Quadrilàter

Quadrilàter

Tipus	polígon i tetràtop
Forma de les cares	aresta (4)
Configuració de vèrtex	segment
Elements
Arestes	4
Vèrtexs	4
Sèrie
← triangle pentàgon →
Més informació
MathWorld	Quadrilateral

Sis quadrilàters de diferents tipus.

En geometria, un quadrilàter és un polígon de quatre costats. Es tracta d'una figura plana. Un quadrilàter amb vèrtexs $A$, $B$, $C$ i $D$ se sol denotar com $\square ABCD$.

Els quadrilàters són o bé simples (no s'intersecten amb ells mateixos), o complexos (s'intersecten o es creuen amb ells mateixos). Els quadrilàters simples poden ser o bé convexos o còncaus.

Els angles interiors d'un quadrliàter ABCD simple (i planar) sumen 360 graus d'arc, és a dir

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$

Això és un cas especial de la fórmula de la suma dels angles d'un n-àgon: S = (n − 2) × 180°.

Tots els quadrilàters que no es creuen amb sí mateixos enrajolen el pla, mitjançant les rotacions al voltant del punt mitjà dels seus costats.

Propietats

Els angles interiors d'un quadrilàter sempre sumen 360 graus.

Qualsevol quadrilàter convex tessel·la el pla.

Tipus de quadrilàters

Els quadrilàters simples i convexos es poden classificar en:

• Paral·lelogram: Els costats oposats són paral·lels. Això implica que els costats oposats són d'igual longitud i els angles oposats són iguals. Entre ells hi trobem diferents tipus de quadrilàters:
  • El quadrat: Els quatre angles són rectes i els quatre costats d'igual longitud. Les diagonals són iguals, perpendiculars entre si, es tallen en el punt mitjà i determinen el centre del quadrat.
  • El rectangle: Els quatre angles són rectes i els costats oposats d'igual longitud. Les diagonals són iguals però no són perpendiculars i es tallen en el punt mitjà.
  • El rombe: Els quatre costats són d'igual longitud i els angles oposats iguals dos a dos. Les diagonals tenen diferent longitud, perpendiculars, es tallen en el punt mitjà i determinen el centre.
  • El romboide: Els costats i els angles oposats són iguals dos a dos. Les diagonals no són perpendiculars, tenen diferent longitud i es tallen en el punt central.
• Trapezi: Té dos costats oposats paral·lels (els altres dos no, si ho fossin seria un paral·lelogram). N'hi ha de tres tipus:
  • El trapezi rectangle: té un angle recte
  • El trapezi isòsceles: els dos costats no paral·lels són iguals
  • El trapezi escalè: no té cap costat igual ni cap angle recte
• Trapezoide: No té cap costat paral·lel.

Quadrilàters complexos

Un antiparal·lelogram

Un quadrilàter auto-intersecant rep diferents noms: quadrilàter creuat, quadrilàter papallona o quadrilàter corbatí. En un quadrilàter creuat, els quatre angles "interiors" en cada costat de l'encreuament (dos aguts i dos reflexos, tots a l'esquerra o tots a la dreta tal i com mostra la figura) sumen 720°.

Àrea d'un quadrilàter convex

Hi ha diverses fórmules generals per a l'àrea K d'un quadrilàter convex ABCD amb costats a = AB, b = BC, c = CD and d = DA.

Fórmules trigonomètriques

L'àrea es pot expressar en termes trigonomètrics com

$K={\frac {pq}{2}}\sin \theta ,$

on les longituds de les diagonals són p i q i l'angle entre elles és θ. En el cas d'un quadrilàter ortodiagonal (com el rombe, el quadrat o un estel), aquesta fórmula se simplifica a $K={\tfrac {pq}{2}}$ ja que θ is 90°.

També es pot expressar l'àrea en termes de les bimedianes com

$K=mn\sin \varphi ,$

on les longituds de les bimedianes són m i n i l'angles entre elles és φ.

La fórmula de Bretschneider expressa l'àrea en terme dels costats i dos angles oposats:

${\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\frac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}$

on els costat en seqüència són a, b, c, d, on s és el semiperímetre, i A i C són dos (de fet dos qualssevol) angles oposats. Això redueix a la fórmula de Brahmagupta per a l'àrea d'un quadrilàter cíclic -quan A + C = 180° .

Una altra fórmula d'àrea en termes de costats i angles, amb l'angle C entre els costats b i c, i A entre els costats a i d, és

$K={\frac {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.$

En el cas dels quadrilàters cíclics, aquesta darrera fórmula esdevé $K={\frac {ad+bc}{2}}\sin {A}.$

En un paral·lelogram, on ambdós parells de costats i angles oposats són iguals, aquesta fórmula es redueix a $K=ab\cdot \sin {A}.$

Alternativament, es pot escriure l'àrea en termes dels costats i l'angle d'interesecció θ de les diagonals, sempre i quan θ no sigui de 90°:

$K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.$

En el cas d'un paral·lelogram, aquesta darrera fórmula se simplifica a $K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.$

Una altra fórmula d'àrea que inclou els costats a, b, c, d és

$K={\frac {\sqrt {((a^{2}+c^{2})-2x^{2})((b^{2}+d^{2})-2x^{2})}}{2}}\sin {\varphi }$

on x és la distància entre els punts mitjos de les diagonals, i φ és l'angle entre els bimedians (segments que connecten els punt mitjos de costats oposats).

L'última fórmula d'àrea trigonomètrica que inclou els costats a, b, c, d i l'angle α (entre a i b) és:

$K={\frac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\frac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},$

que també es pot utilitzar per trobar l'àrea d'un quadrilàter còncau (amb la part còncava oposada a l'angle α), canviant simplement el primer signe + a -.

Fórmules no trigonomètriques

Les següents dues fórmules expressen l'àrea en termes dels costats a, b, c i d, el semiperímetre s (la meitat del perímetre), i les diagonals p, q:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},$

$K={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}{4}}.$

La primera se simplifica a la fórmula de Brahmagupta en el cas de quadrilàter cíclic, ja que llavors pq = ac + bd.

L'àrea també es pot expressar en termes de les bimedianes m, n i les diagonals p, q:

$K={\frac {\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2}},$

$K={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.$

De fet, són suficients tres dels quatre valors m, n, p, i q per determinar l'àrea, ja que en tot quadrilàter els quatre valors estan relacionats segons $p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ Les expressions corresponents són llavors:

$K={\frac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}}{2}},$

si es donen les longituds de dues bimedianes i una diagonal, i

$K={\frac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}}{4}},$

si es donen les longituds de dues diagonals i d'una bimediana.

Fórmules vectorials

Es pot calcular l'àrea d'un quadrilàter ABCD utilitzant vectors. Siguin els vectors AC i BD les diagonals de A a C i de B a D respectivament. L'àrea del quadrilàter és llavors

$K={\frac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},$

que és la meitat de la magnitud del producte vectorial dels vectors AC i BD. En l'espai euclidià bidimensional, si s'expressa el vecotr AC com un vector lliure en l'espai cartesià igual a (x₁,y₁) i BD com (x₂,y₂), es pot reescriure l'àrea com:

$K={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.$