Dreiecksfläche
Die Dreiecksfläche gibt die Anzahl der Flächeneinheiten an, die von einem Dreieck bedeckt werden. Ihre physikalische Einheit ist der Quadratmeter (m²).
Das Problem der Berechnung einer Dreiecksfläche ist eines der ältesten Probleme der Geometrie. Bereits im antiken Ägypten stellte sich das Problem, wenn nach dem Rückgang der Nilüberschwemmung das fruchtbare Ackerland neu zu verteilen war. Dreiecke und deren Flächenberechnung bilden auch heute noch eine der wichtigsten Grundlagen der Landvermessung (siehe:Triangulierung).
Dreiecksflächenberechnung in der Ebene
Das Prinzip der Flächenberechnung bei rechtwinkligen Dreiecken ist einfach. Bei Betrachtung des äußersten zweiten und des dritten Dreiecks in nachfolgender Abbildung lässt sich erkennen, dass sie sich zu einem Rechteck ergänzen würden. Da sie offensichtlich die gleiche Fläche haben, muss jedes von ihnen die halbe Rechtecksfläche enthalten.
Bild:Dreiecke gleicher Höhe h und gleicher Grundseite g haben die gleiche Fläche A.
Betrachtet man nun alle dargestellten Dreiecke mit Ausnahme des zweiten, so kann man in einer beliebigen Höhe einen waagerechten Schnitt hindurchlegen. Diese Schnitte sind alle gleich lang (nach den Strahlensätzen). Daraus folgt, dass für die Flächenberechnung die Form der Dreiecke keine Rolle spielt; es kommt lediglich auf die Grundseite und die Höhe an. So ergibt sich die Formel:
wobei die Dreiecksfläche, die Rechtecksfläche, die Grundseite und die Grundseite ist.
Dreiecksflächenberechnung sphärischer Dreiecke
Streng genommen ist kein Dreieck auf der Erdoberfläche eben, da die Erde bekanntlich annähernd Kugelgestalt hat (Geoid). Bei sehr großen Dreiecken (etwa Kapstadt - Rio de Janeiro - Tokyo) wird man daher auf Methoden der sphärischen Geometrie und der Differentialrechnung zurückgreifen müssen:
Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines sphärisches Dreieck nahezu den gleichen Flächeninhalt wie ein ebenes Dreieck durch dieselben Punkte. Dies wird umso genauer, je kleiner die Dreiecke werden. Daraus folgt das Prinzip der Flächenberechnung eines sphärischen Dreiecks: man halbiere wiederholt die Geodäten, die die Begrenzung des Dreiecks bilden, und berechne die sich aus den kleineren Dreiecken ergebenden Flächensummen. Der Grenzwert dieses Vorgangs existiert und ist die Fläche des sphärischen Dreiecks.