Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci
Outros nomes	Lionardo Fibonacci Leonardo de Pisa Leonardo Bigollo Pisano
Conhecido(a) por	Número de Fibonacci, primo de Fibonacci, identidade de Brahmagupta–Fibonacci, polinômio de Fibonacci, pseudoprimo de Fibonacci, palavra de Fibonacci, constante dos inversos de Fibonacci, Método Fibonacci–Sylvester, Método Fibonacci. Liber Abaci Introdução do sistema numérico hindu na Europa, período de Pisano, número prático. Popularizando o Hindu–Sistema de numeração árabe na Europa.
Nascimento	c. 1170 Pisa
Morte	c. 1250 (80 anos)
Nacionalidade	Italiano
Ocupação	Matemático
Carreira científica
Campo(s)	Matemática

Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou ainda Leonardo Bigollo (Pisa, c. 1170 — Pisa, c. 1250), mais conhecido como Fibonacci, foi um matemático italiano nomeado como o primeiro grande matemático europeu da Idade Média. É considerado por alguns como o mais talentoso matemático ocidental da Idade Média. Ficou conhecido pela divulgação da sequência de Fibonacci e por sua participação na introdução dos algarismos arábicos na Europa.

Como outros matemáticos de seu tempo, contribuiu para o renascimento das Ciências exatas após a decadência do último período da antiguidade clássica e do início da Idade Média. Fibonacci se destacou ao escrever o Liber Abaci, em 1202 (atualizado em 1254), a primeira obra importante sobre matemática desde Eratóstenes, isto é, mais de mil anos antes. O Liber Abaci introduziu os numerais hindu-arábicos na Europa e demonstrou sua aplicação em cálculos comerciais e financeiros, apresentando também uma ampla coleção de problemas aritméticos e algébricos.

O Liber Abaci exerceu profunda influência na educação matemática e nas práticas mercantis da Europa ocidental, servindo como base para o desenvolvimento da contabilidade e da aritmética moderna

Fibonacci é também conhecido pela sequência numérica nomeada após sua morte como sequência de Fibonacci. Ele não descobriu, mas usou-a como exemplo no Liber Abaci.

Biografia

Estátua de Fibonacci no Camposanto Monumentale de Pisa.

Como seu pai, Guglielmo dei Bonacci, abastado mercador pisano e representante dos comerciantes da República de Pisa (publicus scriba pro pisanis mercatoribus) em Bugia, na região de Cabília, Argélia, Leonardo passou alguns anos naquela cidade.

Na época, Fibonacci também era conhecido como Leonardo Bigollo. Na introdução de um de seus livros, Flos super solutionibus quarundam questionum ad numerum et ad geometriam vel ad utrumque pertinentium (manuscrito de 1225), o autor se apresenta como “Leonardi bigolli pisani”, expressão que pode ser traduzida como “Leonardo, o andarilho de Pisa”. O termo bigollo tem significados variados nas fontes históricas: alguns autores o interpretam como “viajante” ou “vagabundo”, enquanto A. F. Horadam sugere o sentido de “distraído” ou “errante”. Segundo o historiador Francesco Bonaini, o apelido pode estar relacionado ao conhecimento de Fibonacci sobre a língua árabe, adquirido durante sua estadia em Bugia, já que no latim vulgar biglosus significava “aquele que conhece duas línguas”.

Ainda adolescente, Leonardo Pisano(ou Leonardo de Pisa)  deixou sua casa de infância e se juntou com seu pai, Guilichmus, ou Guiliermo(Willian) Bonacci, um próspero comerciante pisano que recentemente tinha sido designado para  Bugia, na região de Cabília, Argélia,localizada no sul do Mediterrâneo, para servir como representante comercial e oficial alfandegário, pois, ali havia um importante porto exportador de velas de cera, situado a leste de Argel, no Califado Almóada. Mesmo muito jovem, logo cedo teve contato com o mundo do comércio e aprendeu técnicas matemáticas desconhecidas no Ocidente, difundidas pelos estudiosos muçulmanos nas várias regiões do mundo islâmico. Alguns desses procedimentos haviam sido criados por matemáticos da Índia algum tempo antes de 700 EC e transportados por comerciantes árabes até as margens do Mediterrâneo.

Leonardo possuía uma pilha de manuscritos com média de três polegadas de altura, somando mais de 400 páginas. Após sua descoberta de uma histórica invenção, escreveu em uma folha e colocou cuidadosamente sobre sua pilha. Agora, oficialmente o livro tinha um título. Ele escreveu:

“Aqui começa o Livro de Cálculo

Compilado por Leonardo Pisano, da família Bonaci,

No ano de 1202”

A invenção sobre a qual Leonardo havia escrito era uma nova forma  de escrever números e calcular com eles. O sistema proposto por Fibonacci teve grande impacto nas práticas comerciais e na educação matemática europeia nos séculos seguintes, ganhando espaço na aritmética básica ensinada hoje nas escolas, em todo o mundo. Disponibilizar esse método para os empresários da Europa Ocidental por meio do Liber Abaci, era desempenhar um papel fundamental no mundo moderno, isto porque, nascer em Pisa no século XII era nascer no centro do mundo ocidental e crescer em uma família de comerciantes pisanos era ser membro do até então mais importante setor da sociedade.

Ao reconhecer que a aritmética, com algarismos arábicos, era mais simples e eficiente do que com os algarismos romanos, Fibonacci viajou por todo o mundo mediterrâneo, chegando até Constantinopla, para estudar com os matemáticos árabes mais importantes de então, alternando os estudos com a atividade comercial. Muito de seu aprendizado deve ser creditado às obras de Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, de Abu Kamil e de outros mestres árabes. É importante destacar que Fibonacci não foi um mero difusor dessas obras.

De volta à Itália, em torno de 1200, sua fama chega à corte do imperador Frederico II. Leonardo (Fibonacci) se torna hóspede do imperador que se interessava por matemática e ciência em geral. Por ter resolvido alguns problemas do matemático da corte, foi-lhe atribuído um rendimento vitalício, o que lhe permitiu dedicar-se completamente aos estudos.

Em 1225, ele publicou seu quarto livro, e o mais famoso de todos: Liber Quadratorum (O Livro dos Números Quadrados), resultante de um desafio lançado por Frederico, Teodoro de Antioquia. Teodoro propôs a ele que encontrasse um quadrado tal que, se lhe fosse somado ou subtraído o número cinco, o resultado em ambos os casos fossem números quadrados. Curiosamente, o ano de publicação do livro é um número quadrado.

Fibonacci começa com os rudimentos do que era conhecido sobre os números quadrados desde a Grécia Antiga e avança gradualmente, resolvendo proposições até dar solução ao problema de análise indeterminada que lhe havia sido proposto como desafio.

Na parte original da obra, ele introduz uns números que denomina congruentes (Proposição IX) e que define, na terminologia atual, como:

$c=m\times n(m^{2}-n^{2})$,

Onde $m$ e $n$ são inteiros positivos ímpares tais que $m>n$.

Desta forma, o menor deles é 24. Ele enuncia e demonstra que o produto de um número congruente por um quadrado é outro número congruente.

Ele utiliza estes números como ferramentas para as suas proposições subsequentes e os faz intervir numa identidade que é conhecida como identidade de Fibonacci (Proposição XI). A identidade é:$${1 \over 2}(m^{2}+n^{2})\pm mn(m^{2}-n^{2})=[{1 \over 2}(m^{2}-n^{2})\pm mn]^{2}$$Esta identidade permite passar com facilidade de um triângulo retângulo para outro.

Leonardo de Pisa frequentemente utiliza as proposições precedentes como lemas para as seguintes, o que confere ao livro um encadeamento lógico. Suas demonstrações são do tipo retórico e ele usa segmentos de reta como representação de quantidades.

Algumas proposições não estão rigorosamente demonstradas, mas sim por meio de uma espécie de indução incompleta, dando exemplos práticos e específicos. No entanto, seu domínio algorítmico é excelente e tudo o que afirma pode ser demonstrado com as ferramentas atuais. Não se encontram erros importantes, com exceção da incompletude de algumas demonstrações. O conteúdo do livro supera a resposta ao desafio recebido e mostra o estado da matemática da sua época.

Embora Leonardo tenha nascido por volta de 1170, todas as suas publicações matemáticas foram no século XIII, começando em 1202, aos 32 anos, publicou o Liber Abaci (Livro do Ábaco ou Livro de Cálculo), introduzindo os numerais hindu-arábicos na Europa.

Depois de 1228, não se tem mais notícias do matemático, exceto por um decreto de 1240 da República de Pisa, que atribuía um estipêndio ao "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" ("sério e sábio mestre Leonardo Bigollo"), em reconhecimento dos serviços prestados à cidade, particularmente em matéria contábil e na instrução dos cidadãos.

Apesar de ter vindo de uma família rica e influente, e ser amplamente reconhecido por obras como Liber Abaci e outros escritos, Leonardo de Pisa, ao falecer, deixou poucos registros sobre sua vida. Até mesmo o ano e o local de sua morte permanecem incertos. Supõe-se que tenha falecido em Pisa, cidade onde passou grande parte de sua infância. No século XIII, uma estátua foi erguida em Pisa, em sua homenagem. Hoje está localizada na galeria ocidental do Camposanto, cemitério histórico da Piazza dei Miracoli.

Um fato curioso é que, duzentos anos após sua morte, Leonardo havia sido amplamente esquecido — algo que, naquela época, não era incomum. Sua fama, durante a vida, veio principalmente por meio de seus livros: ficou conhecido como um matemático brilhante, um excelente divulgador da matemática e, mais tarde, como um respeitado servidor público. O impacto das contribuições de Fibonacci tornou-se evidente apenas séculos depois, quando seus métodos passaram a influenciar de forma decisiva o desenvolvimento da matemática e da contabilidade na Europa.

O mais surpreendente é que o reconhecimento da grandeza de Leonardo só começou a surgir por volta da década de 1860 e foi consolidado com confiança apenas no início do século XX. Durante esse longo intervalo, sem que se soubesse o destino de sua obra, levou-se uma ou duas gerações para que todas as menções a ele desaparecessem dos registros históricos. Por cerca de 400 anos, seu nome não foi citado em nenhum livro sobre a história da ciência ou da matemática.

Foi apenas no final do século XVIII que o matemático italiano Pietro Cossali encontrou uma única referencia a Leonardo no  livro Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, publicado em 1494 pelo matemático Luca Pacioli. Felizmente, Pacioli havia citado suas fontes, entre elas, Leonardo Pisano, destacando em sua introdução a seguinte declaração:

“And since we follow for the most part Leonardo Pisano, i intend to clarify now that any enunciation mentioned without the name of the author is to be attributed to Leonardo” “E como seguimos em grande parte Leonardo Pisano, pretendo esclarecer agora que qualquer enunciado mencionado sem o nome do autor deve ser atribuído a Leonardo.”

A partir disso, compreendeu-se o papel fundamental que o pisano do século XIII teve na disseminação da aritmética moderna, encerrando assim um longo período de anonimato de quatro séculos.

Segundo o costume de nomeação da época, Leonardo passou a ser conhecido como Leonardo Pisano nos anos finais de sua vida, após alcançar a fama. Já o nome “Fibonacci” surgiu em 1838, logo depois da publicação da obra de Cossali em 1797-1799, quando o historiador Guillaume Libri atribuiu-o assim, a partir da expressão latina “filius Bonacci”,usada por Leonardo na introdução de seu livro para se referir a si mesmo.

Seus estudos foram tão importantes que até hoje existe uma publicação periódica denominada Fibonacci Quarterly, inteiramente dedicada à sequência aritmética elaborada por ele. Há também um asteroide que tem o seu nome, o 6765 Fibonacci.

Assim, ao analisar a trajetória de Fibonacci, é evidente seu papel marcante na difusão dos algarismos hindu-arábicos e de novas técnicas de cálculo, porém, isso não significa que ele tenha sido um herói isolado na história. Embora Keith Devlin apresente documentos que apontam para uma influência significativa de Fibonacci, Tatiana Roque, em História da Matemática, sugere outra interpretação: talvez seu nome tenha sido usado principalmente para agregar prestígio e credibilidade do que evidenciar uma atuação absoluta. No fim, a história indica que o avanço na matemática naquele contexto pode ter sido muito mais coletivo do que individual, deixando essa dúvida em torno de Leonardo e dos avanços matemáticos muito mais interessante e misteriosa.

Livros escritos por Fibonacci

Uma página do manuscrito em pergaminho do Liber abbaci conservado na Biblioteca Nacional Central de Florença, que contém no quadro à direita os primeiros treze dígitos, em algarismos arábicos, da chamada "sucessão de Fibonacci"

• Liber Abaci (1202), um livro sobre cálculos (tradução para inglês por Laurence Sigler, Springer, 2002)
• Practica Geometriae (1220), um compêndio com aplicação da álgebra à solução de problemas de geometria e trigonometria.
• Epistola ad magistrum Theodorum
• Flos super solutionibus quorundam questionum ad numerosum vel ad geometriam vel ad utrumque pertinentium (1225), obra dedicada ao cardeal diacono Raniero Capocci, com soluções para os problemas postos por João de Parma
• Liber quadratorum (1225), sobre equações diofantinas, dedicado ao imperador Frederico II (ver, em particular, a identidade de Fibonacci).
• Di minor guisa, sobre aritmética comercial (perdido)
• Commentário ao Livro X de 'Os Elementos', de Euclides (perdido)

Liber Abaci (Livro do Ábaco)

No Liber Abaci (1202), Fibonacci apresenta o chamado modus Indorum (método dos hindus), hoje conhecido como algarismos arábicos (Sigler 2003; Grimm 1973). O livro defendia a numeração com os dígitos 0-9 e a notação posicional, esclarecendo o sistema de posição árabe dos números, incluindo o número zero. O livro mostrou a importância prática do novo sistema numeral, aplicando-o à contabilidade comercial, conversão de pesos e medidas, o cálculo de juros, taxas de câmbio e outras aplicações. O livro foi bem recebido em toda Europa educada e teve um impacto profundo no pensamento europeu. Esse elegante sistema de sinais numéricos, em breve, substituiria o não mais oportuno sistema de algarismos romanos.

A segunda edição de Liber Abaci, de 1228, é a que hoje é conhecida. Esse livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e a Álgebra da época, e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois, por esse livro, os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida em Liber Abaci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.

Liber Abaci também colocou e resolveu um problema que envolve o crescimento de uma população hipotética de coelhos com base em pressupostos idealizados. A solução, de geração em geração, foi uma sequência de números mais tarde conhecida como número de Fibonacci. A sequência numérica era conhecida por matemáticos indianos já no século VI, mas foi o Liber Abaci que a introduziu no Ocidente.

Practica Geometriae (Geometria Prática)

Está dividido em sete capítulos nos quais aborda problemas de geometria dimensional referentes a figuras planas e sólidas. É a obra mais avançada de seu tipo encontrada naquela época no Ocidente. Este livro marca uma transferência dos interesses matemáticos práticos de Fibonacci para o campo da geometria e da trigonometria, baseando-se nos Elementos de Euclides e na Métrica de Herão de Alexandria. A obra é dedicada a um tradutor, membro da corte de Frederico II Hohenstaufen, de nome Dominicus Hispanus. Consta de sete seções, nas quais o autor aborda problemas de geometria plana ou geometria no espaço. Muitos desses problemas se referem à medição de áreas e volumes, bem como a aplicações do Teorema de Pitágoras ou às propriedades dos triângulos semelhantes. No entanto, pode-se considerar que o livro inclui uma oitava seção, um apêndice intercalado entre as demais, que trata do cálculo de raízes quadradas e cúbicas. Entre outras coisas, demonstra que a solução real da equação $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ não pode ser construída com régua e compasso. Este resultado não tem equivalente desde Euclides.

Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium (Ramalhete de soluções de certas questões relativas ao número e à geometria)

Contém quinze problemas de análise determinada e indeterminada de primeiro grau. Três desses problemas haviam sido propostos como desafio por Juan de Palermo, matemático da corte do imperador Frederico II, em um concurso organizado na presença do imperador. Tais, quais estes problemas foram resolvidos somente por Fibonacci.

Epistola ad magistrum Theodorum (Carta a Teodoro)

É uma simples carta que Leonardo envia a Teodoro de Antioquia, astrólogo da corte de Frederico II. Nela, resolve dois problemas. O primeiro é algébrico e consiste em encontrar objetos de diferentes proporções. Estes objetos levam os nomes de pássaros de diversas espécies. Paul ver Eecke, que traduziu o Liber Quadratorum para o francês a partir do original latino da edição de 1228, opina que pode ter sido uma cortesia a Frederico II, que era apreciador da caça com falcão, prevendo que sua carta seria levada ao príncipe. O segundo problema é geométrico-algébrico. Trata-se de inscrever em um triângulo isósceles um pentágono equilátero que tenha um lado sobre a base do triângulo e outros dois lados sobre os restantes deste. Ele o reduz a uma equação de segundo grau, dando um valor muito aproximado para o lado do pentágono no sistema sexagesimal.

Liber Quadratorum

Consta de vinte proposições. Estas não consistem em uma compilação sistemática das propriedades dos números quadrados, mas sim em uma seleção das propriedades que levam à resolução de um problema de análise indeterminada de segundo grau que lhe havia sido proposto por Teodoro.

A sequência de Fibonacci

Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci

Embora Fibonacci não tenha formulado a sequência com o objetivo teórico que se lhe atribui hoje, sua inclusão na obra contribuiu para a difusão do pensamento algorítmico e recursivo no Ocidente medieval. A sequência foi posteriormente redescoberta e reinterpretada por matemáticos renascentistas e modernos, sendo empregada em diversos contextos teóricos e aplicados, desde a teoria dos números até a modelagem de fenômenos naturais.

A Sequência de Fibonacci consiste em uma sucessão de números, tais que, definindo os dois primeiros números da sequência como 0 e 1, os números seguintes serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181...

Se nós dividirmos a base pela altura de um retângulo áureo, extrai-se a razão que é um "número irracional algébrico" conhecido como número de ouro, denotado com o símbolo "φ".

A sequência de Fibonacci é dada pela fórmula:

$F(n)=\left\{{\begin{matrix}0\,,\qquad \qquad \qquad \quad \,\ \ \,&&{\mbox{se }}n=0\,;\ \ \\1,\qquad \qquad \qquad \qquad \,&&{\mbox{se }}n=1;\ \ \,\\F(n-1)+F(n-2)&&{\mbox{outros casos.}}\end{matrix}}\right.$

Uma das aplicações da sequência de Fibonacci é a identidade de Cassini.

Curiosidades

• (6765) Fibonacci é um asteroide do Cinturão de asteroides que leva o nome do matemático em sua homenagem. Foi descoberto por Ladislav Brožek em 20 de janeiro de 1982 no Observatório Klet e possui uma órbita caracterizada por um semieixo maior de 2,2983 UA, uma excentricidade de 0,1529 e uma inclinação de 4,0857° com respeito à eclíptica.
• O nome Fibonacci foi adotado por um grupo de art rock baseado em Los Angeles, The Fibonaccis, que gravou entre 1981 e 1987.
• Operadores da bolsa de valores frequentemente olham para o "Número de Fibonacci" para preverem os preços futuros das ações.
• Um jovem de Fibonacci é um dos personagens principais do romance Crusade in Jeans, de 1973. No entanto, o personagem foi excluído da versão cinematográfica de 2006.
• Em O Código Da Vinci, a sequência de Fibonacci foi usada como um código, mas também para confundir os personagens.

Ver também

• Cronologia do cálculo de pi
• Sequência de Fibonacci
• Ciência Medieval
• Identidade de Brahmagupta
• República de Pisa
• Adelardo de Bath
• Piero della Francesca

Ligações externas

• Biografia de Fibonacci (em português)
• Biografia de Fibonacci (em inglês)
• Fibonacci na Encyclopædia Britannica (em inglês)
• Carta de fluxo de Fibonacci