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编辑 | 讨论 | 历史 | 链接 | 监视 | 日志 ）AlexHe34 （留言 ） 2012年4月2日 (一) 04:00 (UTC) 回复
ψ
=
∫
S
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
σ
′
=
∫
∫
S
f
(
r
′
)
e
i
k
|
r
−
r
′
|
4
π
|
r
−
r
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi =\int _{\mathbb {S} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} \sigma '=\int \!\!\!\int _{\mathrm {S} }f(\mathbf {r} '){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
无法从
ψ
(
r
)
=
∫
V
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {V} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}
推出来。—Snorri （留言 ） 2012年4月3日 (二) 15:04 (UTC) 回复 回應 我在這裏推導地比較快，省去了整個中間步驟。假設波源是在xy-平面的面積分佈，
f
(
r
′
)
=
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ')=f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')}
ψ
=
∫
V
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
V
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
S
f
s
(
ρ
′
)
G
(
r
,
ρ
′
)
d
σ
′
=
∫
S
f
s
(
ρ
′
)
e
i
k
|
r
−
ρ
′
|
4
π
|
r
−
ρ
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi =\int _{\mathbb {V} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {V} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {S} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')G(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {\rho }}')\,\mathrm {d} \sigma '=\int _{\mathbb {S} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}'){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}}{4\pi |\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }}'|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
其中，波源位置
r
′
=
ρ
′
ρ
^
{\displaystyle \mathbf {r} '=\rho '{\hat {\boldsymbol {\rho }}}}
ρ
′
=
(
x
′
,
y
′
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}'=(x',y',0)}
所以，對於一般的面積分佈波源，
ψ
=
∫
V
f
(
r
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
S
f
s
(
r
′
)
e
i
k
|
r
−
r
′
|
4
π
|
r
−
r
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi =\int _{\mathbb {V} }f(\mathbf {r} ')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {S} }f_{s}(\mathbf {r} '){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
--老陳 （留言 ） 2012年4月3日 (二) 23:51 (UTC) 回复
∫
V
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
G
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
=
∫
S
f
s
(
ρ
′
)
G
(
r
,
ρ
′
)
d
σ
′
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {S} }f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')G(\mathbf {r} ,{\boldsymbol {\rho }}')\,\mathrm {d} \sigma '}
Snorri （留言 ） 2012年4月4日 (三) 03:58 (UTC) 回复 回應 ：波源是在xy-平面的面積分佈
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
{\displaystyle f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')}
δ
(
z
′
)
{\displaystyle \delta (z')}
z
′
{\displaystyle z'}
z
′
=
0
{\displaystyle z'=0}
∫
S
f
s
(
r
′
)
e
i
k
|
r
−
r
′
|
4
π
|
r
−
r
′
|
d
x
′
d
y
′
{\displaystyle \int _{\mathbb {S} }f_{s}(\mathbf {r} '){\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} y'}
老陳 （留言 ） 2012年4月4日 (三) 04:59 (UTC) 回复
f
(
r
′
)
=
f
s
(
ρ
′
)
δ
(
z
′
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ')=f_{s}({\boldsymbol {\rho }}')\delta (z')}
δ
(
z
′
)
{\displaystyle \delta (z')}
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
Snorri （留言 ） 2012年4月4日 (三) 05:02 (UTC) 回复 一般空隙那部分，User:老陈 对英文维基百科的推导过程进行了较大的改善。那个地方其实原本是有个图的（File:Fraunhofer.svg ），当时修改这段的时候觉得此图作图有些粗糙，就删去了。为了方便分析，我暂且把这个图放回到条目里。另，
d
σ
′
{\displaystyle \mathrm {d} \sigma '}
ψ
i
n
c
(
r
′
)
=
E
0
e
i
k
z
′
{\displaystyle \psi _{inc}(\mathbf {r} ')=E_{0}e^{ikz'}}
z
′
{\displaystyle z'}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
d
σ
′
{\displaystyle \mathrm {d} \sigma '}
ψ
(
r
)
=
C
E
0
∫
S
e
i
k
|
r
−
r
′
|
|
r
−
r
′
|
d
σ
′
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=CE_{0}\int _{\mathbb {S} }{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} \sigma '}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
z
′
{\displaystyle z'}
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
“分布形式改变”一处，我加了个图，以及对于激光高斯光束的分布函数的数学表达式。高斯光束的内容稍微深了一点，本条目只是稍微提到，并无深入讨论的打算。
“锐利”主要是说衍射图样的宽度（参见衍射#衍射光栅 处第三个图），我把锐利换为了“宽度较小”；
其实衍射、干涉这两现象有点藕断丝连的感觉，观察衍射图样不可避免谈及“干涉”。“光的相干性”是出现衍射条纹的波动理论基础，这一节能够给读者提供一个参考，帮助他们理解衍射现象。 AlexHe34 （留言 ） 2012年4月3日 (二) 15:08 (UTC) 回复 L, r, r'的关系 大致明白。仅对
|
r
−
r
′
|
≈
L
−
r
^
⋅
r
′
{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|\approx L-{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
|
r
|
{\displaystyle |\mathbf {r} |}
r
^
⋅
r
′
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
e
i
k
|
r
|
{\displaystyle e^{ik|\mathbf {r} |}}
e
−
i
k
r
^
⋅
r
′
{\displaystyle e^{-ik{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}}
Snorri （留言 ） 2012年4月3日 (二) 15:36 (UTC) 回复
ψ
(
r
)
≈
C
E
0
e
i
k
L
L
∫
S
e
−
i
k
r
^
⋅
r
′
d
σ
′
=
C
E
0
e
i
k
L
L
∫
0
a
∫
0
2
π
e
−
i
k
ρ
′
sin
θ
cos
(
ϕ
−
ϕ
′
)
ρ
′
d
ϕ
′
d
ρ
′
=
2
π
a
2
C
E
0
e
i
k
L
L
J
1
(
k
a
sin
θ
)
k
a
sin
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )&\approx CE_{0}{\frac {e^{ikL}}{L}}\int _{\mathbb {S} }e^{-ik{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} '}\,\mathrm {d} \sigma '\\&=CE_{0}{\frac {e^{ikL}}{L}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\rho '\sin {\theta }\cos {(\phi -\phi ')}}\,\rho '\mathrm {d} \phi '\mathrm {d} \rho '\\&=2\pi a^{2}CE_{0}{\frac {e^{ikL}}{L}}\ {\frac {J_{1}(ka\sin {\theta })}{ka\sin {\theta }}}\\\end{aligned}}}
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.jpg?lang=zh)
