Bohr-van-Leeuwen-Theorem

Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein wichtiges Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null ist, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.

Klassische Betrachtung

Die Magnetisierung (Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht auf die Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.

Beweis

Für ein geladenes Teilchen in einem Magnetfeld $\mathbf {B}$ mit Vektorpotential $\mathbf {A}$ ist die Hamiltonfunktion definiert über $H^{(1)}(\mathbf {p} -{\frac {q}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t),\mathbf {r} _{i})$, wobei das erste Argument der generalisierte Impuls ist.

Die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen ist in der statistischen Physik klassisch definiert über $Z={\frac {1}{h^{3N}N!}}\int _{\mathbb {R} ^{3N}}\mathrm {d} ^{3N}p\int _{V^{N}}\mathrm {d} ^{3N}r\mathrm {e} ^{-\beta H(\lbrace \mathbf {p} _{i}-{\frac {q}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i}),\mathbf {r} _{i}\rbrace )}$ wobei dies in 3 Dimensionen behandelt wird.

Nun substituiert man $\mathbf {p} _{i}'=\mathbf {p} _{i}-{\frac {q}{c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})$. Da alle Impulse $\mathbf {p} _{i}$ über den gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu $Z={\frac {1}{h^{3N}N!}}\int _{\mathbb {R} ^{3N}}\mathrm {d} ^{3N}p'\int _{V^{N}}\mathrm {d} ^{3N}r\mathrm {e} ^{-\beta H(\lbrace \mathbf {p} _{i}',\mathbf {r} _{i}\rbrace )}$ Da diese nun offensichtlich nicht mehr vom Vektorpotential $\mathbf {A}$ und somit auch nicht vom externen Magnetfeld $\mathbf {B}$ abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung:

$\mathbf {M} =-{\frac {\partial F}{\partial \mathbf {B} }}=0$

wobei F die freie Energie $F=-k_{B}T\ln(Z)$ ist.