulässig "n bestimmte Plausibilitäten zuzuordnen", diesen Leuten ist mit Deiner Erklärung gar nichts erklärt. Für diese Leute besteht die Lösung darin, dass es keinen objektiv zwingenden Grund gibt, 2x_0 und x_0/2 mit jeweils 50% zu bewerten. Genau diese Aussage fehlt aber in Deiner Ausarbeitung.

Du kannst ja versuchen, Deinen Vorschlag in einer Form zu schreiben, die nicht nur den naiven Realismus als mögliche Weltanschauung kennt, vielleicht wird es dann noch was. --NeoUrfahraner 19:01, 3. Apr. 2010 (CEST)

Du hast meinen Satz aus dem Artikel absichtlich sinnverdrehend zitiert, indem Du die Worte "mag" und "erscheinen" weggelassen hast. Das ist mieser Stil und außerdem unterste Schublade. Hälst Du mich und andere Leser dieser Diskussionsseite wirklich für so bescheuert, dass sie nicht im Artikel nachgucken können? (für weitere Leser: Die zum Zeitpunkt des Kommentars von NeoUrfahraner aktuelle Version war die von 15:58, 3. Apr. 2010)--Ulrich Kaltenborn 20:05, 3. Apr. 2010 (CEST)

Du gehst am Kern der Sache vorbei. Der Kern ist, dass Dein Artikel voll naivem Realismus ist. Bist Du naiver Realist? Wenn ja, warum; wenn nein, warum nicht? Wenn Du es näher am Leben haben willst: Spielst Du Karten? Wir nehmen ein Spiel mit 52 Blatt (z.B. Bridgekarten). Ich mische es und lege es verdeckt vor Dich hin. Der Zufallsvorgang (mischen) ist abgeschlossen. Ist der Stapel jetzt deterministisch oder zufällig? --NeoUrfahraner 06:59, 4. Apr. 2010 (CEST)

Leute, die vorhaben, "n bestimmte Plausibilitäten zuzuordnen" lesen einfach den Abschnitt über die Anwendung des Indifferenzprinzips. Im vorausgehenden Abschnitten ist n nur deshalb fest, weil es beim Umtauschparadoxon weder eine Aussage darüber gibt, ob n überhaupt als zufällig betrachtet wird, noch wird irgendetwas darüber gesagt, dass Herr Schmidt eine (selbstverständlich zulässige) Ex-Post-Betrachtung von Wahrscheinlichkeiten für n machen möchte oder darüber zu welchem Schluss er dabei kommt. Deine Behauptung, ich wollte jemanden "zwingen", n als fest vorgegeben betrachten sind also unsinnig. Um das zu erkennen, hättest Du meinen Teil des Artikels nur zu Ende lesen müssen. Ich warte weiterhin auf einen sachlich stichhaltigen Einwand.--Ulrich Kaltenborn 13:12, 5. Apr. 2010 (CEST)

Bist Du nicht in der Lage, meine konkreten Fragen von 06:59, 4. Apr. 2010 zu beantworten? --NeoUrfahraner 16:12, 5. Apr. 2010 (CEST)

Selbstverständlich bin ich dazu in der Lage. --Ulrich Kaltenborn 19:09, 5. Apr. 2010 (CEST)

Dann tu's. --NeoUrfahraner 22:06, 5. Apr. 2010 (CEST)

Ich habe wieder auf die Version 28. März 2010 um 20:42 zurückgestellt. Bis jetzt gibt es weiterhin gravierende Bedenken (Rebiersch 00:06, 4. Apr. 2010, meine Bedenken 19:01, 3. Apr. 2010) gegen die neue Version. --NeoUrfahraner 06:49, 5. Apr. 2010 (CEST)

Fortsetzung der Diskussion mit Rebiersch

So wie ich es verstehe, sind wir uns über die inhaltichen Fakten mehr oder weniger einig (siehe auch meinen Eintrag weiter oben; widersprich mir, wenn ich das falsch einschätze). Das Problem beim Umtauschparadoxon scheint aber folgendes zu sein. Es wird darin eine Berechnung durchgeführt, ohne dass klar definiert wird, worauf wir uns bei der Berechnung beziehen. Das ist eigentlich eine recht typische Situation bei solchen Paradoxa. In diesem Fall kann man auf verschiedene Weise interpretieren, für welche Zufallsvariable hier genau ein Erwartungswert berechnet wird.

• Erste Interpretation: Das Vorwissen x wird einfach in den Erwartungswert der unbedingten Verteilung von Y: Inhalt des Zweiten Umschlags eingesetzt. Der Denkfehler besteht darin, dass ich bei Verwendung des Vorwissens die bedingte Verteilung nehmen müsste. Zudem ist leicht zu zeigen, dass das Einsetzen zu einer fehlerhaften Notation führt. Grund für den Denkfehler: Mangelnde Kenntnis des Konzepts bedingter Ereignisse.
• Zweite Interpretation: Es wird der Erwartungswert der bedingten Verteilung eingesetzt. Denkfehler: Es werden nur die Werte, nicht aber die Wahrscheinlichkeiten angepasst, und es wird als Folge davon nicht berücksichtigt, dass mit Kenntnis von x (und festem n) nichts mehr zufällig ist.
• Dritte Interpretation: Es wird unterstellt, das Herr Schmidt n als zufällig betrachtet (Ergebnis einer Zufallsvariablen Z) und den bedingten Ereignissen $n=2x$ und $n={\tfrac {x}{2}}$ jeweils die Wahrscheinlichkeit 0.5 zuweist, obwohl das in der Formulierung des Paradoxons nicht erwähnt wird und darin keine Aussage gemacht wird, ob n überhaupt als zufällig angesehen werden soll. Denkfehler: Falsche Anwendung des Indifferenzprinzips

Obwohl sich die dritte Interpretation formal nicht aus dem Paradoxon ableiten lässt, ist sie trotzdem wichtig, denn viele Leute, die sich das Paradoxon ansehen, dürften intuitiv eine ähnliche Denkweise im Hinterkopf haben. Deshalb müssen natürlich alle drei Lesarten im Artikel auftauchen. Ich halte es aber für wichtig, dass die formal korrekte Argumentation am Anfang steht und die Betrachtung erst danach erweitert wird.--Ulrich Kaltenborn 13:12, 5. Apr. 2010 (CEST)

Antwort NeoUrfahraner

Das ist eine sehr gute Zusammenfassung.

1. Zur ersten Interpretation: Zustimmung
2. Zur zweiten Interpretation: Zustimmung bis "angepasst". Den Teil "und es wird als Folge davon nicht berücksichtigt, dass mit Kenntnis von x (und festem n) nichts mehr zufällig ist." kannst Du streichen. Begründung: Die Anwendung von Wahrscheinlichkeitsrechung ist nicht auf "zufällige" Ereignisse beschränkt. Korrekte Anwendung der bedingten Verteilung führt auch auf kein Paradoxon.
3. Zur dritten Interpretation: Meine Formulierung wäre: Es wird unterstellt, das Herr Schmidt n mit einer subjektiven Wahrscheinlichkeitsverteilung belegt (Ergebnis einer Zufallsvariablen Z) und den bedingten Ereignissen $n=2x$ und $n={\tfrac {x}{2}}$ jeweils die Wahrscheinlichkeit 0.5 zuweist. Denkfehler: Falsche Anwendung des Indifferenzprinzips. Lösung: es gibt zwar subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen für manche x die bedingten Ereignissen $n=2x$ und $n={\tfrac {x}{2}}$ jeweils die Wahrscheinlichkeit 0.5 haben, aber keine subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der für jedes x die bedingte Wahrscheinlichkeit 0.5 ist. Diese dritte Interpretation wird in der Literatur z.B. von Dov Samet, Iddo Samet, and David Schmeidler sowie von David J. Chalmers vertreten. Gleiche Anmerkung wie oben: Die Anwendung von Wahrscheinlichkeitsrechung ist nicht auf "zufällige" Ereignisse beschränkt. --NeoUrfahraner 16:33, 5. Apr. 2010 (CEST)

Kann es sein, dass wir uns hier nur noch über Sprachregelungen streiten?

• Zu 2.: Was wäre denn mit "...Y zu einer Einpunktverteilung degeneriert" anstelle von "...nichts mehr zufällig ist"? In meiner Betrachtung dieser Interpretation wende ich doch Wahrscheinlichkeitsrechnung an (siehe meinen Artikelentwurf, ich definiere die Zufallsvariable Y und berechne ihren Erwartungswert). Die Ergebnisse sind nur alle fix. Der einzig denkbare Punkt, der hier aus meiner Sicht inhaltlich strittig sein könnte ist also, ob Y für gegebenes x und n einer Einpunktverteilung mit unbekanntem Parameter n folgt.
• Zu 2 und 3.: Es gibt für mich überhaupt nur einen einzigen Grund, Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht anzuwenden, wenn nämlich gegen folgendes Dogma verstoßen wird: "Verwende niemals ein Zufallsvariable, die du vorher nicht definiert hast". Ich kann also n genau dann als Zufallsvariable auffassen, wenn ich das vorher so in meinem Modell als Voraussetzung formuliert habe. In der Formulierung des Paradoxons ist das für n nicht der Fall. Konsequenterweise ist n eine unbekannte Konstante, wenn ich nichts weiter annehme (Fall 1 und 2) oder eine Zufallsvariable, wenn ich explizit angebe, welches Wahrscheinlichkeitsmodell ich anwende, bzw. unterstelle, Herr Schmidt hätte es angewendet (Fall 3). Dabei ist es (mir) auch völlig egal, ob das ex Post oder ex Ante, subjektiv oder nicht, sachlich gerechtfertigt oder aus der Luft gegriffen ist. Es ist ja nur eine Modellbetrachtung.--Ulrich Kaltenborn 19:38, 7. Apr. 2010 (CEST)

Ist die verdeckte oberste Karte am gemischten Stapel eine "unbekannte Konstante" oder eine "Zufallsvariable"? --NeoUrfahraner 19:47, 7. Apr. 2010 (CEST)

Folgt Y für gegebenes x und n einer Einpunktverteilung? Wenn Du anderer Meinung bist, dann liefere einen stichhaltigen Beweis. Wenn du das nicht kannst, dann blockiere nicht länger meine Änderungsvorschläge. --Ulrich Kaltenborn 23:27, 7. Apr. 2010 (CEST)

Anscheinend willst Du wirklich über Sprachregelungen streiten. Ich kann Deine Sprache nur vestehen, wenn Du mir erklärst, was die oberste Karte am gemischten Stapel jetzt für Dich ist. Zu Deiner Frage: für bekanntes n und x liegt eine Einpunktverteilung vor. gegeben bedeutet für mich bekannt. --NeoUrfahraner 06:26, 8. Apr. 2010 (CEST)

So wie ich die Begriffe verwende, bedeutet "gegeben" im Falle von x "bekannt weil beobachtet" und im Falle von n "unbekannt aber fest in dem Sinne, dass n nicht als Zufallvariable betrachtet wird". Der einzige Unterschied zwischen bekanntem und unbekanntem n liegt bei der 2. Interpretation darin, dass ich für unbekanntes n eine Fallunterscheidung bei der Defiinition von Y machen muss, je nachdem welcher der beiden möglichen Werte von n tatsächlich richtig ist. Das kann ich mir sparen, wenn ich n kenne. Hast du gegen diese Aussagen konkrete Einwände? Ich halte sie auch inhaltlich für vollkommen offensichtlich. Wenn ich am Anfang die Aussage reinstecke "n ist unbekannt, ich weiss gar nichts, nicht mal was über irgendwelche Wahrscheinlichkeiten", dann muss bei einer korrekten Auflösung des Paradoxons am Ende auch eine Aussage mit dem Informationsgehalt "Äh, ich weiss nichts" rauskommen.

Falls es der Klärung der Positionen tasächlich dienlich sein sollte, hier auch noch meine Aussagen zum Kartenspiel: Das ist Definitionssache. Ich persönlich würde je nach den Umständen unterschiedliche Modelle verwenden.

1. Wenn es mein eigenes Kartenspiel ist und die Karten gerade erst gut gemischt wurden, dann würde ich z. B. auf die Frage "wie wahrscheinlich ist eine Pik 7" die Antwort "1/52" geben. Die möglichen Ergebnisse sind bekannt, der Zufallsprozess ist in der Vergangenheit kontrolliert abgelaufen. Ich habe keine weiteren Informationen, damit habe ich auch keinen Grund, ex Post etwas am Wahrscheinlichkeitsmodell zu ändern.
2. Die Sache sieht anders aus, wenn ich einem stadtbekannten Betrüger gegenübersitze. Dann muss ich befürchten, dass er beim Mischen der Karten geschummelt hat. Ich kann mir nicht mal sicher sein, dass das Kartenspiel überhaupt eine Pik 7 enthält. Die Antwort wäre "Ich weiss es nicht", weil meine üblichen Annahmen über die Stochastik vermutlich fehlerhaft sind.
3. Noch deutlicheres Beispiel: Wenn ich in einen Raum komme, in dem verdeckt auf einem Tisch ein Stapel bemalter Pappkarten liegen, die zwar irgendwie nach einem Kartenspiel aussehen, eigentlich weiss ich aber überhaupt nichts. Ich weiss nicht, was für ein Kartenspiel das ist (es könnten theoretisch auch Memorybildchen oder Urlaubsfotos auf den Vorderseiten sein), ich weiss nicht wie viele Karten es sind, ich weiss nicht ob die Karten überhaupt jemals gemischt wurden. In diesem Fall käme ich überhaupt nicht auf die Idee, ein Wahrscheinlichkeitsmodell aufzustellen. Die Antwort ist "keine Ahnung".

Im ersten Beispiel wäre die Antwort "zufällig", im zweiten und dritten Beispiel "unbekannt", oder präziser "ein unbekannter Wert n". Analoge Überlegungen gelten für Herrn Schmidt. Das Paradoxon sagt nichts darüber, was in seinem Kopf vorgeht. Wir wissen nicht, ob er n als ex post zufällig oder als komplett unbekannt ansieht. Wir wissen auch nicht, ob er überhaupt den Unterschied zwischen zufälligem n und zufälliger Auswahl der Umschläge kennt. Vielleicht weiss Herr Schmidt aber auch, dass er kein Wahrscheinlichkeitsmodell für n angeben kann, weil eine korrekte Anwendung des Indifferenzprinzips hier nicht anwendbar ist. Wie sollte Herr Schmidt im letzten Fall seine Zufallsvariablen definieren, wenn nicht so wie ich es in der zweiten Interpretation des Paradoxons gemacht habe?--Ulrich Kaltenborn 11:38, 8. Apr. 2010 (CEST)

Bleiben wir bei Interpretation 1: "Die möglichen Ergebnisse sind bekannt, der Zufallsprozess ist in der Vergangenheit kontrolliert abgelaufen". Warum kannst Du in diesem Fall die Variante "unbekannt aber fest" und Fallunterscheidung nicht anwenden? --NeoUrfahraner 12:36, 8. Apr. 2010 (CEST)

Ich kann die Variante schon anwenden. Falls ich aber in den Voraussetzungen explizit angegeben habe, dass ich an den korrekten Inhalt des Kartenspiels und Gleichverteilung der Chancen nach dem Mischen glaube, dann würde ich nicht alle verfügbare Information verwenden. Unterschied zum Umtauschparadoxon: Dort wird ein derartiges subjektives Modell nicht angegeben. Ich kann es nur nachträglich in die Fragestellung hineininterpretieren. --Ulrich Kaltenborn 21:04, 9. Apr. 2010 (CEST)

Wer gibt Dir bei einer Fragestellung vor, welches mathematische Modell Du zu verwenden hast? Vielleicht das en:Law_of_the_instrument? --NeoUrfahraner 09:05, 10. Apr. 2010 (CEST)

Nein, es sind die bei der Betrachtung gemachten Modellannahmen. Das law of the instrument ist es ganz sicher nicht, sonst würde ich wohl kaum für verschiedene Interpretationen des Paradoxons unterschiedliche Modellansätze verwenden.--Ulrich Kaltenborn 13:06, 10. Apr. 2010 (CEST)

Antwort Rebiersch

ad Ulrich Kaltenborn

• zum Punkt "formal korrekte Argumentation sollte am Anfang stehen": Unter Denkfalle steht "Das Indifferenzprinzip scheint anwendbar zu sein, denn mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit wird der Umschlag mit dem größeren Betrag und mit ebenfalls 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit der mit dem kleineren Betrag gewählt. Wenn wir den größeren Betrag 2Z und den kleineren Betrag Z nennen, gewinnt Herr Schmidt Z Euro oder verliert Z Euro durch den Tausch."
• zum Punkt "erste Interpretation": Im Text steht hierzu "Um eine sinnvolle Tauschstrategie zu ermitteln, ist jedoch die bedingte Wahrscheinlichkeit erforderlich."
• zum Punkt "zweite Interpretation": Im Text steht hierzu "Und über die Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle ist tatsächlich nichts bekannt."
• zum Punkt "dritte Interpretation": Im Text steht hierzu "Da die Anzahl von denkbaren Fällen unendlich groß ist, können diese Wahrscheinlichkeiten gar nicht alle gleich sein. Das Indifferenzprinzip ist also ausgehend von einem aufgedeckten Betrag x auf die Ereignisse „doppelter Betrag“ (2x) und „halber Betrag“ (x/2) aus grundsätzlichen Erwägungen heraus nicht anwendbar"

Es wird doch alles abgehandelt. --Rebiersch 23:53, 5. Apr. 2010 (CEST)

Dritte Meinung erforderlich

Ich habe den Artikel in den letzten Wochen in wesentlichen Punkten erweitert und in langen Diskussionen versucht, klarzumachen, warum ich diese Änderungen für sinnvoll und notwendig halte. Meine Änderungen wurden während der noch laufenden Diskussion mehrfach vom Nutzer NeoUrfahraner komplett gelöscht. Da eine Einigung selbst über einfache Fakten nicht möglich zu sein scheint (eine bei einem mathematischen Thema ziemlich erstaunliche Erfahrung), halte ich dritte Meinungen für dringend erforderlich. Ich habe dies deshalb bei Wikipedia:Dritte Meinung angefragt.

Die strittigen Versionen sind 19:16, 3. Apr. 2010 Ulrich Kaltenborn Abschnitte 2-4 und 20:42, 28. Mär. 2010 NeoUrfahraner Abschnitte 2-3 (letztere jetzt wieder aktuell). Ich habe zunächst darauf verzichtet, zum dritten Mal in Folge die Löschung meines Beitrags rückgängig zu machen um erst mal anderen Nutzern Gelegenheit zur Meinungsäußerung zu geben.--Ulrich Kaltenborn 13:18, 5. Apr. 2010 (CEST)

Eine dritte Meinung ist sicher hilfreich. Ich habe keine beantragt, weil das Thema leider doch so komplex ist, dass sich wohl niemand auf die Schnelle hineindenken kann. Die beiden auch von Dir kontaktierten Sichter (Hæggis und Scherben) wären auch aus meiner Sicht geeignete Kanditaten für eine dritte Meinung. Grundlegende Unterschiede sehe ich lediglich in den Wahrscheinlichkeitsauffassungen, über die eigentliche Mathematik ist wohl weniger das Problem. --NeoUrfahraner 16:48, 5. Apr. 2010 (CEST)

Dritte Meinung, die Euch leider nicht viel hilft. Der Artikel ist viel zu langatmig und kompliziert. Kurz und prägnant heißt meine Lösung: Das Paradoxon basiert auf einer angenommenen Gleichverteilung über unendlich. Die gibt es aber nicht. Unter der Annahme einer beliebigen, aber existenten Verteilung der Geldbeträge löst sich das Paradoxon auf. --Suricata 19:22, 5. Apr. 2010 (CEST)

OK. Das ist auf den Punkt gebracht genau das, was derzeit im Abschnitt "Lösung" im Artikel steht. --NeoUrfahraner 19:39, 5. Apr. 2010 (CEST)

PS: Auf den Punkt gebracht verstehe ich die vorgeschlagene Lösung von Ulrich Kaltenborn so, dass es kein Paradox gibt, weil Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht verwendet werden darf. --NeoUrfahraner 20:04, 5. Apr. 2010 (CEST)

Vielen Dank, dass du bereit bist mitzudiskutieren. Allerdings betrifft deine Stellungnahme nicht wirklich den Kern des Streits, was zugegebenermaßen an mir bzw. uns liegt. Wir haben bisher nicht klar gemacht, worum es genau geht. Das habe ich jetzt versucht, nachzuholen.--Ulrich Kaltenborn 23:27, 7. Apr. 2010 (CEST)

In den folgenden Unterabschnitten habe ich die aus meiner Sicht strittigen Punkte aufgelistet, was diesen Artikel angeht. Die Idee ist, dass Vertreter einer Dritten Meinung wissen, wozu sie sich überhaupt äußern sollen, ohne die gesamte schon jetzt sehr lange Diskussion lesen zu müssen. Ich möchte alle Beiteiligten bitten, hier nochmal kurz die Gründe für ihre Standpunkte zusammenfassen.--Ulrich Kaltenborn 23:27, 7. Apr. 2010 (CEST)

Ist die Version vom 28. Mär. 2010 20:42 hinreichend

Nein. Der Abschnitt "Die Denkfalle" ist die einzige Stelle, in der eine inhaltliche Erläuterung des Paradoxons geboten wird. Sie ist aus folgenden Gründen nicht erhellend:

• Das Paradoxon wird nur sehr knapp und salopp beschrieben.
• Keine der betrachteten Zufallsvariablen wird definiert, dadurch ist nicht nachvollziehbar was mit den Aussagen gemeint ist.
• Die Betrachtung impliziert, dass der unbekannte kleinere Geldbetrag als Realisation einer Zufallsvariablen behandelt wird. Davon ist in der Formulierung des Paradoxons nicht die Rede. Die Annahme muss dann zumindest nachträglich explizit aufgeführt werden.
• Man kann n auch als unbekannten aber festen Wert auffassen. Auch dieser Fall muss behandelt werden.
• Das Indifferenzprinzip wird in Bezug zu anderen Konzepten gesetzt, anstatt dass einfach die praktische Implikation (gleiche Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse) genannt wird.
• Der Satz, der die eigentliche Denkfalle erklären soll, ist irreführend, weil nicht klar ist, dass hier über verschiedene Zufallsvorgänge geredet wird.
• Es ist von einer "sinnvollen Tauschstrategie" die Rede. Der Zusammenhang zum Paradoxon erschließt sich nicht (obwohl er faktisch vorhanden ist). Ziel ist, die Frage zu beantworten, warum der Erwartungswert nicht 125 ist. Dieses Ziel muss in der Argumentation klar erkennbar sein.

Etwas ausführlicher habe ich das hier begründet: Diskussion:Umtauschparadoxon#Was war an der bisherigen Einführung nicht in Ordnung--Ulrich Kaltenborn 23:27, 7. Apr. 2010 (CEST)

Hat der Entwurf vom 3. Apr. 2010 19:16 schwere Mängel

... so dass er nicht freigegeben werden kann?

Nein. Der Entwurf ist eine Erweiterung der alten Version. Ich halte meinen Entwurf für inhaltlich korrekt und zum Thema passend. Er füllt die Lücken, unter denen die alte Version leidet, die verwendeten Begriffe sind definiert, und er unterscheidet klar zwischen den unterschiedlichen Interpretationen des Paradoxons. Die bisher vorgebrachten Einwände von NeoUrfahraner halte ich allesamt für nicht stichhaltig oder sogar unsinnig.--Ulrich Kaltenborn 23:27, 7. Apr. 2010 (CEST)

weiteres Vorgehen

Seit der Anfrage nach einer dritten Meinung sind dort und im Rest der Diskussion keine inhaltichen Einwände mehr gegen die vorn mir vorgeschlagenen Erweiterungen gekommen. Deshalb werde ich jetzt noch einmal diese Erweiterungen im Artikel anbringen. Ich würde es für fair halten, wenn die Sichtung nicht durch eine der streitenden Parteien erfolgen würde und wenn derjenige, der den Artikel sichtet damit ein paar Tage warten könnte, so dass die "Gegenseite" oder weitere Drittmeinungen sich noch in diesem Abschnitt äußern können. Ich fände es auch gut, wenn der oder die Sichtende hier ein kurzes Statement abgeben könnte, warum die Änderungen akzeptiert oder abgelehnt wurden.

Umständliche Versuchsbeschreibung

Die Versuchsbeschreibung finde ich sehr umständlich, warum die Sekretärin und nicht einfach:

Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und gibt ihm zwei identische Briefumschläge mit den Worten „In beiden Briefumschlägen befindet sich ein Geldbetrag, in dem einen doppelt so viel wie im anderen. Sie dürfen einen Umschlag öffnen und dann entscheiden, ob Sie die beiden Umschläge austauschen und den anderen nehmen möchten.“

--Suricata 09:57, 7. Apr. 2010 (CEST)

Siehe dazu auch die 5 Jahre alte Ursprungsversion: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Briefumschlagparadox&oldid=4447161 Ich habe es nie geändert; welche Variante man nimmt, ist letzlich eine Frage des persönlichen Geschmacks. --NeoUrfahraner 10:56, 7. Apr. 2010 (CEST)

Ich bevorzuge üblicherweise den einfachsten Versuchsaufbau um den Leser nicht mit irrelevanten Details abzulenken. Wenn keine Einwände kommen, reduziere ich den Text und passe die entsprechenden Erklärungen an. --Suricata 12:20, 7. Apr. 2010 (CEST)

Gute Idee. Deinen Textentwurf finde ich gut. --Ulrich Kaltenborn 19:38, 7. Apr. 2010 (CEST)

Ich bin im Prinzip neutral. Wenn allerdings die Briefumschläge "identisch" sind, bedeutet das dann nicht, dass nur ein einziger Umschlag verwendet wird? Darüber hinaus bin ich am Überlegen, ob es bei der Erklärung der Lösung nicht hilfreich sein könnte, im Gedanken die Sekretärin als Kiebitz an den Nebentisch zu setzen (vgl. Diskussion oben), das müsste allerdings genauer diskutiert werden (Alternativen wären auch "der höhere Wurf gewinnt", Rebiersch 00:06, 4. Apr. 2010, oder einfach ein Limit an den Betrag vorzugeben). --NeoUrfahraner 20:38, 7. Apr. 2010 (CEST)

Erledigt, schaut mal nach ob noch alles stimmt. --Suricata 07:33, 10. Apr. 2010 (CEST)

OK, hab keine Sekretärin mehr im Artikel gefunden. Ich hab dann auch noch die Überschrift von "Lösung" auf "Analyse bei gegebenen Wahrscheinlichkeiten" geändert (vgl. Zustimmung von Ulrich Kaltenborn, 18:00, 31. Mär. 2010) --NeoUrfahraner 08:04, 10. Apr. 2010 (CEST)