„Quadratur des Kreises“ – Versionsunterschied

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, nur mit Lineal und Zirkel aus einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit dem selben Flächeninhalt zu konstruieren. Das Problem lässt sich bis in die Anfänge der Geometrie zurückverfolgen und beschäftigte jahrhundertelang führende Mathematiker, darunter auch Leonardo da Vinci. Im Jahr 1882 bewies der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Beweis der Unmöglichkeit

Der Beweis, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, ist nicht einfach und gelang Ferdinand von Lindemann auf indirekte Art: Für die Konstruktion der Seitenlänge des Quadrates würde man die Quadratwurzel der Zahl $\pi$ benötigen. Dies wäre erreichbar, wenn man in einem ersten Schritt die Zahl $\pi$ mit Lineal und Zirkel konstruieren könnte. Es sind jedoch nur algebraische Zahlen konstruierbar, also jene Zahlen die eine Lösung (Nullstelle) eines Polynoms beliebigen Grades mit rationalen Koeffizienten sind. Doch Vorsicht: auch unter den algebraischen Zahlen gibt es nicht-konstruierbare Zahlen, z.B. ${\sqrt[{3}]{2}}$ ist Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus ${\mathbb {Q}}$, aber nicht konstruierbar! Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent und sind nicht konstruierbar. Ferdinand von Lindemann gelang der Beweis, dass $\pi$ nicht algebraisch, sondern transzendent ist. Deshalb ist $\pi$ nicht konstruierbar und die Quadratur des Kreises unmöglich. Einen wesentlich eleganteren Beweis für die Transzendenz der Zahl $\pi$ veröffentlichte der berühmte Mathematiker David Hilbert im Jahre 1893.

Näherungskonstruktionen

Obwohl also eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Kreisquadratur, die für viele Zwecke exakt genug sind. Eine klassische und sehr bekannte Näherungslösung ist die Näherungskonstruktion von Kochański, die der polnische Mathematiker Adam Adamandy Kochański im Jahr 1685 entdeckt hat.

Eine wesentlich einfachere und noch genauere Methode ist folgende:

Der Flächeninhalt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat über der größeren Kathete, wenn sich das Verhältnis der beiden Katheten zueinander verhält wie

$1:{\sqrt {{\frac {4}{\pi }}-1}}=1:0{,}5227232...$

Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit 44, erhält man das Verhältnis 44:22,99982... Daraus ergibt sich eine einfache Näherung, indem man das (konstruierbare) rechtwinklige Dreieck mit dem Katheten-Verhältnis 44:23 (in der Zeichnung orange) zur Quadratur benutzt. Dies entspricht der Näherung

$\pi \approx {\frac {7744}{2465}}\approx 3{,}141582.$

Die Fläche des so konstruierten Quadrates ist etwas zu klein und beträgt ca. 99,99967 Prozent der Kreisfläche. Der Fehler ist also kleiner als 1/1000 Prozent. Oder anders formuliert: Erst ab einem Kreisradius von 30,86 cm unterscheiden sich die beiden Flächen um mehr als einen Quadratmillimeter.

Arithmetische Quadratur als theoretische Näherung

Bei einem Kreis handelt es sich genaugenommen um ein Unendlicheck.

Da die Kreis-Flächenberechnung mit dem irrationalen Wert $\pi$ erfolgt, muss der Kreisinhalt auch einen irrationalen Wert - einen Nährungswert haben.

Am Beispiel eines Kreises mit Radius = 1 ergibt sich folgender Wert

$A=1^{2}\cdot \pi \approx 3{,}141592654$

Ein flächengleiches Quadrat hätte also den theoretischen Wert 3,141592654... ($\pi$) - die Seitenlänge des entsprechenden fiktiven Quadrates hätte somit den Wert

${1\cdot \pi }^{0{,}5}\approx 1{,}772453851$

Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Errechnung der Quadrat Seitenlänge: $a={r\cdot \pi }^{0{,}5}$

Am Beispiel eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 ergibt sich umgekehrt folgender Wert

$A=1^{2}\approx 1$

Ein flächengleicher Kreis hätte also den theoretischen Wert 1 - der Radius des entsprechenden fiktiven Kreises hätte somit den Wert

${1\cdot \pi }^{-0{,}5}\approx 0{,}564189583$

Daraus ergibt sich die allgemeine Formel zur Errechnung des Kreis Radius: $r={a\cdot \pi }^{-0{,}5}$ (nicht signierter Beitrag von Frei11 (Diskussion | Beiträge) Schmiddtchen 说 19:22, 29. Okt. 2006 (CET))

Fruchtlose Versuche

Der mathematische Beweis, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist, hat viele Laien nicht daran gehindert, Jahre an Arbeit in dieses Problem zu stecken. So beschäftigte dieses Problem den politischen Philosophen Thomas Hobbes bis ins hohe Alter. Trotz Blamagen und Rückschlägen ließ er sich nicht von der Überzeugung abbringen, dutzende Male mit verschiedenen Methoden die Lösung gefunden zu haben. Mathematik-Institute in aller Welt bekommen regelmäßig Post von »Kreisquadrierern«, die behaupten, das Problem gelöst zu haben, obwohl es bereits durch den Beweis der Unmöglichkeit als erledigt gilt. Manche Mathematiker, wie Dudley Underwood, sammeln solche Briefe, finden die elementaren Fehler darin und veröffentlichen sie als Unterhaltungsmathematik. Bei anderen nachweislich unlösbaren Problemen, z.B. der Dreiteilung des Winkels oder der Würfelverdoppelung, gibt es das gleiche Phänomen.

Das Problem als Metapher

Die Nutzlosigkeit der Suche nach Lösungen hat die Quadratur des Kreises als Metapher bekannt gemacht. Der Ausdruck wird einerseits als Synonym für ein Unterfangen benutzt, das von vornherein zum Scheitern verurteilt ist. Andererseits bezeichnet man das Ergebnis großer Anstrengungen scherzhaft als Quadratur des Kreises, wenn es einem unglaublichen Wunder gleichkommt.

Literatur

• Dudley Underwood: Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte, Birkhäuser, Basel 1995. ISBN 3-7643-5145-4 (englischer Originaltitel: Mathematical cranks)

Weblinks

• Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, 1920 (University of Michigan Historical Math Collection)
• Die Quadratur des Kreises als Näherung, Beispiele aus Architektur, Kunst und Esoterik, Historisches zur Zahl Pi und Näherungswerte für Pi