Partialbruchzerlegung

In der Mathematik ist die Partialbruchzerlegung eine bestimmte Darstellung rationaler Funktionen $r(z)$ als Summe von Brüchen der Form

${\frac {a}{(z-b)^{n}}}$

mit Konstanten a und b.

Definition

Eine rationale Funktion r mit n verschiedenen Polstellen z_j der Ordnung m_j lässt sich in der Form

$r(z)=p(z)+\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{m_{j}}{\frac {a_{j,k}}{(z-z_{j})^{k}}}$

schreiben, wobei der Grad des Polynoms p der Differenz von Zähler- und Nennergrad von r entspricht.

Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung (Abk. PBZ).

Verwendung

Die Partialbruchzerlegung wird z.B. verwendet, um rationale Funktionen integrieren zu können. Sie wird ebenfalls bei der Lösung von Differentialgleichungen bzw. Differenzengleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation bzw. z-Transformation benötigt.

Berechnung

Diese Zerlegung kann folgendermaßen bestimmt werden:

• Falls der Grad des Zählers größer gleich dem Nennergrad ist, muss eine Polynomdivision durchgeführt werden (man erhält p). Ansonsten ist p=0.
• Abhängig von der Form des Nennerpolynoms wird ein geeigneter Ansatz für das Ergebnis aufgestellt (siehe unten).
• Die Konstanten a_j,k ergeben sich beispielsweise durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Ansätze

Abhängig von der Form des Nennerpolynoms müssen verschiedene Ansätze verfolgt werden. Hierfür müssen sämtliche Nullstellen des Nennerpolynoms bekannt sein. Diese sind am einfachsten sichtbar, wenn das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht wird:

$(x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\cdot ...\cdot (x-x_{n})^{k_{n}}$

Hierbei stellen dann k₁ etc. den Grad der jeweiligen Nullstellen und x₁ etc. die Nullstellen selber dar.

• Nennerpolynom mit einfachen reellen Nullstellen x₁, x₂, ..., x_n:

$f(x)={a_{1} \over x-x_{1}}+{a_{2} \over x-x_{2}}+...+{a_{n} \over x-x_{n}}$

• Nennerpolynom mit i-facher Nullstelle x_k:

$f(x)={a_{1} \over x-x_{1}}+{a_{2} \over x-x_{2}}+...+{b_{1} \over x-x_{k}}+...+{b_{i} \over (x-x_{k})^{i}}$

• Nennerpolynom mit einfacher komplexer Nullstelle z_k:
  (Die Nullstellen von x²+ax+b sind dann z_k und z_k*, somit wird jede komplexe Nullstelle mit ihrer konjugiert komplexen zu einem Term zusammengefasst)

$f(x)={a_{1} \over x-x_{1}}+{a_{2} \over x-x_{2}}+...+{(b_{1}x+c_{1}) \over (x^{2}+ax+b)}$

• Nennerpolynom mit i-facher komplexer Nullstelle z_k:

$f(x)={a_{1} \over x-x_{1}}+{a_{2} \over x-x_{2}}+...+{(b_{1}x+c_{1}) \over (x^{2}+ax+b)}+{(b_{2}x+c_{2}) \over (x^{2}+ax+b)^{2}}+...+{(b_{i}x+c_{i}) \over (x^{2}+ax+b)^{i}}$

Koeffizientenvergleich

Um die Konstanten $a_{k}$, $b_{k}$, ... zu ermitteln, wird der Ansatz mit der Funktion gleichgesetzt und so erweitert, dass bei $f(x)$ der Nenner entfällt. Dann werden die (noch unbekannten) Konstanten so sortiert, dass eine bis mehrere Bedingungen entstehen, woraus man sie berechnen kann.

Beispiel:

$f(x)={\frac {x}{(x^{2}-1)}}$.

Dieser Ausdruck kann (um die Nullstellen des Nennerpolynoms besser sehen zu können) auch geschrieben werden als:

$f(x)={\frac {x}{(x+1)(x-1)}}$,

Man erkennt zwei einfache Nullstellen. Hierfür wird der erste oben erwähnte Ansatz verwendet:

${\frac {A}{(x+1)}}+{\frac {B}{(x-1)}}={\frac {x}{(x^{2}-1)}}$ ,

wobei $A$ und $B$ (unbekannte, noch zu ermittelnde) Konstanten sind. Erweitert man beide Seiten der Gleichung auf $(x^{2}-1)$ (das Nennerpolynom auf der rechten Seite), erhält man

$Ax-A+Bx+B=x$.

Sortiert man diese so um, dass $x$ auch auf der linken Seite alleine steht, erhält man

$(A+B)x+B-A=x$.

Diese Gleichung wird folgendermaßen gelöst: Man setzt $x=0$:

$B-A=0$  ⇒  $A=B$  (1.)

Diese Erkenntnis wird eingesetzt und es gilt dann:

$(A+B)x=x$   ⇒  $A+B=1$  (2.)

Aus den Bedinungen

1. $B=A$ und
2. $A+B=1$

erhält man durch Hinsehen oder durch ineinander Einsetzen der zwei Bedinungen $A=B={\frac {1}{2}}$.

Setzt man diese Werte für $A$ und $B$ ein, erhält man

${\frac {x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x-1}}$

welches für alle $x$ ungleich $\pm 1$ wahr ist.

Ein weiterer, oft schnellerer Ansatz ist das Bestimmen der Koeffizienten durch eine sogenannte Koeffizientenmatrix.

Weitere Beispiele

Einfache Nullstellen

Durch Grenzwertbildung an der Polstelle (hebbare Singularität) $s_{0}$

$P_{0}=\lim _{s\to s_{0}}F(s)\cdot (s-s_{0})$

Beispiel

$F(s)={\frac {1}{(s+1)\cdot (s+2)^{2}}}={\frac {A}{s+1}}+{\frac {B_{1}}{s+2}}+{\frac {B_{2}}{(s+2)^{2}}}$

$A=\lim _{s\to -1}F(s)(s+1)=1$

Doppelte Nullstelle

${\frac {x^{2}}{(x-1)^{2}}}={\frac {(x^{2}-2x+1)+(2x-1)}{(x-1)^{2}}}$

$=1+{\frac {2\;x-1}{(x-1)^{2}}}$

${\frac {2\;x-1}{(x-1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}\quad |\cdot (x-1)^{2}$

$2\;x-1=A(x-1)+B$ (*)

$2\;x-1=Ax-A+B$

Es folgt durch Koeffizientenvergleich:

$A=2\land -A+B=-1$

also:

$A=2\land B=1$

Ab (*) auch möglich: durch scharfes Hinsehen und Probe mit A=2 sieht man:

$2\;x-1=2x-2+B$

B muss also 1 sein damit die Formel stimmt!:

$A=2$

$B=1$

${\frac {x^{2}}{(x-1)^{2}}}=1+{\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}$

Komplexe Nullstellen und Berechnung der Koeffizienten durch Lineares Gleichungssystem

Gelöst werden soll $\int {\frac {(1+x)^{2}}{x\cdot (1+x^{2})}}\,\mathrm {d} x$ .

Die Nullstellen lauten $x_{1}=0$, $x_{2}=i$ und $x_{3}=-i$. Somit lässt sich der Term durch folgende PBZ darstellen:

${\frac {(1+x)^{2}}{x\cdot (1+x^{2})}}\,={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{(x+i)\cdot (x-i)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$

Durch Umstellen und Umformen erhält man

$1x^{2}+2x+1=(1x^{2}+0x+1x^{0})\cdot A+(1x^{2}+0x+0x^{0})\cdot B+(0x^{2}+1x+0x^{0})\cdot C$

Hilfreich beim Berechnen mehrerer Koeffizienten ist eine Koeffizientenmatrix, an diesem Beispiel gezeigt:

$\qquad {\begin{matrix}A\qquad B\qquad C\qquad \qquad \\1\qquad 1\qquad 0\qquad =1\\0\qquad 0\qquad 1\qquad =2\\1\qquad 0\qquad 0\qquad =1\\\end{matrix}}$

Durch Lösen des LGS (Gauss, Determinanten, hier auch durch Hinsehen ...) erhält man so: A = 1, B =0 und C = 2.

Dadurch kann das Integral folgendermaßen dargestellt und integriert werden:

$\int {\frac {(1+x)^{2}}{x\cdot (1+x^{2})}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int {\frac {2}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+2\cdot \arctan(x)$