Robuste Optimierung - Versionsgeschichte

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2024-12-20T12:59:05Z

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	Für den Fall, dass der Parameterraum <math>P</math> endlich ist und damit nur aus endlich vielen Elementen besteht, ist dieses Robuste Optimierungsproblem selber ein lineares Optimierungsproblem: Für jedes Paar <math>(c,d)\in P</math> gibt es eine lineare Nebenbedingung <math>cx + dy \le 10</math>.		Für den Fall, dass der Parameterraum <math>P</math> endlich ist und damit nur aus endlich vielen Elementen besteht, ist dieses Robuste Optimierungsproblem selber ein lineares Optimierungsproblem: Für jedes Paar <math>(c,d)\in P</math> gibt es eine lineare Nebenbedingung <math>cx + dy \le 10</math>.

	Für den Fall, dass <math>P</math> nicht eine endliche Menge ist, ist dieses Problem ein lineares, semi-infinites Optimierungsproblem, also ein lineares Optimierungsproblem mit endlich vielen (zwei) Entscheidungsvariablen und unendlich vielen Nebenbedingungen.		Für den Fall, dass <math>P</math> nicht eine [[endliche Menge]] ist, ist dieses Problem ein lineares, semi-infinites Optimierungsproblem, also ein lineares Optimierungsproblem mit endlich vielen (zwei) Entscheidungsvariablen und unendlich vielen Nebenbedingungen.

	== Klassifizierung ==		== Klassifizierung ==

BumbleMath: Link hinzugefügt

2023-12-11T17:51:55Z

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← Nächstältere Version		Version vom 11. Dezember 2023, 19:51 Uhr
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	'''Robuste Optimierung''' ist ein Gebiet der [[Optimierung (Mathematik)\|Optimierung in der Mathematik]]. Dabei geht es um Optimierungsprobleme, in denen nach Stabilität gegenüber Unsicherheit und/oder Variabilität in den Werten der Problemparameter gestrebt wird.		'''Robuste Optimierung''' ist ein Gebiet der [[Optimierung (Mathematik)\|Optimierung in der Mathematik]]. Dabei geht es um [[Optimierungsproblem\|Optimierungsprobleme]], in denen nach Stabilität gegenüber Unsicherheit und/oder Variabilität in den Werten der Problemparameter gestrebt wird.

	== Geschichte ==		== Geschichte ==

Horst Gräbner: hier kein Leerzeichen

2021-09-10T08:05:19Z

hier kein Leerzeichen

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	== Klassifizierung ==		== Klassifizierung ==

	Es gibt eine Reihe von Klassifizierungskriterien für Probleme bzw. Modelle der Robusten Optimierung. So ist z. B. eine Unterscheidung zwischen Problemen mit '''lokalen''' oder '''globalen''' Robustheitsmodellen möglich, oder auch zwischen '''[[Stochastik\|stochastischen]]''' und '''nichtstochastischen''' Robustheitsmodellen. Moderne Verfahren der Robusten Optimierung sind vor allem auf nichtstochastischen Robustheitsmodellen aufgebaut, die sich am '''schlimmsten''' (Worst-Case-) Fall orientieren.		Es gibt eine Reihe von Klassifizierungskriterien für Probleme bzw. Modelle der Robusten Optimierung. So ist z. B. eine Unterscheidung zwischen Problemen mit '''lokalen''' oder '''globalen''' Robustheitsmodellen möglich, oder auch zwischen '''[[Stochastik\|stochastischen]]''' und '''nichtstochastischen''' Robustheitsmodellen. Moderne Verfahren der Robusten Optimierung sind vor allem auf nichtstochastischen Robustheitsmodellen aufgebaut, die sich am '''schlimmsten''' (Worst-Case-)Fall orientieren.

	== Lokale Robustheit ==		== Lokale Robustheit ==

Klugwiebrot am 10. September 2021 um 06:24 Uhr

2021-09-10T06:24:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2021, 08:24 Uhr
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	== Klassifizierung ==		== Klassifizierung ==

	Es gibt eine Reihe von Klassifizierungskriterien für Probleme bzw. Modelle der Robusten Optimierung. So ist z. B. eine Unterscheidung zwischen Problemen mit '''lokalen''' oder '''globalen''' Robustheitsmodellen möglich, oder auch zwischen '''[[Stochastik\|stochastischen]]''' und '''nichtstochastischen''' Robustheitsmodellen. Moderne Verfahren der Robusten Optimierung sind vor allem auf nichtstochastischen Robustheitsmodellen aufgebaut, die sich am '''schlimmsten''' (Worst-Case-)Fall orientieren.		Es gibt eine Reihe von Klassifizierungskriterien für Probleme bzw. Modelle der Robusten Optimierung. So ist z. B. eine Unterscheidung zwischen Problemen mit '''lokalen''' oder '''globalen''' Robustheitsmodellen möglich, oder auch zwischen '''[[Stochastik\|stochastischen]]''' und '''nichtstochastischen''' Robustheitsmodellen. Moderne Verfahren der Robusten Optimierung sind vor allem auf nichtstochastischen Robustheitsmodellen aufgebaut, die sich am '''schlimmsten''' (Worst-Case-) Fall orientieren.

	== Lokale Robustheit ==		== Lokale Robustheit ==
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	wobei <math>U</math> die Menge aller ''möglichen'' Werte von <math>u</math> bezeichnet, die in Frage kommen.		wobei <math>U</math> die Menge aller ''möglichen'' Werte von <math>u</math> bezeichnet, die in Frage kommen.

	Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem ~~dahingegen~~, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.		Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingehend, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.

	Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, ~~dass~~ die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste Nebenbedingung etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.		Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, das die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste Nebenbedingung etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.

	=== Beispiel ===		=== Beispiel ===

Lilith.Renoyan am 3. Mai 2020 um 15:25 Uhr

2020-05-03T15:25:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2020, 17:25 Uhr
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	== Geschichte ==		== Geschichte ==

	Die Ursprünge der Robusten Optimierung gehen zurück auf die Begründung der modernen [[Entscheidungstheorie]] in den 1950er Jahren. Dabei wurden '''Worst-Case-Analysen''' entwickelt, um mit hohen Unsicherheiten umgehen zu können. Robuste Optimierung wurde in den 70er Jahren zu einem eigenen Forschungsgebiet mit verschiedenen Entwicklungen in Gebieten wie [[Operations Research]], [[Kontrolltheorie]], [[Statistik]], [[Wirtschaftswissenschaft]] u. a.		Die Ursprünge der Robusten Optimierung gehen zurück auf die Begründung der modernen [[Entscheidungstheorie]] in den 1950er Jahren. Dabei wurden '''Worst-Case-Analysen''' entwickelt, um mit hohen Unsicherheiten umgehen zu können. Robuste Optimierung wurde in den 70er Jahren zu einem eigenen Forschungsgebiet mit verschiedenen Entwicklungen in Gebieten wie [[Operations Research]], [[Kontrolltheorie]], [[Statistik]], [[Wirtschaftswissenschaft]] u. a.

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	Die beschriebene Bedeutung von Globaler Robustheit wird in der Praxis nicht oft verwendet, da die dadurch entstehenden robusten Optimierungsprobleme normalerweise (jedoch nicht immer) sehr schwer zu lösen sind.		Die beschriebene Bedeutung von Globaler Robustheit wird in der Praxis nicht oft verwendet, da die dadurch entstehenden robusten Optimierungsprobleme normalerweise (jedoch nicht immer) sehr schwer zu lösen sind.

	== ~~Bibliographie~~ ==		== Literatur ==

	* Armin Scholl: ''Robuste Planung und Optimierung: Grundlagen – Konzepte und Methoden – experimentelle Untersuchungen.'' Heidelberg 2001, ISBN ~~3790814083~~		* [[Armin Scholl (Wirtschaftswissenschaftler)\|Armin Scholl]]: ''Robuste Planung und Optimierung. Grundlagen, Konzepte und Methoden, experimentelle Untersuchungen.'' Physica-Verlag, Heidelberg 2001, ISBN 3-7908-1408-3 (zugl. Dissertation, TU Darmstadt).

	[[Kategorie:Optimierung]]		[[Kategorie:Optimierung]]

Aka: Halbgeviertstrich, Leerzeichen in Überschrift, Kleinkram

2020-03-30T09:29:38Z

Halbgeviertstrich, Leerzeichen in Überschrift, Kleinkram

Formatierer: typo

2018-10-10T11:26:14Z

typo

← Nächstältere Version		Version vom 10. Oktober 2018, 13:26 Uhr
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	Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingegen, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.		Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingegen, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.

	Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, dass die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste ~~Nebenbedingungung~~ etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.		Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, dass die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste Nebenbedingung etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.

	=== Beispiel ===		=== Beispiel ===

Tattoo: Nebenbedingungung

2016-03-07T06:53:00Z

Nebenbedingungung

← Nächstältere Version		Version vom 7. März 2016, 08:53 Uhr
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	Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingegen, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.		Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingegen, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.

	Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, dass die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste ~~Nebenbedinungung~~ etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.		Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, dass die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste Nebenbedingungung etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.

	=== Beispiel ===		=== Beispiel ===

Fettbemme: der laie sollte informiert werden, worum es sich handelt ohne erst auf den Link zeigen zu müssen :-)

2014-02-20T10:35:35Z

der laie sollte informiert werden, worum es sich handelt ohne erst auf den Link zeigen zu müssen :-)

← Nächstältere Version		Version vom 20. Februar 2014, 12:35 Uhr
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	'''Robuste Optimierung''' ist ein Gebiet der [[Optimierung (Mathematik)\|Optimierung]]. Dabei geht es um Optimierungsprobleme, in denen nach Stabilität gegenüber Unsicherheit und/oder Variabilität in den Werten der Problemparameter gestrebt wird.		'''Robuste Optimierung''' ist ein Gebiet der [[Optimierung (Mathematik)\|Optimierung in der Mathematik]]. Dabei geht es um Optimierungsprobleme, in denen nach Stabilität gegenüber Unsicherheit und/oder Variabilität in den Werten der Problemparameter gestrebt wird.

	==Geschichte==		==Geschichte==
	Die Ursprünge der Robusten Optimierung gehen zurück auf die Begründung der modernen [[Entscheidungstheorie]] in den ~~50er~~ Jahren. Dabei wurden '''Worst-Case-Analysen''' entwickelt, um mit hohen Unsicherheiten umgehen zu können. Robuste Optimierung wurde in den 70er Jahren zu einem eigenen Forschungsgebiet mit verschiedenen Entwicklungen in Gebieten wie [[Operations Research]], [[Kontrolltheorie]], [[Statistik]], [[Wirtschaftswissenschaft]] u. a.		Die Ursprünge der Robusten Optimierung gehen zurück auf die Begründung der modernen [[Entscheidungstheorie]] in den 1950er Jahren. Dabei wurden '''Worst-Case-Analysen''' entwickelt, um mit hohen Unsicherheiten umgehen zu können. Robuste Optimierung wurde in den 70er Jahren zu einem eigenen Forschungsgebiet mit verschiedenen Entwicklungen in Gebieten wie [[Operations Research]], [[Kontrolltheorie]], [[Statistik]], [[Wirtschaftswissenschaft]] u. a.

	== Beispiel ==		== Beispiel ==
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	== Bibliographie ==		== Bibliographie ==

	~~Scholl,~~ Armin: Robuste Planung und Optimierung: Grundlagen - Konzepte und Methoden - experimentelle Untersuchungen, Heidelberg 2001, ISBN 3790814083		* Armin Scholl: ''Robuste Planung und Optimierung: Grundlagen - Konzepte und Methoden - experimentelle Untersuchungen.'' Heidelberg 2001, ISBN 3790814083

	[[Kategorie:Optimierung]]		[[Kategorie:Optimierung]]

KLBot2: Bot: 2 Interwiki-Link(s) nach Wikidata (:d:Q2160088) migriert

2013-04-05T00:56:35Z

Bot: 2 Interwiki-Link(s) nach Wikidata (d:Q2160088) migriert

← Nächstältere Version		Version vom 5. April 2013, 02:56 Uhr
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	[[Kategorie:Optimierung]]		[[Kategorie:Optimierung]]

	[[en:Robust optimization]]
	[[sv:Robust optimering]]

← Nächstältere Version		Version vom 30. März 2020, 11:29 Uhr
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	'''Robuste Optimierung''' ist ein Gebiet der [[Optimierung (Mathematik)\|Optimierung in der Mathematik]]. Dabei geht es um Optimierungsprobleme, in denen nach Stabilität gegenüber Unsicherheit und/oder Variabilität in den Werten der Problemparameter gestrebt wird.		'''Robuste Optimierung''' ist ein Gebiet der [[Optimierung (Mathematik)\|Optimierung in der Mathematik]]. Dabei geht es um Optimierungsprobleme, in denen nach Stabilität gegenüber Unsicherheit und/oder Variabilität in den Werten der Problemparameter gestrebt wird.

	==Geschichte==		== Geschichte ==
	Die Ursprünge der Robusten Optimierung gehen zurück auf die Begründung der modernen [[Entscheidungstheorie]] in den 1950er Jahren. Dabei wurden '''Worst-Case-Analysen''' entwickelt, um mit hohen Unsicherheiten umgehen zu können. Robuste Optimierung wurde in den 70er Jahren zu einem eigenen Forschungsgebiet mit verschiedenen Entwicklungen in Gebieten wie [[Operations Research]], [[Kontrolltheorie]], [[Statistik]], [[Wirtschaftswissenschaft]] u. a.		Die Ursprünge der Robusten Optimierung gehen zurück auf die Begründung der modernen [[Entscheidungstheorie]] in den 1950er Jahren. Dabei wurden '''Worst-Case-Analysen''' entwickelt, um mit hohen Unsicherheiten umgehen zu können. Robuste Optimierung wurde in den 70er Jahren zu einem eigenen Forschungsgebiet mit verschiedenen Entwicklungen in Gebieten wie [[Operations Research]], [[Kontrolltheorie]], [[Statistik]], [[Wirtschaftswissenschaft]] u. a.

	== Beispiel ==		== Beispiel ==

	Gegeben sei das einfache [[Lineare Optimierung\|lineare Optimierungsproblem]]		Gegeben sei das einfache [[Lineare Optimierung\|lineare Optimierungsproblem]]
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	mit <math>P</math> als Untermenge von <math>\mathbb{R}^{2}</math>.		mit <math>P</math> als Untermenge von <math>\mathbb{R}^{2}</math>.

	Die Bedingung <math>\forall (c,d)\in P</math> in den Nebenbedingungen macht dieses Problem zu einem 'robusten' Problem. Sie bedeutet, dass für jedes Paar <math>(x,y)</math> die Nebenbedingungen <math>cx + dy \le 10</math> für den 'schlimmsten' Fall von <math>(c,d)\in P</math> gelten muss, also auch für das Paar <math>(c,d)\in P</math>, das den Wert von <math>cx + dy</math> für gegebene <math>(x,y)</math> maximiert.		Die Bedingung <math>\forall (c,d)\in P</math> in den Nebenbedingungen macht dieses Problem zu einem 'robusten' Problem. Sie bedeutet, dass für jedes Paar <math>(x,y)</math> die Nebenbedingungen <math>cx + dy \le 10</math> für den 'schlimmsten' Fall von <math>(c,d)\in P</math> gelten muss, also auch für das Paar <math>(c,d)\in P</math>, das den Wert von <math>cx + dy</math> für gegebene <math>(x,y)</math> maximiert.

	Für den Fall, dass der Parameterraum <math>P</math> endlich ist und damit nur aus endlich vielen Elementen besteht, ist dieses Robuste Optimierungsproblem selber ein lineares Optimierungsproblem: Für jedes Paar <math>(c,d)\in P</math> gibt es eine lineare Nebenbedingung <math>cx + dy \le 10</math>.		Für den Fall, dass der Parameterraum <math>P</math> endlich ist und damit nur aus endlich vielen Elementen besteht, ist dieses Robuste Optimierungsproblem selber ein lineares Optimierungsproblem: Für jedes Paar <math>(c,d)\in P</math> gibt es eine lineare Nebenbedingung <math>cx + dy \le 10</math>.
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	: <math>\hat{\rho}(x,\hat{u}):= \max_{\rho\ge 0}\ \{\rho: u\in S(x), \forall u\in B(\rho,\hat{u})\}</math>		: <math>\hat{\rho}(x,\hat{u}):= \max_{\rho\ge 0}\ \{\rho: u\in S(x), \forall u\in B(\rho,\hat{u})\}</math>

	mit <math>\hat{u}</math> als dem nominalen Wert des Parameters, <math>B(\rho,\hat{u})</math> als eine Kugel mit Radius <math>\rho</math>, die zentriert ist im Punkt <math>\hat{u}</math>, und <math>S(x)</math> als die Menge an Werten von <math>u</math>, die die für die Entscheidung <math>x</math> gegebenen Stabilitäts- bzw. Effizienzeigenschaften erfüllen.		mit <math>\hat{u}</math> als dem nominalen Wert des Parameters, <math>B(\rho,\hat{u})</math> als eine Kugel mit Radius <math>\rho</math>, die zentriert ist im Punkt <math>\hat{u}</math>, und <math>S(x)</math> als die Menge an Werten von <math>u</math>, die die für die Entscheidung <math>x</math> gegebenen Stabilitäts- bzw. Effizienzeigenschaften erfüllen.

	Die Robustheit (bzw. der Stabilitätsradius) der Entscheidung <math>x</math> ist damit der Radius der größten Kugel, die zentriert ist im Punkt <math>\hat{u}</math>, von der alle Elemente die Stabilitätskriterien von <math>x</math> erfüllen.		Die Robustheit (bzw. der Stabilitätsradius) der Entscheidung <math>x</math> ist damit der Radius der größten Kugel, die zentriert ist im Punkt <math>\hat{u}</math>, von der alle Elemente die Stabilitätskriterien von <math>x</math> erfüllen.

	== Globale Robustheit==		== Globale Robustheit ==

	Gegeben sei das robuste Optimierungsproblem		Gegeben sei das robuste Optimierungsproblem
Zeile 37:		Zeile 37:
	: <math>\max_{x\in X}\ \{f(x): g(x,u)\le b, \forall u\in U\}</math>		: <math>\max_{x\in X}\ \{f(x): g(x,u)\le b, \forall u\in U\}</math>

	wobei <math>U</math> die Menge aller ''möglichen'' Werte von <math>u</math> bezeichnet, die in Frage kommen.		wobei <math>U</math> die Menge aller ''möglichen'' Werte von <math>u</math> bezeichnet, die in Frage kommen.

	Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingegen, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.		Dies ist ein ''globales'' robustes Optimierungsproblem dahingegen, dass die robuste Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b, \forall u\in U</math> alle ''möglichen'' Werte von <math>u</math> betrachtet.

	Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, dass die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste Nebenbedingung etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.		Die Schwierigkeit bei solch einer ''globalen'' Nebenbedingung besteht darin, dass eine Situation auftreten kann, in der es kein <math>x\in X</math> gibt, dass diese Nebenbedingung erfüllt. Selbst wenn solch ein <math>x\in X</math> existiert, kann die Nebenbedingung selber zu ''konservativ'' sein. Sie kann dazu führen, dass die Lösung <math>x\in X</math> nur zu einem kleinen Zielfunktionswert <math>f(x)</math> führt, der jedoch nicht repräsentativ für andere Lösungen <math>x\in X</math> steht. Es könnte zum Beispiel ein <math>x'\in X</math> geben, dass die robuste Nebenbedingung nur ganz leicht verletzt, aber einen viel größeren Zielfunktionswert <math>f(x')\in X</math> erreicht. In diesen Fällen kann es notwendig sein, die robuste Nebenbedingung etwas aufzuweichen und/oder die Formulierung des Problems zu ändern.
Zeile 49:		Zeile 49:
	: <math>\rho(x):= \max_{Y\subseteq U} \ \{size(Y): g(x,u)\le b, \forall u\in Y\} \ , \ x\in X</math>		: <math>\rho(x):= \max_{Y\subseteq U} \ \{size(Y): g(x,u)\le b, \forall u\in Y\} \ , \ x\in X</math>

	wobei <math>size(Y)</math> ein angemessenes Maß für die "Größe" der Menge <math>Y</math> darstellen soll. Ist beispielsweise <math>U</math> eine endliche Menge, dann kann <math>size(Y)</math> als die [[Mächtigkeit (Mathematik)\|Kardinalität]] der Menge <math>Y</math> betrachtet werden.		wobei <math>size(Y)</math> ein angemessenes Maß für die "Größe" der Menge <math>Y</math> darstellen soll. Ist beispielsweise <math>U</math> eine endliche Menge, dann kann <math>size(Y)</math> als die [[Mächtigkeit (Mathematik)\|Kardinalität]] der Menge <math>Y</math> betrachtet werden.

	Die Robustheit der Entscheidung ist damit die Größe der größten Untermenge von <math>U</math>, für die die Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b</math> für jedes <math>u</math> in dieser Menge erfüllt ist. Die optimale Entscheidung ist damit diejenige mit dem größten Robustheitswert.		Die Robustheit der Entscheidung ist damit die Größe der größten Untermenge von <math>U</math>, für die die Nebenbedingung <math>g(x,u)\le b</math> für jedes <math>u</math> in dieser Menge erfüllt ist. Die optimale Entscheidung ist damit diejenige mit dem größten Robustheitswert.

	Dadurch entsteht das folgende robuste Optimierungsproblem:		Dadurch entsteht das folgende robuste Optimierungsproblem:

	: <math>\max_{x\in X, Y\subseteq U} \ \{size(Y): g(x,u) \le b, \forall u\in Y\}</math>		: <math>\max_{x\in X, Y\subseteq U} \ \{size(Y): g(x,u) \le b, \forall u\in Y\}</math>

	Die beschriebene Bedeutung von Globaler Robustheit wird in der Praxis nicht oft verwendet, da die dadurch entstehenden robusten Optimierungsprobleme normalerweise (jedoch nicht immer) sehr schwer zu lösen sind.		Die beschriebene Bedeutung von Globaler Robustheit wird in der Praxis nicht oft verwendet, da die dadurch entstehenden robusten Optimierungsprobleme normalerweise (jedoch nicht immer) sehr schwer zu lösen sind.

	== Bibliographie ==		== Bibliographie ==

	* Armin Scholl: ''Robuste Planung und Optimierung: Grundlagen - Konzepte und Methoden - experimentelle Untersuchungen.'' Heidelberg 2001, ISBN 3790814083		* Armin Scholl: ''Robuste Planung und Optimierung: Grundlagen – Konzepte und Methoden – experimentelle Untersuchungen.'' Heidelberg 2001, ISBN 3790814083

	[[Kategorie:Optimierung]]		[[Kategorie:Optimierung]]