Hexakisoktaeder

Das Hexakisoktaeder oder Dysdiakisdodekaeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 48 unregelmäßigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Kuboktaederstumpf und hat 26 Ecken sowie 72 Kanten.

Werden auf alle 12 Begrenzungsflächen eines Rhombendodekaeders Pyramiden mit den Flankenlänge b und c (> b) aufgesetzt, ensteht ein Hexakisoktaeder, sofern die Bedingung ${\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}<b<{\tfrac {4}{9}}a{\sqrt {12-6{\sqrt {2}}}}$ erfüllt ist.

Für $b={\tfrac {a}{3}}{\sqrt {6}}$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Rhombendodekaeder mit der Kantenlänge a übrig bleibt.
Nimmt b den Wert ${\tfrac {4}{9}}a{\sqrt {12-6{\sqrt {2}}}}$ an, entarted das Hexakisoktaeder zu einem Deltoidalikositetraeder mit den Kantenlängen b und c.
Ist $b>{\tfrac {4}{9}}a{\sqrt {12-6{\sqrt {2}}}}$ , so ist das Polyeder nicht mehr konvex.

Formeln

Größen eines Hexakisoktaeders mit Kantenlängen a, b, c
Kantenlänge	$c\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {9b^{2}-3a^{2}}}$
Volumen	$V\,=\,{\frac {8}{9}}a^{2}{\sqrt {6}}\left(2a+{\sqrt {3b^{2}-2a^{2}}}\right)$
Oberflächeninhalt	$O\,=\,{\frac {8}{3}}a{\sqrt {9b^{2}-4a^{2}}}$

Weblinks

Eric W. Weisstein: Disdyakis Dodecahedron auf MathWorld (engl.)