Monoid

Ein Monoid ist ein Tripel aus einer Menge M, einem binären Operator * auf M und einem augezeichneten Element e aus M, also (M, *, e), mit den folgenden Eigenschaften:

1. Abgeschlossenheit von M bezüglich des Operators:

   $\forall a,b\in M:a*b\in M$

2. e ist neutrales Element:

   $\exists e\in M:\forall a\in M:e*a=a*e=a$

3. Assoziativität des Operators:

   $\forall a,b,c\in M:(a*b)*c=a*(b*c)$

Ein Monoid ist also eine Halbgruppe mit neutralem Element. Formalität: oft wird ein Monoid auch lediglich als Paar definiert, ohne explizit das neutrale Element mit aufzuführen, also (M, *). Das heißt aber nicht, dass ein neutrales Element in dieser Definition nicht exisitiert.

Teil 3. der Definition rechtfertigt das Weglassen von Klammern. Beispiel: (im folgenden gilt die 0 als natürliche Zahl)

$(\mathbb {N} ,+,0)$

ist ein Monoid, da die Addition nicht aus den natürlichen Zahlen herausführt, + assoziativ ist und 0 neutrales Element. Da + ein binärer Operator ist, darf streng genommen a+b+c nicht geschrieben werden. Weil aber wegen der Assoziativität (a+b)+c=a+(b+c) keine Verwechslunggefahr besteht, können Klammern nach evtl. Vereinbarung weggelassen werden.

Beispiele und Gegenbeispiele für Monoide:

1.	$(\mathbb {N} ,-,0)$	ist kein Monoid, weil die Abgeschlossenheit nicht erfüllt ist: 1-5=-4 ist keine natürliche Zahl
2.	$(\mathbb {Z} ,-,0)$	ist dagegen sehr wohl ein Monoid.
3.	$(\mathbb {N} ,\cdot ,0)$	ist kein Monoid, da das neutrale Element der normalen Zahlenmultiplikation die 1 ist und nicht die 0.
4.	jede Gruppe ist ein Monoid
5.	...	(weitere Beispiele)

Es gibt eine sehr enge Verbindung zwischen der Theorie endlicher Monoide und der Automatentheorie. Daher spielen Monoide unter anderem auf dem Gebiet der theoretischen Informatik eine bedeutende Rolle.

siehe auch: Gruppentheorie