Integralsinus

Der Integralsinus ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet eine durch ein Integral gegebene Funktion.

Joseph Liouville (1809-1882) bewies, dass der Kardinalsinus nicht elementar integrierbar ist.

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der Sinc-Funktion:

$\mathrm {Si} \left(x\right):=\int _{0}^{x}\mathrm {sinc} \left(t\right)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {\sin \left(t\right)}{t}}\,\mathrm {d} t$.

Im Grenzübergang $\lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)$ kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:

$\lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)={\frac {\pi }{2}}$

Die Entwicklung in eine Taylorreihe an der Stelle 0 liefert die gleichmäßig konvergente Reihe:

$\mathrm {Si} \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}}x^{2k+1}$

Beweis des Grenzwerts

Für den Beweis verwenden wir eine sehr interessante Integralformel von Euler:

$\int _{0}^{\infty }u^{x-1}e^{-au}\sin budu={\frac {\Gamma (x)\sin \alpha x}{r^{x}}}\qquad ,wobei\quad r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\quad und\quad \tan \alpha ={\frac {b}{a}}$

Des Weiteren benötigen wir die Reflektionsformel für die Gammafunktion:

$\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}$

Wir setzen jetzt a=0 und b=1 und lassen das x in der Integralformel gegen Null gehen.

$\lim _{x\to 0}\int _{0}^{\infty }u^{x-1}\sin udu=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin u}{u}}du$

Und Somit:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin u}{u}}du=\lim _{x\to 0}{\frac {\Gamma (x)\sin(\alpha x)}{1^{x}}}$

Jetzt ist aber Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\math“): {\displaystyle \alpha$=\frac{pi}{2} <\math> und <math> \Gamma (x)=\frac{\pi}{\Gamma (1-x) \sin (\pi x)}. Damit folgt: :<math> \int_{0}^{\infty}\frac{\sin u}{u}du=\lim_{x \to 0}\frac{\pi \sin (\frac{\pi}{2} x)}{\Gamma (1-x) \sin (\pi x)} } Damit erhalten wir wegen Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\math“): {\displaystyle \Gamma (1)=1 <\math>: :<math> \int_{0}^{\infty}\frac{\sin u}{u}du=\lim_{x \to 0}\frac{\pi \sin (\frac{\pi}{2} x)}{2\sin (\frac{\pi}{2} x)\cos (\frac{\pi}{2} x)} }

Algorithmus

Diese Reihe lässt sich ziemlich leicht programmieren:

Const Epsilon=1E-10; {oder ein andere Genauigkeit}
Function Si(x:Extended):Extended;
 Function xHochN(x:Extended;n:Byte):Extended;
 Var y:Extended;
     i:Byte;
 Begin
  y:=1;
  For i:=1 To n Do y:=y*x;
  xHochN:=y
 End;
 Function Fakultaet(n:Word):Extended;
 Var f:Extended;
     i:Word;
 Begin
  f:=1;
  For i:=1 To n Do f:=f*i;
  Fakultaet:=f
 End;
Var ISinus,Delta:Extended;
    n           :Word;
Begin
 n:=0;ISinus:=0;
 Repeat
  Delta:=xHochN(-1,n)*xHochN(x,2*n+1)/((2*n+1)*Fakultaet(2*n+1));
  ISinus:=ISinus+Delta;Inc(n)
 Until Abs(Delta)<Epsilon;
 Si:=ISinus
End;

Diese Version ist jedoch langsam, da bei jedem Durchgang xHochN und die Fakultät neu berechnet werden müssen.

Eine schnellere Variante ergibt folgende Pascal-Funktion:

Function Si(x:Extended):Extended;
Var ISinus,Fakultaet,Potenz,Delta:Extended;
    n                            :Word;
    Vorzeichen                   :-1..1;
Begin
 ISinus:=x;n:=1;Fakultaet:=1;Potenz:=x;x:=Sqr(x);Vorzeichen:=-1;
 Repeat
  Potenz:=Potenz*x;Fakultaet:=Fakultaet*(n+1)*(n+2);Inc(n,2);
  Delta:=Potenz/(n*Fakultaet);
  ISinus:=ISinus+Vorzeichen*Delta;Vorzeichen:=-Vorzeichen
 Until Abs(Delta)<Epsilon;
 Si:=ISinus
End;

Siehe auch

• Integralcosinus
• Integraltangens
• Integralexponentialfunktion