Raketengrundgleichung

Die Raketengrundgleichung beschreibt die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten des Raketenantriebs. Mit ihr schuf der bedeutende Raumfahrtpionier Konstantin Ziolkowski 1903 die Basis für die heute verfügbare zivile und militärische Raketentechnik und alle Raumfahrtunternehmen.

Die Raketengrundgleichung lautet in einer vereinfachten Form (gültig für eine einstufige Rakete im kräftefreien Raum):

$v(t)=u\cdot \ln \left({\frac {m(0)}{m(t)}}\right)$

Dabei ist

v(t) die Raketengeschwindigkeit zur Zeit t,

u die Ausströmgeschwindigkeit des Antriebsstrahles (typisch: 4,5 km/s bei chemischen Raketentriebwerken)

m(0) die Startmasse der Rakete und

m(t) die Masse der Rakete zur Zeit t (also um den verbrauchten Treibstoff verkleinerte Startmasse)

Falls man die Ausströmgeschwindigkeit variieren kann und eine bestimmte Zielgeschwindigkeit hat, so ist die benötigte Energie minimal, wenn die Ausströmgeschwindigkeit ca. 62,75 % der Zielgeschwindigkeit beträgt.

Flugzeuge, die durch Strahltriebwerke angetrieben werden, führen zwar ihren Brennstoff mit, saugen aber Luft an, verwenden deren Sauerstoff für die Verbrennung des Treibstoffs und stoßen das entstehende heiße Gasgemisch aus. Sie führen also nur einen Teil ihrer Antriebsmasse mit sich. Für solche Flugkörper gilt die Raketengrundgleichung nicht.

Die Raketengrundgleichung gilt auch im Vakuum des Weltraums, so auch für Ionentriebwerke und hypothetische Photonentriebwerke. "Swing-by"-Manöver und geplante Antriebe, die das Magnetfeld der Erde oder Sonne nutzen sollen, umgehen die durch die Ziolkowski-Gleichung gesetzten Grenzen.

Um eine Nutzlast von einer Tonne auf 11,2 km/s (2. kosmische Geschwindigkeit) zu bringen, braucht man, ohne Berücksichtigung von Luftwiderstand und Erdanziehungkraft, mehr als 11 Tonnen eines typischen Raketentreibstoffs.

Für Raketenstarts von der Erde muss die Formel noch um die Erdanziehungkraft ergänzt werden und lautet dann:

$v(t)=u\cdot \ln \left({\frac {m(0)}{m(t)}}\right)-g\cdot t$

g steht dabei für die Fallbeschleunigung von zunächst 9,81 m/s²

Da g von der Höhe abhängt, heißt es richtiger:

$v(T)=u\cdot \ln \left({\frac {m(0)}{m(T)}}\right)-\int _{0}^{T}g(t)\,dt$

In der Realität hat man den Vorteil, dass sich die Erde dreht und man diese Geschwindigkeit mitbenutzen kann. (Am Äquator sind das etwa 0,46 km/s.) Als Schwierigkeit hat man unter anderem, dass man der Rakete nicht nur eine Geschwindigkeit sondern auch eine bestimmte Richtung geben möchte und das ganze auf einer bestimmten Bahn.