Benutzer:Algebraiker/Relationenalgebraischer Klassifikationssatz dynamischer Systeme

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Man spricht von einem allgemeinen dynamischen System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ nach Sontag und Kalman, wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+)$ ;
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {U}}$, deren Elemente "Stellwerte" heißen;
• eine Funktion $\Phi :{\mathcal {D}}_{\Phi }\longrightarrow X,$

wobei ${\mathcal {D}}_{\Phi }$ eine Teilmenge ist von $\{(\tau ,\sigma ,x,\omega )\mid \sigma ,\tau \in {\mathcal {T}};\sigma \leq \tau ;x\in X;\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}\}$

und wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Nicht-Trivialität: Zu jedem Zustand $x_{0}\in X$ gibt es mindestens ein Paar $\sigma <\tau$ in ${\mathcal {T}}$ und ein $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ derart, dass "$\omega$ auf $x_{0}$ anwendbar" ist, d. h. derart, dass $(\tau ,\sigma ,x_{0},\omega )\in {\mathcal {D}}_{\Phi }$
2. Restriktion: Ist $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ anwendbar auf $x$, so ist auch für jedes $\mu \in [\sigma ,\tau )$ die Restriktion $\omega _{1}=\omega \mid _{[\sigma ,\mu )}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ auf $x$ anwendbar und die Restriktion $\omega _{2}=\omega \mid _{[\sigma ,\tau )}\in U^{[\sigma ,\tau )}$ ist anwendbar auf $x(\mu )=(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi$ .
3. Halbgruppe: Sind $\sigma ,\mu ,\tau$ drei reelle Zahlen mit $\sigma <\mu <\tau$, ist $\omega _{1}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ und $\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\mu ,\tau )}$ und ist $x$ ein Zustand mit $(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi =x_{1}\wedge (\tau ,\mu ,x_{1},\omega _{2})\Phi =x_{2}$ , dann ist die Verkettung $\omega =\omega _{1}{\dot {\vee }}\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =x_{2}.$
4. Identität: Für jedes $\sigma \in {\mathcal {T}}$ und jedes $x\in X$ ist die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\sigma )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\sigma ,\sigma ,x,\diamond )\Phi =x.$
5. Reduktion: Es seien $u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}}$ und es gelte $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\Phi =(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\Phi$ , wobei $\omega _{u_{i}}(t)\equiv u_{i}\;{\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )$

gesetzt sei, so folgt $u_{1}=u_{2}.$

[ Die Prämisse des Reduktionsaxioms umfasst $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\in {\mathcal {D}}_{\Phi }\Leftrightarrow (\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\in {\mathcal {D}}_{\Phi }.]$

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Man spricht von einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt),$ wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+);$
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {R}}$ von binären Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X:{\mathcal {R}}\subset Pot({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}});$
• eine Abbildungsschar $\Pi \cdot dt$, in der zu jedem Paar $\sigma ,\tau \in {\mathcal {T}}$ mit $\sigma \leq \tau$ eine Abbildung

$\Pi _{\sigma }^{\tau }\cdot dt\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}\longrightarrow Pot({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}})\\\Omega \longmapsto \Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\end{array}}\right.$

existiert

und wenn die folgenden Axiome gelten:

1. $\bigwedge _{x\in X}\bigvee _{\sigma <\tau }\bigvee _{\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset .$
2. $(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{1})\wedge (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{2})\succ y_{1}=y_{2}.$
3. $\Pi _{\sigma }^{\mu }\Omega _{1}dt\circ \Pi _{\mu }^{\tau }\Omega _{2}dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }(\Omega _{1}{\dot {\vee }}\Omega _{2})dt.$
4. $\bigwedge _{c\in {\mathcal {R}}}\Pi _{\sigma }^{\tau }cdt=c\cap (\tau -\sigma ),$ wobei $(\tau -\sigma )$ die gemäß $(\sigma ',x)(\tau -\sigma )(\tau ',y)\;:\Leftrightarrow \;\tau '=\tau \wedge \sigma '=\sigma$ erklärte Relation ist und $\Phi _{\sigma }^{\tau }\Omega _{c}dt$ zu setzen ist für $\Omega _{c}(t)\equiv c\;$ f.a. $t\in [\sigma ,\tau ).$
5. $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\sigma }\diamond dt(\sigma ,x)$ gilt für die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\sigma )}.$

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Aus einem System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens $\Gamma$ ein Regel-Relativ $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)=({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma$

$(1)\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}:=\lbrace \langle u\rangle \mid u\in {\mathcal {U}}\rbrace \\(\sigma ,x)\left\langle u\right\rangle (\tau ,y):\Leftrightarrow (\tau ,\sigma ,x,\omega _{u})\Phi =y\\({\text{wobei }}w_{u}(t)\equiv u\;\;{\text{f.a. }}t\in [\sigma ,\tau ))\end{array}}\right.$

$(2)\colon \left\{{\begin{array}{c}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y):\Leftrightarrow \\\bigvee _{\omega (\cdot )\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}}\Omega (\cdot )=\left\langle \omega (\cdot )\right\rangle \wedge (\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =y\\{\text{Dabei bedeutet }}\Omega (\cdot )=\left\langle \omega (\cdot )\right\rangle {\text{ soviel wie }}\Omega (t)=\left\langle \omega (t)\right\rangle {\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )\end{array}}\right.$

Aus einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ ensteht durch Anwendung des Verfahrens $\Sigma$ ein System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )=({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma$ : Aus ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X$ entnehmen wir die ersten beiden Komponenten des zu definierenden Quadrupels $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$;

$\left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {U}}:={\mathcal {R}};\\{\mathcal {D}}_{\Phi }:=\{(\tau ,\sigma ,x,\Omega )\mid \sigma \leq \tau ,x\in X,\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )},(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset \};\\(\tau ,\sigma ,x,\Omega )\Phi =y:\Leftrightarrow (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y).\end{array}}\right.$

Für alle Regel-Relative $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ und alle Systeme $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ gilt:

$({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma \Gamma =({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt).$

$({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma \Sigma \cong ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi ).$

Regel-Relative und Systeme sind synonym, denn die Verfahren $\Gamma$ und $\Sigma$ kehren einander um