Siegelsche Modulform - Versionsgeschichte

Claude J am 22. Juli 2022 um 09:49 Uhr

2022-07-22T09:49:39Z

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	'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en.		'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en und [[Shimura-Varietät]]en.

	Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum\|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math>-Matrizen mit positiv definitem Imaginärteil. Siegelsche Modulformen sind [[holomorphe Funktion]]en auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.		Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum\|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math>-Matrizen mit positiv definitem Imaginärteil. Siegelsche Modulformen sind [[holomorphe Funktion]]en auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.

LamaMaddam: Erzeugendensystem angegeben

2020-11-27T14:46:20Z

Erzeugendensystem angegeben

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	</math>		</math>

	die Gruppe [[Symplektische Gruppe\|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math>-Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math>.		die Gruppe [[Symplektische Gruppe\|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math>-Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math>, <math> \begin{pmatrix} U & 0 \\ 0 & (U^{-1})^T \end{pmatrix} </math> und <math> \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix}</math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math> bzw. einer Matrix <math> U\in GL_g(\mathbb{Z})</math>. Diese 3 Matrix-Typen bilden ein [[Erzeugendensystem]] der Gruppe.

	Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum über		Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum über

Aka: Halbgeviertstrich

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Halbgeviertstrich

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	==Literatur==		==Literatur==
	*Eberhard Freitag: Siegelsche Modulformen, Springer 1983		*Eberhard Freitag: Siegelsche Modulformen, Springer 1983
	*Eberhard Freitag: Siegelsche Modulfunktionen, Jahresbericht DMV, Band 79, 1977, S. ~~79-86~~, [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~t91/pubpdf/15/freitag15.pdf pdf]		*Eberhard Freitag: Siegelsche Modulfunktionen, Jahresbericht DMV, Band 79, 1977, S. 79–86, [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~t91/pubpdf/15/freitag15.pdf pdf]
	*Helmut Klingen: Introductory Lectures on Siegel Modular Forms, Cambridge University Press 1990		*Helmut Klingen: Introductory Lectures on Siegel Modular Forms, Cambridge University Press 1990

Sung Kyun Kwan am 14. April 2017 um 05:01 Uhr

2017-04-14T05:01:23Z

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	'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en.		'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en.

	Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum\|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math>-Matrizen. Siegelsche Modulformen sind [[holomorphe Funktion]]en auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.		Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum\|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math>-Matrizen mit positiv definitem Imaginärteil. Siegelsche Modulformen sind [[holomorphe Funktion]]en auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.

	Sie stehen in ähnlicher Relation zu [[abelsche Varietät\|Abelschen Varietäten]] wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven. Ursprünglich wurden sie von [[Carl Ludwig Siegel]] 1935 eingeführt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie.		Sie stehen in ähnlicher Relation zu [[abelsche Varietät\|Abelschen Varietäten]] wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven. Ursprünglich wurden sie von [[Carl Ludwig Siegel]] 1935 eingeführt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie.

HilberTraum: /* Definition */ Kleinigkeiten

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Definition: Kleinigkeiten

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Definition: lange Zeile umgebrochen

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	Sei		Sei

			:<math>\begin{align}
	~~:<math>~~\Gamma_g= Sp_{2g} (\Z)= \left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big\| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) : A^T C=C^T A \,, B^T D= D^T B \,, A^T D - C^T B =I_g \, \right\}~~</math>~~		\Gamma_g &= Sp_{2g} (\Z)= \left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big\| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \right\}\\ &= \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) : A^T C=C^T A \,, B^T D= D^T B \,, A^T D - C^T B =I_g \, \right\}
			\end{align}
			</math>

	die Gruppe [[Symplektische Gruppe\|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math> Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math>.		die Gruppe [[Symplektische Gruppe\|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math> Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math>.

HilberTraum: /* Einleitung */ Links, Kleinigkeiten

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Einleitung: Links, Kleinigkeiten

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	'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en.		'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en.

	Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum\|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math> Matrizen. Siegelsche Modulformen sind holomorphe ~~Funktionen~~ auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.		Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum\|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math>-Matrizen. Siegelsche Modulformen sind [[holomorphe Funktion]]en auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.

	Sie stehen in ähnlicher Relation zu [[abelsche Varietät\|Abelschen Varietäten]] wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven. Ursprünglich wurden sie von [[Carl Ludwig Siegel]] 1935 eingeführt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie.		Sie stehen in ähnlicher Relation zu [[abelsche Varietät\|Abelschen Varietäten]] wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven. Ursprünglich wurden sie von [[Carl Ludwig Siegel]] 1935 eingeführt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie.

	Es gibt Siegelsche Modulformen, die analog ~~Eisensteinreihen~~ bei Modulformen konstruiert sind und solche, die Thetafunktionen zu quadratischen Formen sind. Die Theorie wurde in möglichst weitgehender Anlehnung an die der elliptischen Modulformen aufgebaut.		Es gibt Siegelsche Modulformen, die analog [[Eisensteinreihe]]n bei Modulformen konstruiert sind, und solche, die Thetafunktionen zu quadratischen Formen sind. Die Theorie wurde in möglichst weitgehender Anlehnung an die der elliptischen Modulformen aufgebaut.

	==Definition==		==Definition==

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AZ: Die Seite wurde neu angelegt: '''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von Modulformen in mehreren komplexen Variab…

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'''Siegelsche Modulformen''' sind Verallgemeinerungen von [[Modulform]]en in mehreren komplexen Variablen und Beispiele für [[Automorphe Form]]en.

Sie sind auf dem [[Siegelscher Halbraum|Siegelschen Halbraum]] <math>\mathcal{H}_g</math> definiert, dem Raum der komplexen symmetrischen <math>g \times g</math> Matrizen. Siegelsche Modulformen sind holomorphe Funktionen auf dem Siegelschen Halbraum, die eine Automorphiebedingung erfüllen.

Sie stehen in ähnlicher Relation zu [[abelsche Varietät|Abelschen Varietäten]] wie elliptische Modulformen zu elliptischen Kurven. Ursprünglich wurden sie von [[Carl Ludwig Siegel]] 1935 eingeführt im Rahmen seiner analytischen Theorie quadratischer Formen und finden Anwendungen in der Zahlentheorie.

Es gibt Siegelsche Modulformen, die analog Eisensteinreihen bei Modulformen konstruiert sind und solche, die Thetafunktionen zu quadratischen Formen sind. Die Theorie wurde in möglichst weitgehender Anlehnung an die der elliptischen Modulformen aufgebaut.

==Definition==
Sei

:<math>\Gamma_g= Sp_{2g} (\Z)= \left\{ \gamma \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) \ \big| \ \gamma^{\mathrm{T}} \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \gamma= \begin{pmatrix} 0 & I_g \\ -I_g & 0 \end{pmatrix} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in GL_{2g}(\mathbb{Z}) : A^T C=C^T A \,, B^T D= D^T B \,, A^T D - C^T B =I_g \, \right\}</math>

die Gruppe [[Symplektische Gruppe|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math> Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math>.

Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum über

:<math>Z \to (A Z +B) {(CZ +D)}^{-1}</math>

Eine Siegelsche Modulform ist eine im Siegelschen Halbraum holomorphe Funktion f mit

:<math> f ( (A Z + B) {(C Z + D)}^{-1}) = {(det \, (C Z + D))}^k f (Z)</math>

g heisst der Grad (manchmal auch Geschlecht), k das Gewicht.

Zusätzlich wird noch verlangt, dass die Modulform im Siegelschen Halbraum beschränkt ist (für g > 1 folgt das aus dem sogenannten Koecher-Prinzip).

Es gilt:

:<math>f (Z + S) =f (Z)</math> für alle ganzzahligen symmetrischen <math>g \times g</math> Matrizen <math>S = S^T</math>

:<math> f (U Z U^T) = {(det \, U)}^k f (Z)</math> für alle <math> U \in GL_g (\Z)</math>

:<math>f (-Z^{-1})= {(det \, Z)}^k f(Z)</math>

Das liefert das Transformationsverhalten unter den Erzeugenden der Siegelschen Modulgruppe <math>Sp_{2g} (\Z)</math>.

Es lässt sich zeigen, dass Siegelsche Modulformen eine Fourierentwicklung besitzen.
:<math> f (Z) = \sum_T a (T) e^{\pi i Sp (T Z)}</math>

mit symmetrischen (<math>T= T^T</math>) positiv semidefiniten Matrizen T (kurz: <math> T \geq 0</math>).

In arithmetischen Anwendungen wird statt der symplektischen Gruppe <math>\Gamma_g= Sp_{2g} (\Z)</math> auch eine Kongruenzuntergruppe genommen <math> \Gamma_g (N)</math> (mit einer natürlichen Zahl N, der Stufe):

:<math>\Gamma_g (N) = \left\{ \gamma \in \Gamma_g: \gamma \equiv I_{2g} \mod N\right\},</math>

Bemerkung: es gibt auch eine erweiterte Definition, in der die Siegelsche Modulform vektorwertig ist (die oben definierte Siegelsche Modulform heisst dann skalarwertig).

Dazu wird für die Definition des Gewichts eine rationale Darstellung

:<math>\rho:\textrm{GL}_g(\mathbb{C}) \rightarrow \textrm{GL}(V)</math>

in einem komplexen Vektorraum <math>V</math> herangezogen. Mit der Definition

:<math>(f\big|\gamma)(Z)=(\rho(C Z+D))^{-1}f(\gamma Z).</math>

ist die holomorphe Funktion

:<math>f:\mathcal{H}_g \rightarrow V</math>

eine Siegelsche Modulform vom Grad g falls

:<math>(f\big|\gamma)=f</math>

für alle <math>\gamma \in \Gamma_g</math>.

==Literatur==
*Eberhard Freitag: Siegelsche Modulformen, Springer 1983
*Eberhard Freitag: Siegelsche Modulfunktionen, Jahresbericht DMV, Band 79, 1977, S. 79-86, [http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~t91/pubpdf/15/freitag15.pdf pdf]
*Helmut Klingen: Introductory Lectures on Siegel Modular Forms, Cambridge University Press 1990

==Weblinks==
*[https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~winfried/siegel2.pdf Winfried Kohnen, A short course on Siegel modular forms, pdf]

[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]

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	</math>		</math>

	die Gruppe [[Symplektische Gruppe\|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math> Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math>.		die Gruppe [[Symplektische Gruppe\|symplektischer]] Matrizen mit Werten in den ganzen Zahlen (Siegelsche Modulgruppe). Dabei ist <math>I_g</math> die <math>g \times g</math>-Einheitsmatrix. Beispiele sind die Matrizen <math> \begin{pmatrix} I_g & S \\ 0 & I_g \end{pmatrix} </math> mit einer symmetrischen Matrix <math>S=S^T</math>.

	Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum über		Die Gruppe operiert auf dem Siegelschen Halbraum über

	:<math>Z \to (A Z +B) {(CZ +D)}^{-1}</math>		:<math>Z \to (A Z +B) {(CZ +D)}^{-1}</math>.

	Eine Siegelsche Modulform ist eine im Siegelschen Halbraum holomorphe Funktion f mit		Eine Siegelsche Modulform ist eine im Siegelschen Halbraum holomorphe Funktion <math>f</math> mit

	:<math> f ( (A Z + B) {(C Z + D)}^{-1}) = {(det \, (C Z + D))}^k f (Z)</math>		:<math> f ( (A Z + B) {(C Z + D)}^{-1}) = {(\det \, (C Z + D))}^k f (Z)</math>.

	g ~~heisst~~ der Grad (manchmal auch Geschlecht), k das Gewicht.		<math>g</math> heißt der Grad (manchmal auch Geschlecht), <math>k</math> das Gewicht.

	Zusätzlich wird noch verlangt, dass die Modulform im Siegelschen Halbraum beschränkt ist (für g > 1 folgt das aus dem sogenannten Koecher-Prinzip).		Zusätzlich wird noch verlangt, dass die Modulform im Siegelschen Halbraum beschränkt ist (für <math>g > 1</math> folgt das aus dem sogenannten Koecher-Prinzip).

	Es gilt:		Es gilt:

	:<math>f (Z + S) =f (Z)</math> für alle ganzzahligen symmetrischen <math>g \times g</math> Matrizen <math>S = S^T</math>		:<math>f (Z + S) =f (Z)</math> für alle ganzzahligen symmetrischen <math>g \times g</math>-Matrizen <math>S = S^T</math>

	:<math> f (U Z U^T) = {(det \, U)}^k f (Z)</math> für alle <math> U \in GL_g (\Z)</math>		:<math> f (U Z U^T) = {(\det \, U)}^k f (Z)</math> für alle <math> U \in GL_g (\Z)</math>

	:<math>f (-Z^{-1})= {(det \, Z)}^k f(Z)</math>		:<math>f (-Z^{-1})= {(\det \, Z)}^k f(Z)</math>

	Das liefert das Transformationsverhalten unter den Erzeugenden der Siegelschen Modulgruppe <math>Sp_{2g} (\Z)</math>.		Das liefert das Transformationsverhalten unter den Erzeugenden der Siegelschen Modulgruppe <math>Sp_{2g} (\Z)</math>.
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	mit symmetrischen (<math>T= T^T</math>) positiv semidefiniten Matrizen T (kurz: <math> T \geq 0</math>).		mit symmetrischen (<math>T= T^T</math>) positiv semidefiniten Matrizen T (kurz: <math> T \geq 0</math>).

	In arithmetischen Anwendungen wird statt der symplektischen Gruppe <math>\Gamma_g= Sp_{2g} (\Z)</math> auch eine Kongruenzuntergruppe genommen <math> \Gamma_g (N)</math> (mit einer natürlichen Zahl N, der Stufe):		In arithmetischen Anwendungen wird statt der symplektischen Gruppe <math>\Gamma_g= Sp_{2g} (\Z)</math> auch eine Kongruenzuntergruppe genommen <math> \Gamma_g (N)</math> (mit einer natürlichen Zahl <math>N</math>, der Stufe):

	:<math>\Gamma_g (N) = \left\{ \gamma \in \Gamma_g: \gamma \equiv I_{2g} \mod N\right\},</math>		:<math>\Gamma_g (N) = \left\{ \gamma \in \Gamma_g: \gamma \equiv I_{2g} \mod N\right\},</math>

	Bemerkung: es gibt auch eine erweiterte Definition, in der die Siegelsche Modulform vektorwertig ist (die oben definierte Siegelsche Modulform ~~heisst~~ dann skalarwertig).		Bemerkung: Es gibt auch eine erweiterte Definition, in der die Siegelsche Modulform vektorwertig ist (die oben definierte Siegelsche Modulform heißt dann skalarwertig).

	Dazu wird für die Definition des Gewichts eine rationale Darstellung		Dazu wird für die Definition des Gewichts eine rationale Darstellung
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	:<math>f:\mathcal{H}_g \rightarrow V</math>		:<math>f:\mathcal{H}_g \rightarrow V</math>

	eine Siegelsche Modulform vom Grad g falls		eine Siegelsche Modulform vom Grad <math>g</math>, falls

	:<math>(f\big\|\gamma)=f</math>		:<math>(f\big\|\gamma)=f</math>