Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Kruskal-Diagramm. Jede blaue Hyperbel repräsentiert eine Position bei konstantem Radius.

Kruskal-Diagramm - Animation.

Kruskal-Szekeres-Koordinaten, eingeführt von Martin Kruskal und George Szekeres, sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die Metrik, die den Außenraum einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden und elektrisch neutralen Massenverteilung beschreibt.

Im Gegensatz zu den hierfür oft verwendeten Schwarzschild-Koordinaten werden die Kruskal-Szekeres-Koordinaten am Ereignishorizont ($r=2M$) nicht singulär und werden deswegen gerne für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt.

Das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres-Koordinaten lautet ($M$ ist die Masse des Zentralkörpers; die Gravitationskonstante $G$ und die Lichtgeschwindigkeit $c$ sind hier $=1$ gesetzt):

$ds^{2}=(32M^{3}/r)\,e^{-r/2M}\,(-dv^{2}+du^{2})+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2})$.

$r$ ist gleich dem $r$ der Schwarzschild-Koordinaten und ist implizit gegeben durch:

$(r/2M-1)\,e^{r/2M}=u^{2}-v^{2}$

$u$ und $v$ ergeben sich aus den Schwarzschild-Koordinaten $t$ und $r$ durch:

$u=x\,\cosh(t/4M)$ , $v=x\,\sinh(t/4M)$ wobei $x={\sqrt {{\frac {r}{2M}}-1}}\,e^{r/4M}$ für $r\geq 2M$

$u=x\,\sinh(t/4M)$ , $v=x\,\cosh(t/4M)$ wobei $x={\sqrt {1-{\frac {r}{2M}}}}\,e^{r/4M}$ für $r<2M$

Weblinks

• http://obelix.physik.uos.de/~fhesmer/schwarzkruskal.pdf
• http://www.wissenschaft-online.de/astrowissen/astro_sl_schw.html