Indikatorfunktion

Gegeben sei eine Menge X und eine Teilmenge T von X. Die charakteristische Funktion der Menge T ist definiert durch:

$\chi _{T}:X\longrightarrow \{0,1\},\;\;\chi _{T}(x)=$ ${\begin{cases}1&{\mbox{ falls }}x\in T\\0&{\mbox{ sonst }}\end{cases}}$

Die partielle charakteristische Funktion ist definiert durch:

$\chi _{T}':X\longrightarrow \{0,1\},\;\;\chi _{T}'(x)=$ ${\begin{cases}1&{\mbox{ falls }}x\in T\\{\mbox{undefiniert}}&{\mbox{ sonst }}\end{cases}}$

Die Schreibweise 1_T für die charakteristische Funktion ist ebenfalls gebräuchlich.

Auf diese Art und Weise kann man die Potenzmenge P(X) von X mit der Menge aller Funktionen von X in die Menge {0, 1} identifizieren.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die charakteristische Funktion $\phi _{X}(t)$ (oft auch als Momenterzeugende Funktion bezeichnet) einer Zufallsvariablen folgendermaßen definiert:

$\phi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{\Omega }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,e^{itx}\,dx.$

t steht hier für eine reelle Zahl, E bezeichnet den Erwartungswert und F ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen. Die letzte Darstellung ist nur gültig, wenn die Dichte f existiert.

Eine wichtige Eigenschaft der charakteristischen Funktion ist folgende: Für zwei unabhängige Zufallsvariable X und Y mit den charakteristischen Funktionen $\varphi _{X}(t)$ und $\varphi _{Y}(t)$ gilt $\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$.