Diskussion:Penrose-Parkettierung

Dies ist eine Übersetzung des englischen Artikels. Es fehlen noch deutsche Links bzw. Verweise auf die deutschen Ausgaben der angegebenen Bücher sowie ggf. noch eine Erklärung zum goldenen Schnitt (wo genau kommt der in den Kacheln vor) und wie man damit die Aperiodizität beweist. --Christian Gawron 23:42, 22. Dez 2005 (CET)

Widerspruch zu Wang Parkettierung!

Hi,

unter Wang-Parkettierung steht, dass Herr Robert Berger eine Parkettierung mit 20.526 verwendete, beim Artikel Penrose-Parkettierung werden aber 20426 Kacheln angegeben.

Weiterhin bin ich unschluessig, ob auf den richtigen Robert Berger verlinkt worden ist - "Robert Berger (* 9. Februar 1934 in Chicago) ist ein US-amerikanischer Filmproduzent." Nicht das ich es abstreite, dass es der richtige ist, aber koennte jmd. mal verifizieren ob es wirklich der Filmproduzent Berger gewesen ist?

Wieso überabzählbar viele Parkettierungen?

Wenn man an einem bestimmten Ort startet, ergeben sich doch abzählbar unendlich viele Parkettierungen, weil man sie in einem Baum anordnen kann. Legt man einen Stein hin, so ergeben sich zunächst 4, beim nächsten Stein 6 Anlegemöglichkeiten, dann weniger oder mehr, aber immer natürlich viele. Ich sehe nicht, wo das überabzählbar sein soll. Trotzdem ein toller Artikel! 85.177.181.162 17:03, 13. Aug 2006 (CEST)

Ohne jetzt für die Richtigkeit die Hand ins Feuer legen zu wollen: Jede Parkettierung der ganzen Ebene hat abzählbar unendlich viele Kacheln. An (fast) jeder Stelle - bzw. an abzählbar vielen "Entscheidungsstellen" - kann ich alternativ eine andere Kachel nehmen. Damit kann man sicher ein Cantor'sches Diagonalenargument aufbauen. So wie es auch überabzählbar viele verschiedene reelle Zahlen gibt, die man als abzählbare Folgen der Ziffern 1 bis 9 darstellen kann. Christian Gawron 16:28, 12. Sep 2006 (CEST)

Mich stört in der gegenwärtigen Fassung vor allem, dass zwar von überabzählbar vielen die Rede ist, aber nirgends gesagt wird, dass es unendlich viele sind. Da der Begriff überabzählbar aber nur im Zusammenhang mit unendlich einen (mir bekannten) Sinn hat, vermute ich, dass der Autor eigentlich nur unendlich sagen wollte und fälschlicherweise überabzählbar für ein Synonym davon hielt. (Aber ich will damit niemandem auf die Füße treten.) Ich plädiere jedenfalls für Änderung in abzählbar unendlich viele. Alfe 07:19, 8. Feb. 2007 (CET)

done Alfe 06:13, 24. Feb. 2007 (CET)

Hm, sind es denn wirklich nur abzählbar unendlich viele? Entweder hat man abzählbar unendlich viele Entscheidungen zu treffen (→ es sind überabzählbar viele Parkettierungen). Oder "ungünstige" Entscheidungen können sich irgendwann "rächen"; in dem Fall würde ich sogar vermuten, dass alle Varianten durch Translation und Rotation auseinander hervorgehen. Mein Bauchgefühl geht zwar eher in die erste Richtung, aber die Aussage "dass jeder endliche Ausschnitt eines solchen Musters sich unendlich oft wiederfindet (und zwar sogar auch in einer beliebigen anderen Penrose-Parkettierung" scheint wiederum leicht in die Gegenrichtung zu deuten. Das ist eigentlich ein Fall für Quellenstudium, bzw. es sollte nur unendlich behauptet werden.--Hagman 22:47, 24. Feb. 2007 (CET)

Ich hab das "abzählbar" mal rausgenommen, bis diese Frage entschieden ist. -- Martin Vogel 23:08, 24. Feb. 2007 (CET)

Alsoooo: Im en:wikipedia steht The tiles are put together with one general rule: no two tiles can be touching so as to form a single parallelogram. Given this rule, there is an uncountably infinite combination of ways to tile the plane without gaps. The original Penrose tilings have five-fold rotational symmetry. Da steht also auch überabzählbar. Allerdings ist mir erst dort (obwohl im de:wikipedia letztlich dasselbe ausgesagt wird - im Deutschen überles ich solche Feinheiten offenbar) aufgefallen, das es hier um zahlreiche verschiedene Dinge geht: a) Pflasterungen, die mit den Kacheln möglich sind; b) Pflasterungen, die die Parallelogrammregel beachten:; c) quasi-kristalline Pflasterungen; d) Penroses Original-Konstruktion. Hierbei würde a) offenbar sogar solche Pflasterungen, die nur einen Baustein verwenden, beinhalten. Gesprochen wird von b), was insb. dennoch u.a. periodische Pflasterungen beinhaltet (siehe ASCII-Grafik oben); hier gibt es in der Tat vermutlich überabzählbar viele, das müßte dennoch genauer geklärt werden. Gemeint war möglicherweise c), wobei also Kristalle mit einigen wenigen "Störstellen" ausgeschlossen sind. Dagegen is d) sehr speziell (nämlich 5fach drehsymmetrisch) und durch eine Konstruktion eindeutig festgelegt. IMHO scheinen alle durch den Deflation approach gewonnenen Parkettierungen der gesamten Ebene identisch zu sein, während en:Image:VarPenrT.jpg anders aussieht. Ich vermag im Moment aber nicht einmal zu beurteilen, warum dies nicht doch einfach ein "ferner" Ausschnitt der Standardparkettierung sein sollte. Ich werde den Verdacht nicht los, dass die ganze Parallelogrammregel in dieser Form nur durch ein Missverständnis von being characterized by the absence of a period parallelogram (aus dem US-Patent) in die wikipedia gekommen ist.--Hagman 20:49, 25. Feb. 2007 (CET)

Ich habe natürlich Respekt vor dem, was in der englischen Version des Artikels steht, einen guten Grund für die dort genannte Überabzählbarkeit der Unendlichkeit (uncountably infinite) sehe ich aber nicht; ich werde das dort thematisieren bzw. mal in der discussion schauen, was dazu steht. Für eine blinde Übernahme von dort kann ich mich nicht erwärmen. Nochmal: Dass es unendlich ist, bestreite ich nicht, nur dass es überabzählbar unendlich ist. Ich plädiere noch einmal für abzählbar unendlich viele und bitte die Verwender des Begriffs überabzählbar viele (ohne unendlich) zu erklären, was sie damit meinen. Alfe 08:08, 10. Mär. 2007 (CET)

Hab im englischen Wikipedia geschaut -- die Leute da gehen auf die spezielle mathematische Bedeutung des Begriffs der (Über-)Abzählbarkeit nicht näher ein als hier. Es liegt nahe, dass dort dieselben Fehler wie hier gemacht werden. Es gibt auf der dortigen Discussion-Seite auch ein Kapitel zu dem Begriff (uncountably), aber da geht es ähnlich verworren mit der Begriffsnutzung zu wie hier. Die englische Wikipedia scheidet daher aus meiner Sicht als besonders kompetente Quelle in dieser Frage leider aus. Alfe 08:53, 10. Mär. 2007 (CET)

Es sind überabzählbar viele...

Endlich bin ich bereit, das Argument von Christian Gawron zu akzeptieren: In der 5fach drehsymmetrischen Standard-Parkettierung (die man rekursiv zusammensetzt) wird die im Artikel genannte Parallelogrammregel beachtet (aber es gibt periodische Parkettierungen, die auch die Parallelogrammregel beachten). Die folgende Figur taucht hierbei abzählbar unendlich oft auf: Packe drei dicke Rauten an den 72°-Ecken zusammen; in die drei enstehenden 144°-Lücken packe je eine dünne Raute. Es entsteht ein 8eck mit Innenwinkeln 144°,144°,144°,108°,144°,144°,144°,108°, so dass die Figur (d.h. ihr Äußeres) punktsymmetrich ist. Da die Figur abzählbar unendlich oft auftaucht und eine Entscheidungsstelle im Sinne Christian bildet, ergeben sich insgesamt tatsächlich überabzählbar viele Parkettierungen. Wenn man will, kann man die Entscheidungen sogar so treffen, dass die Drehsymmetrie (und sogar die Spiegelsymmetrie) erhalten bleibt. Man kann nachprüfen, dass die Punktspiegelungen nicht zu einem Bruch der Parallelogrammregel führen, aber sie sind nicht mit den üblichen Ausbuchtungen/Einkerbungen bzw. Färbungen verträglich! Also:

• Die Parallelogrammregel (in der dargestellten Form) erlaubt überabzählbar viele D₅-symmetrische Parkettierungen
• Die Parallelogrammregel erlaubt jedoch noch weitere (z.B. regelmäßige) Parketterungen (ist also wohl schwächer als beabsichtigt)
• Die "passende Kanten"-Regeln (Kerben/Farben) sind eine stärkere Einschränkung und führen (mit der obigen Methode) nicht auf überabzählbar viele Parkettierungen

Ob es ein ähnliches Entscheidungsmuster gibt, das auch mit Kerben/Farben verträglich ist, weiß ich im Moment nicht.

Summary: "überabzählbar viele" stimmt, mit der Parallelogrammregel bin ich immer noch nicht glücklich... Alle Klarheiten beseitigt? --Hagman 11:39, 27. Feb. 2007 (CET)

Ich frage mich, was der Begriff "überabzählbar viele" bedeuten soll. Mit sind die Begriffe "endlich viele" und "unendlich viele" bekannt, wobei sich letzteres noch gliedern lässt in "abzählbar unendlich viele" und "überabzählbar unendlich viele". Es steht glaube ich außer Frage, daß es sich hier nicht um "endlich viele" handelt (aber da mag ich falsch liegen, ich kann nicht so gut in Eure Köpfe gucken). Die Frage ist also, ob die Unendlichkeit hier abzählbar ist oder überabzählbar. Der Artikel zum Thema Abzählbarkeit beschreibt, dass die Unendlichkeit genau dann abzählbar ist, wenn sich eine bijektive Abbildung auf die Menge der natürlichen Zahlen finden lässt. Die oben genannte Begründung mit dem Ansatz eines Algorithmus', der alle Parkettierungen fände, wenn er unendlich viel Zeit hätte, scheint mir eine solche Abbildung zu sein. Die Anzahl der Schritte des Algorithmus ist eine natürliche Zahl, auch wenn sie gegen unendlich strebt. Ergo: "abzählbar unendlich viele". Alfe 07:56, 10. Mär. 2007 (CET)

Es gibt in der Mathematik verschiedene Abstufungen von "unendlich viele". Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist "abzählbar unendlich", was bedeutet "so viele, wie es natürliche Zahlen gibt". Es gibt abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen, Primzahlen, ganze Zahlen, Paare natürlicher Zahlen, rationale Zahlen, algebraische Zahlen, endliche Buchstabenfolgen, endliche Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge. Dagegen gibt es in einem klar definierten Sinne mehr (und dann sagt man überabzählbar viele) reelle Zahlen, komplexe Zahlen, endlose Buchstabenfolgen, Teilmengen der natürlichen Zahlen. Es gibt auch Kardinalzahlen, die noch größer sind, aber in den vielen Fällen nicht weiter begrifflich unterschieden werden müssen. Im Fall der Penrose-Parkettierungen haben wir es mit einer Variante von "endlose Buchstabenfolgen" zu tun, nämlich abzählbar vielen Antworten auf Fragen "Soll das x-te 8eck so (a) oder so (b) orientiert sein?". Jede Folge von Antworten á la "aabbabbabaabbabaab...." liefert eine andere Pflasterung, also zunächst überabzählbar viele. Möglicherweise gehen einige hierbei durch Drehunge und Verschiebungen auseinander hervor (sind äquivalent). Jedoch habe ich pro Pflasterung nur abzählbar viele Kandidaten für solche Bewegungen: Der Ursprung muß auf eine der abzählbar vielen Kachelecken bewegt werden und danach kann ich noch um Vielfache von 36° drehen. Kann diese Gruppierung in äquivalente Pflasterungen zu "nur noch" abzählbar vielen wesentlich verschiedenen Pflasterungen führen? Nein, denn abzählbar mal abzählbar ist immer noch abzählbar (á la Paare natürlicher Zahlen). Alternativ kann ich auch dafür sorgen, dass alle produzierten Varianten die Drehsymmetrie beachten. Dann ist klar, dass sie paarweise nicht äquivalent sind, da es ja pro Pflasterung höchstens ein Drehsymmetriezentrum geben kann.--Hagman 09:40, 10. Mär. 2007 (CET)

Rauten

Ich wäre dafür, die Penrose-Kacheln in diesem Artikel als Rauten zu bezeichnen, da die Bezeichnung "Parallelogramm" zwar sachlich korrekt ist (jede Raute ist auch ein Parallelogramm), aber zu allgemein. Gegenstimmen? --Neitram 13:25, 29. Aug 2006 (CEST)

Erledigt. --Neitram 13:09, 30. Aug 2006 (CEST)

Parallelogrammregel hinreichend erklärt?

Nach der gegenwärtigen Fassung der Parallelogrammregel wäre folgendes Muster erlaubt:

     ,*------,*-------*   /       /  ,-'
  ,-'     ,-'/       /   /       /,-'
*'------*'  /       /  ,*------,*'------*
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*------,*'------*'  /       /  ,*------,*
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--*'  /       /  ,*------,*'------*'  /
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,-'     ,-'/       /   /       /,-'     ,
'-----*'  /       /  ,*------,*'------*'
     /   /       /,-'     ,-'/       /
    /   *------,*'------*'  /       /  ,*

(Ich hoffe, man erkennt, was ich meine.)

Dieses Muster ist eindeutig periodisch und sehr simpel. Die Parallelogrammregel muss meiner Meinung nach daher überarbeitet werden in ihrem Wortlaut, denn auch in dieser Parkettierung liegen keine zwei Rauten so aneinander, dass sie gemeinsam ein Parallelogramm bilden.

Ich denke eine bessere Formulierung der Regel, nach der die Parkettierung vollzogen werden darf, lautet in etwa so:

"Beide Rautensorten der Parkettierung haben je eine ausgezeichnete Ecke; entweder man wählt für seine Parkettierung je eine der spitzen Ecken oder je eine der stumpfen Ecken als ausgezeichnete Ecke. Es gilt die Regel, dass an einer ausgezeichneten Ecke nur weitere ausgezeichnete Ecken der Nachbarrauten liegen dürfen."

Das ganze hat dann nichts mehr mit einer "Parallelogramm"-Regel zu tun, ich weiß aber auch nicht, ob sich die hier benötigte Regel durch etwas mit Parallelogrammen ausdrücken lässt.

Meinungen?

Alfe 07:14, 8. Feb. 2007 (CET)

Inzwischen glaube ich, dass man die Parallelogrammregel so formulieren kann: "Keine zwei gleichen Rauten dürfen sich mit gleicher Orientierung berühren, auch wenn die Berührung nur an einer gemeinsamen Ecke erfolgt."

Ich bin noch nicht sicher, ob diese Aussage dasselbe bedeutet wie meine obige Aussage mit den ausgezeichneten Ecken, könnte mir das aber vorstellen. Sind hier nicht auch Mathematiker anwesend? ;-) Alfe 06:27, 24. Feb. 2007 (CET)

Habe ein Bild mit puzzleteil-artig geformten Kanten sowie Farbmustern ergänzt. Mittelfristig ist das wahrscheinlich besser ("richtiger"?) als die Parallelogrammregel.--Hagman 20:52, 25. Feb. 2007 (CET)

Islamische Architekten der westlichen Welt um mehr als 500 Jahre voraus.

Mittelalterliche Ornamente an iranischen Moscheen als quasikristallin erkannt: http://www.wissenschaft.de/wissenschaft/news/275291.html Dies will ich nur zur mglw. Neudatierung der Entdeckung hinzufügen, ohne dass wir jetzt nicht mehr von der Penrose-Ornamentik des alten Persiens sprechen müssen ;-)

Auch heise/Telepolis hat kurz darüber berichtet.

Moderne Mathematik im Mittelalter

Islamische Architektur zeigt schon im 15. Jahrhundert Muster, deren zugrundeliegende Mathematik der Westen erst Ende des 20. Jahrhunderts entwickelt hat

http://www.heise.de/tp/r4/artikel/24/24708/1.html

--Alexander.stohr 02:49, 25. Feb. 2007 (CET)