Антипараллельные прямые

Определения

Две данные прямые $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$, прямые $l_{1}\,$ и $l_{2}\,$ называются антипараллельными соответственно к $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$, если $\angle 1=\angle 2\,$ на Fig.1. Если $l_{1}\,$ и $l_{2}\,$ антипараллельными соответственно к $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$, то $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$ > являются также антипараллельными соответственно к $l_{1}\,$ и $l_{2}\,$.

У любого четырехсторонника, вписанного в окружность, любые две противоположные стороны антипараллельны. Также антипараллельны и две другие противоположные стороны (Fig.2).

Две прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ антипараллельными соответственно сторонам угал, если и только если они образуют один и тот же угол $\angle APC$в противоположных направлениях с биссектрисой угла (Fig.3).

Fig.1: Две данные прямые $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$, прямые $l_{1}\,$ и $l_{2}\,$ называются антипараллельными соответственно к $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$, если $\angle 1=\angle 2\,$.

Fig.2: У любого четырехсторонника, вписанного в окружность, любые две противоположные стороны антипараллельны. Также антипараллельны и две другие противоположные стороны.

Fig.3: Две прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ антипараллельными соответственно сторонам угла, если и только если они образуют один и тот же угол $\angle APC$ в противоположных направлениях с биссектрисой угла. Заметим, что предыдущие два угла 1 и 2 также равны.

Fig.4: Если две прямые $m_{1}\,$ и $m_{2}\,$ совпадают с прямыми $l_{1}\,$ и $l_{2}\,$, то говорят, что они антипараллельны соответствующей прямой линии.

Fig.5. Антипараллелограмм

Замечание. Если четырехугольник является антипараллелограммом, то его две пары противоположных сторон также антипараллельны. Действительно вершинами антипараллелограмма являются вершины равнобочной трапеции, около которой всегда можно описать окружность. То тесть боковые стороны равнобочной трапеции антипараллельны, также антипараллельны диагонали равнобочной трапеции (Fig.5).

Антипараллельные векторы

В Евклидовом пространстве, два направленных отрезка прямой, (в прикладной математике часто называемые векторами) называются антипараллельными, если они лежат на двух параллельных прямых и имеют противоположные направления. В этом случае один из векторов получается из другого умножением на отрицательно число.

Родственные вопросы

1. Прямая, соединяющая основания двух высот треугольника антипараллельна третьей стороне (любые чевианы, которые 'видны' с третьей стороны под одним и тем же углом, образуют антипараллельные линии).
2. Касательная к описанной окружности треугольника, проведенная в его вершине, антипараллельна противоположной стороне.
3. Радиус описанной окружности треугольника, проведенный в его вершине, перпендикулярен всем прямым, антипараллельным противоположным сторонам.

Ссылки

• A.B. Ivanov, Encyclopaedia of Mathematics - ISBN 1-4020-0609-8
• Weisstein, Eric W. "Antiparallel." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]

См. также

• Антипараллелограмм
• Параллелограмм
• Параллельность
• Трансверсаль (геометрия)